Дельта-функция Дирака

«Дельта-функция» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Дельта-функция (значения) .

Схематическое изображение дельта-функции Дирака в виде линии, увенчанной стрелкой. Высота стрелки обычно предназначена для указания значения любой мультипликативной константы, которая дает площадь под функцией. Другое соглашение — писать область рядом со стрелкой.

Дельта Дирака как предел $a\to 0$ (в смысле распределений ) последовательности нульцентрированных нормальных распределений $\delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}$

В математическом анализе ( дельта-функция Дирака или δ- распределение ), также известная как единичный импульс , — обобщенная функция действительных чисел , значение которой равно нулю везде, кроме нуля, и чей интеграл по всей вещественной прямой равен единице. Поскольку не существует функции, обладающей этим свойством, моделирование дельта-функции строго предполагает использование пределов или, как это принято в математике, теории меры и теории распределений .

Дельта-функция была введена физиком Полем Дираком и с тех пор регулярно применяется в физике и технике для моделирования точечных масс и мгновенных импульсов. Ее называют дельта-функцией, поскольку она является непрерывным аналогом дельта-функции Кронекера , которая обычно определяется в дискретной области и принимает значения 0 и 1. Математическая строгость дельта-функции оспаривалась до тех пор, пока Лоран Шварц не разработал теорию распределений. , где он определяется как линейная форма, действующая на функции.

Мотивация и обзор

График оси дельты Дирака обычно рассматривается как следующий по всей X и положительной Y. оси Дельта Дирака используется для моделирования высокой узкой пиковой функции ( импульса ) и других подобных абстракций , таких как точечный заряд , точечная масса или электронная точка. Например, чтобы рассчитать динамику удара по бильярдному шару , можно аппроксимировать силу удара дельтой Дирака. При этом можно не только упростить уравнения, но и получить возможность рассчитать движение шара , рассматривая только общий импульс столкновения, без подробной модели всей упругой передачи энергии на субатомных уровнях (для пример).

Для конкретики предположим, что бильярдный шар покоится. Вовремя $t=0$ в него ударяет другой шар, сообщая ему импульс P в единицах кг⋅м⋅с. ⁻¹ . Обмен импульсом на самом деле не является мгновенным и опосредован упругими процессами на молекулярном и субатомном уровне, но для практических целей удобно считать эту передачу энергии фактически мгновенной. равна сила Следовательно, P δ ( t ) ; единицы δ ( t ) - s ⁻¹ .

Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что вместо этого сила равномерно распределена в течение небольшого интервала времени. $\Delta t=[0,T]$. То есть,

$$F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Тогда импульс в любой момент времени t находится интегрированием:

$$p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела Δt кроме → 0 , давая результат везде, 0 :

$$p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}$$

Здесь функции $F_{\Delta t}$ считаются полезным приближением к идее мгновенной передачи импульса.

Дельта-функция позволяет нам построить идеализированный предел этих приближений. К сожалению, реальный предел функций (в смысле поточечной сходимости ) ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0^{+}}F_{\Delta t}}$равен нулю везде, кроме одной точки, где он бесконечен. Чтобы правильно понять дельту Дирака, нам следует вместо этого настаивать на том, что свойство

$$\int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,$$

что справедливо для всех $\Delta t>0$, должно продолжать удерживаться в пределе. Итак, в уравнении ${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$, подразумевается, что предел всегда берется вне интеграла .

В прикладной математике, как мы это сделали здесь, дельта-функция часто рассматривается как своего рода предел ( слабый предел ) последовательности функций , каждый член которой имеет высокий пик в начале: например, последовательность Гауссовы распределения с центром в начале координат и дисперсией, стремящейся к нулю.

Дельта Дирака на самом деле не является функцией, по крайней мере, не обычной функцией с областью определения и диапазоном в действительных числах . Например, объекты f ( x ) = δ ( x ) и g ( x ) = 0 равны везде, кроме точки x = 0 , но имеют разные интегралы. Согласно теории интегрирования Лебега , если f и g — такие функции, что f = g почти всюду , то f интегрируема тогда и только тогда, когда g интегрируема и интегралы от f и g идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как математического объекта самостоятельного требует теории меры или теории распределений .

История

Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется интегральной теоремой Фурье, в своем трактате Théorie analytique de la chaleur в форме:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,$$

что равносильно введению δ -функции в виде:

$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .$$

Позже Огюстен Коши выразил теорему, используя экспоненты:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.$$

Коши отметил, что в некоторых случаях порядок интегрирования важен в этом результате (в отличие от теоремы Фубини ).

Если это оправдано с помощью теории распределений , уравнение Коши можно перестроить так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье, и представить δ -функцию в виде

$${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}$$

где δ -функция выражается как

$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .$$

Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различные ограничения на функцию f, необходимые для ее применения, продолжались несколько столетий. Проблемы классической интерпретации объясняются следующим образом:

Самым большим недостатком классического преобразования Фурье является довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых оно может быть эффективно вычислено. А именно, необходимо, чтобы эти функции достаточно быстро убывали до нуля (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразования Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс преобразуемых функций и устранило многие препятствия.

Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье, «начиная с Планшереля новаторской работы L ² -теория (1910), продолжившая работы Винера и Бохнера (около 1930) и завершившаяся объединением в Л. Шварца теорию распределений (1945)...", и что привело к формальному развитию дельта-функции Дирака.

формула Бесконечно малая для бесконечно высокой дельта-функции единичного импульса (бесконечно малая версия распределения Коши ) явно появляется в тексте 1827 года Огюстена Луи Коши . Симеон Дени Пуассон рассматривал этот вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввели единичный импульс как предел гауссиан , что также соответствовало идее лорда Кельвина о точечном источнике тепла. В конце XIX века Оливер Хевисайд использовал формальный ряд Фурье для управления единичным импульсом. Дельта-функция Дирака как таковая была введена Полем Дираком в его статье 1927 года «Физическая интерпретация квантовой динамики». и использовал в своем учебнике «Основы квантовой механики» . Он назвал ее «дельта-функцией», поскольку использовал ее как непрерывный аналог дискретной дельты Кронекера .

Определения

Дельта-функция Дирака $\delta (x)$ можно условно представить как функцию на действительной прямой, которая равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна.

$$\delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$$

и который также ограничен для удовлетворения тождества

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$$

Это всего лишь эвристическая характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку ни одна расширенная функция с действительным числом , определенная для действительных чисел, не обладает этими свойствами.

В качестве меры

Один из способов точно уловить понятие дельта-функции Дирака — определить меру , называемую мерой Дирака , которая принимает подмножество A реальной прямой R в качестве аргумента и возвращает δ ( A ) = 1, если 0 ∈ A , и δ ( A ) = 0 в противном случае. Если дельта-функция концептуализируется как моделирование идеализированной точечной массы в точке 0, то δ ( A ) представляет массу, содержащуюся в наборе A . Затем можно определить интеграл от δ как интеграл от функции от этого распределения массы. Формально интеграл Лебега дает необходимый аналитический аппарат. Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет условию

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)$$

с компактным носителем для всех непрерывных функций f . Мера δ не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега — фактически она является сингулярной мерой . Следовательно, дельта-мера не имеет производной Радона–Никодима (относительно меры Лебега) — нет истинной функции, для которой выполнено свойство

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$$

держит. В результате последнее обозначение представляет собой удобное злоупотребление обозначениями , а не стандартный ( римановский или лебеговский ) интеграл.

Как вероятностная мера на R , дельта-мера характеризуется своей кумулятивной функцией распределения , которая представляет собой функцию единичного шага .

$$H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

Это означает, что H ( x ) является интегралом кумулятивной индикаторной функции 1 _{(−∞, x ]} по мере δ , а именно:

$$H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),$$

последнее является мерой этого интервала. Таким образом, в частности, интегрирование дельта-функции по непрерывной функции можно правильно понимать как интеграл Римана – Стилтьеса :

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).$$

Все высшие моменты δ равны нулю. В частности, характеристическая функция и производящая функция момента равны единице.

В качестве дистрибутива

В теории распределений обобщенная функция рассматривается не как функция сама по себе, а только через то, как она влияет на другие функции, когда «интегрируется» с ними. В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, каков «интеграл» дельта-функции по отношению к достаточно «хорошей» пробной функции φ . Тестовые функции также известны как функции проверки . Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега пробной функции по этой мере дает необходимый интеграл.

Типичное пространство основных функций состоит из всех гладких функций на R с компактным носителем , имеющих столько производных, сколько требуется. Как распределение, дельта Дирака представляет собой линейный функционал в пространстве основных функций и определяется выражением

$\delta [\varphi ]=\varphi (0)$ ( 1 )

для каждой пробной функции φ .

Чтобы δ действительно было распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии в пространстве основных функций. , чтобы линейный функционал S в пространстве тестовых функций определял распределение, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N существовало целое число M _N и константа CN _{функции} такие, что для каждой пробной φ В общем случае имеет место неравенство

$$\left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|$$

где sup представляет супремум . При распределении δ имеет место такое неравенство (с = _CN 1) с M _N = 0 для всех N . Таким образом, δ — распределение нулевого порядка. Кроме того, это дистрибутив с компактной поддержкой ( {0} ) поддержка .

Дельта-распределение также можно определить несколькими эквивалентными способами. Например, это распределительная производная ступенчатой ​​функции Хевисайда . Это означает, что для каждой пробной функции φ имеется

$$\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.$$

Интуитивно, если бы интегрирование по частям было разрешено, то последний интеграл должен был бы упроститься до

$$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,$$

и действительно, для интеграла Стилтьеса разрешена форма интегрирования по частям, и в этом случае действительно имеет место

$$-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).$$

В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. И наоборот, уравнение ( 1 ) определяет интеграл Даниэля в пространстве всех непрерывных функций φ с компактным носителем , который по теореме о представлении Рисса может быть представлен как интеграл Лебега от φ относительно некоторой меры Радона .

Обычно, когда используется термин дельта-функция Дирака , он имеет в виду распределения, а не меры, причем мера Дирака входит в число нескольких терминов, обозначающих соответствующее понятие в теории меры. В некоторых источниках также может использоваться термин дельта-распределение Дирака .

Обобщения

Дельта-функция может быть определена в n -мерном евклидовом пространстве R ^н как мера такая, что

$$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )$$

с компактным носителем для каждой непрерывной функции f . В качестве меры n -мерная дельта-функция представляет собой меру произведения одномерных дельта-функций по каждой переменной в отдельности. Таким образом, формально при x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) имеем

$\delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).$ ( 2 )

Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как указано выше в одномерном случае. Однако, несмотря на широкое использование в инженерном контексте, с ( 2 ) следует обращаться осторожно, поскольку произведение распределений можно определить только при весьма узких обстоятельствах.

Понятие меры Дирака имеет смысл на любом множестве. Таким образом, если X — множество, x0 _, ∈ X — отмеченная точка и Σ — любая сигма-алгебра подмножеств X , то мера, определенная на множествах A ∈ Σ равна

$$\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}$$

— это дельта-мера или единица массы, сосредоточенная в точке x ₀ .

Другое распространенное обобщение дельта-функции - это дифференцируемое многообразие, где большинство ее свойств как распределения также можно использовать из-за дифференцируемой структуры . Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x ₀ ∈ M определяется как следующее распределение:

$\delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})$ ( 3 )

для всех гладких вещественных функций φ с компактным носителем на M . Общим частным случаем этой конструкции является случай, когда M — открытое множество в евклидовом пространстве R ^н .

В локально компактном хаусдорфовом пространстве X дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке x, является мерой Радона, связанной с интегралом Даниэля ( 3 ) на непрерывных функциях φ с компактным носителем . На этом уровне общности исчисление как таковое уже невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение $x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}$есть непрерывное вложение X в пространство конечных мер Радона на X , снабженное его нечеткой топологией . Более того, выпуклая оболочка образа X при таком вложении плотна в пространстве вероятностных мер на X .

Свойства

Масштабирование и симметрия

Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α :

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$$

и так

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.$ ( 4 )

Масштабирование доказательства свойства:

$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')$$

замена переменной x' = ax где используется . Если a отрицательно, т. е. a = −| а | , затем

$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).$$

Таким образом, $\delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)$.

В частности, дельта-функция представляет собой равномерное распределение (симметрию) в том смысле, что

$$\delta (-x)=\delta (x)$$

который является однородным степени −1 .

Алгебраические свойства

Распределительное произведение δ x на : равно нулю

$$x\,\delta (x)=0.$$

В более общем смысле, $(x-a)^{n}\delta (x-a)=0$ для всех положительных целых чисел $n$.

И наоборот, если xf ( x ) = xg ( x ) , где f и g — распределения, то

$$f(x)=g(x)+c\delta (x)$$

для некоторой постоянной c .

Перевод

Интеграл от дельты Дирака с задержкой по времени равен

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).$$

Иногда это называют свойством просеивания. или свойство выборки . что дельта-функция «отсеивает» значение f(t) в момент t = T. Говорят ,

Отсюда следует, что эффект свертки функции f ( t ) с запаздывающей по времени дельтой Дирака $\delta _{T}(t)=\delta (t-T)$ заключается в задержке f ( t ) на ту же величину:

$${\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}$$

Свойство просеивания сохраняется при точном условии, что f является умеренным распределением (см. обсуждение преобразования Фурье ниже ). Например, в частном случае мы имеем тождество (понимаемое в смысле распределения)

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).$$

Композиция с функцией

В более общем смысле, дельта-распределение может быть составлено с помощью гладкой функции g ( x ) таким образом, чтобы выполнялась знакомая формула замены переменных:

$$\int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du$$

при условии, что g — непрерывно дифференцируемая функция, причем g′ нигде не равна нулю. То есть существует уникальный способ придать смысл распределению. $\delta \circ g$так что это тождество справедливо для всех тестовых функций f с компактным носителем . Следовательно, область необходимо разбить, чтобы исключить точку g' = 0 . Это распределение удовлетворяет условию δ ( g ( x )) = 0, если g нигде не равно нулю, и в противном случае, если g имеет действительный корень в точке x ₀ , тогда

$$\delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.$$

Поэтому естественно определить композицию δ ( g ( x )) для непрерывно дифференцируемых функций g формулой

$$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$$

где сумма распространяется на все корни (т.е. все различные) функции g ( x ) , которые считаются простыми . Так, например

$$\delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.$$

В интегральной форме обобщенное свойство масштабирования можно записать как

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.$$

Неопределенный интеграл

Для постоянной $a\in \mathbb {R}$ и произвольная вещественная функция с «хорошим поведением» y ( x ) ,

$$\displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,$$

где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда , а c — константа интегрирования.

Свойства в n измерениях

Вместо этого дельта-распределение в n -мерном пространстве удовлетворяет следующему свойству масштабирования:

$$\delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )~,$$

так что δ — однородное распределение степени − n .

При любом отражении или вращении ρ дельта-функция инвариантна:

$$\delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )~.$$

Как и в случае с одной переменной, можно определить композицию δ с помощью билипшицевой функции. г : Р ^н → Р ^н однозначно, так что тождество

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left|\det g'(\mathbf {x} )\right|d\mathbf {x} =\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,d\mathbf {u}$$

для всех функций с компактным носителем f .

Используя формулу коплощади из геометрической теории меры , можно также определить состав дельта-функции с погружением из одного евклидова пространства в другое, другой размерности; Результатом является тип тока . В частном случае непрерывно дифференцируемой функции g : R ^н → R что градиент g такой , нигде не равен нулю, справедливо следующее тождество

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,d\mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d\sigma (\mathbf {x} )$$

где интеграл справа равен g ⁻¹ (0) , ( n − 1) -мерная поверхность, определяемая g ( x ) = 0 относительно меры содержания Минковского . Это известно как простой интеграл слоя .

В более общем смысле, если S — гладкая гиперповерхность R ^н , то мы можем связать с S распределение, которое интегрирует любую гладкую функцию g с компактным носителем над S :

$$\delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} )$$

где σ — гиперповерхностная мера, связанная с S . Это обобщение связано с потенциальной теорией потенциалов простых слоев на S . Если D — домен в R ^н с гладкой границей S , то δ _S равна нормальной производной индикаторной функции D , в смысле распределения

$$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\,d\mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} ),$$

где n — внешняя нормаль. Доказательство см., например, в статье о поверхностной дельта-функции .

В трех измерениях дельта-функция представлена ​​в сферических координатах:

$$\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}$$

Преобразование Фурье

Дельта-функция является умеренным распределением и поэтому имеет четко определенное преобразование Фурье . Формально находим

$${\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.$$

Собственно говоря, преобразование Фурье распределения определяется путем наложения самосопряженного преобразования Фурье при двойственном спаривании $\langle \cdot ,\cdot \rangle$умеренных распределений с функциями Шварца . Таким образом ${\widehat {\delta }}$ определяется как уникальное умеренное распределение, удовлетворяющее

$$\langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle$$

для всех функций Шварца φ . И действительно, из этого следует, что ${\widehat {\delta }}=1.$

В результате этого тождества свертка дельта-функции с любым другим умеренным распределением S представляет собой просто S :

$$S*\delta =S.$$

То есть δ является единичным элементом для свертки умеренных распределений, и фактически пространство распределений с компактным носителем при свертке представляет собой ассоциативную алгебру с единицей дельта-функции. Это свойство является фундаментальным при обработке сигналов , поскольку свертка с умеренным распределением представляет собой линейную нестационарную систему , и применение линейной нестационарной системы измеряет ее импульсный отклик . Импульсный отклик можно вычислить с любой желаемой степенью точности, выбрав подходящее приближение для δ , и как только оно станет известно, оно полностью характеризует систему. См. теорию систем LTI § Импульсный отклик и свертка .

Обратное преобразование Фурье умеренного распределения f ( ξ ) = 1 представляет собой дельта-функцию. Формально это выражается как

$$\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)$$

и более строго, это следует из того, что

$$\langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle$$

для всех функций Шварца f .

В этих терминах дельта-функция дает наводящее на размышления утверждение о свойстве ортогональности ядра Фурье на R . Формально имеется

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).$$

Это, конечно, сокращение утверждения о том, что преобразование Фурье умеренного распределения

$$f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}$$

является

$${\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})$$

что снова следует из наложения самосопряженного преобразования Фурье.

Путем аналитического продолжения преобразования Фурье преобразование Лапласа дельта-функции оказывается равным

$$\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.$$

Производные

Производная дельта-распределения Дирака, обозначаемая δ' и также называемая дельта-простым числом Дирака или дельта-производной Дирака , как описано в лапласиане индикатора , определяется на гладких тестовых функциях φ с компактным носителем следующим образом:

$$\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$$

Первое равенство здесь есть своего рода интегрирование по частям , ибо если бы δ была истинной функцией, то

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).$$

По математической индукции δ k -я производная определяется аналогично распределению, заданному на пробных функциях выражением

$$\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$$

В частности, δ — бесконечно дифференцируемое распределение.

Первая производная дельта-функции представляет собой предел распределения разностных коэффициентов:

$$\delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.$$

Точнее, у человека есть

$$\delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )$$

где τ _h — оператор перевода, определенный на функциях как τ _h φ ( x ) = φ ( x + h ) и на распределении S как

$$(\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].$$

В теории электромагнетизма первая производная дельта-функции представляет собой точечный магнитный диполь , расположенный в начале координат. Соответственно, ее называют диполем или дублетной функцией .

Производная дельта-функции удовлетворяет ряду основных свойств, в том числе:

$${\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}$$

что можно показать, применив тестовую функцию и проинтегрировав по частям.

Последнее из этих свойств также можно продемонстрировать, применив определение производной распределения, теорему Либница и линейность внутреннего продукта:

$${\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}$$

Более того, свертка δ′ с компактным носителем с гладкой функцией f равна

$$\delta '*f=\delta *f'=f',$$

что следует из свойств распределительной производной свертки.

Высшие измерения

В более общем смысле, на открытом множестве U в n -мерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$дельта-распределение Дирака с центром в точке a ∈ U определяется выражением

$$\delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)$$

для всех $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$, пространство всех гладких функций с компактным носителем на U . Если $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ любой мультииндекс с $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ и $\partial ^{\alpha }$ обозначает ассоциированный оператор смешанной частной производной , тогда α -я производная ∂ ^а δ _a из δ _a определяется выражением

$$\left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).$$

То есть α -я производная δ _a — это распределение, значение которого на любой тестовой функции φ является α -й производной φ в точке a (с соответствующим положительным или отрицательным знаком).

Первые частные производные дельта-функции рассматриваются как двойные слои вдоль координатных плоскостей. В более общем смысле, нормальная производная простого слоя, поддерживаемого на поверхности, представляет собой двойной слой, поддерживаемый на этой поверхности, и представляет собой ламинарный магнитный монополь. Высшие производные дельта-функции известны в физике как мультиполи .

Высшие производные естественным образом входят в математику как строительные блоки для полной структуры распределений с точечной поддержкой. Если S — любое распределение на U, поддерживаемое на множестве { a } , состоящем из одной точки, то существует целое число m и коэффициенты c _α такие, что

$$S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.$$

Представления дельта-функции

Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций.

$$\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),$$

где ηε _{функцией} ( x ) иногда называют зарождающейся дельта- . Этот предел понимается в слабом смысле: либо

$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)$ ( 5 )

для всех непрерывных функций f, имеющих компактный носитель , или что этот предел справедлив для всех гладких функций f с компактным носителем. Разница между этими двумя слегка разными способами слабой сходимости часто незначительна: первый представляет собой сходимость в расплывчатой ​​топологии мер, а второй — сходимость в смысле распределений .

Приближения к тождеству

Обычно возникающую дельта-функцию η _ε можно построить следующим образом. Пусть η функция — абсолютно интегрируемая на R полного интеграла 1 и определим

$$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$$

В n измерениях вместо этого используется масштабирование

$$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$$

Тогда простая замена переменных показывает, что также _ηε имеет целое 1 . Можно показать, что ( 5 с компактным носителем ) справедливо для всех непрерывных функций f , и поэтому слабо _ηε сходится к δ в смысле меры.

таким образом ηε приближение к _{Построенные} известны как тождеству . Эта терминология связана с тем, что пространство L ¹ ( R ) абсолютно интегрируемых функций замкнуто относительно операции свертки функций: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ) всякий раз, когда f и g находятся в L ¹ ( Р ) . нет тождества. Однако в L ¹ ( R ) для продукта свертки: нет элемента h такого, что f ∗ h = f для всех f . Тем не менее последовательность ηε _что приближает такое тождество в том смысле,

$$f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.$$

Этот предел имеет место в смысле сходимости в среднем (сходимости в L ¹ ). Дополнительные условия на η _ε , например, чтобы это был смягчающий элемент, связанный с функцией с компактным носителем: необходимы для обеспечения поточечной сходимости почти всюду .

Если исходная последовательность η = η ₁ сама по себе гладкая и с компактным носителем, то последовательность называется смягчающим . Стандартный смягчитель получается путем выбора η в качестве подходящей нормализованной функции рельефа , например

$$\eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}$$

В некоторых ситуациях, таких как численный анализ , желательно кусочно-линейное приближение к тождеству. Этого можно добиться, взяв η ₁ в качестве шляпной функции . При таком выборе η ₁ имеем

$$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)$$

которые все непрерывны и компактно поддерживаются, хотя и не являются гладкими и, следовательно, не являются смягчающими.

Вероятностные

В контексте теории вероятностей естественно наложить дополнительное условие, согласно которому начальное η ₁ в приближении к тождеству должно быть положительным, поскольку такая функция тогда представляет собой распределение вероятностей . Свертка с распределением вероятностей иногда бывает выгодна, поскольку она не приводит к перерегулированию или недорегулированию, поскольку выходные данные представляют собой выпуклую комбинацию входных значений и, таким образом, попадают между максимумом и минимумом входной функции. Если принять η ₁ за любое распределение вероятностей и положить η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ ε , как указано выше, это приведет к приближению к тождеству. В общем, это быстрее сходится к дельта-функции, если, кроме того, η имеет среднее значение 0 и имеет небольшие высшие моменты. Например, если η ₁ — равномерное распределение на ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$, также известная как прямоугольная функция , тогда:

$$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Другой пример — распределение полукруга Вигнера.

$$\eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Это непрерывно и компактно поддерживается, но не является смягчающим фактором, поскольку не является гладким.

Полугруппы

Возникающие дельта-функции часто возникают как полугруппы свертки . Это сводится к дополнительному ограничению, согласно которому свертка η _ε с η _δ должна удовлетворять

$$\eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }$$

для всех ε , δ > 0 . Полугруппы свертки в L ¹ которые образуют зарождающуюся дельта-функцию, всегда являются приближением к тождеству в указанном выше смысле, однако условие полугруппы является довольно сильным ограничением.

На практике полугруппы, аппроксимирующие дельта-функцию, возникают как фундаментальные решения или функции Грина физически мотивированных эллиптических или параболических уравнений в частных производных . В контексте прикладной математики полугруппы возникают как результат линейной стационарной системы . Абстрактно, если A — линейный оператор, действующий на функции от x , то полугруппа свертки возникает в результате решения начальной задачи

$${\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}$$

в котором предел, как обычно, понимается в слабом смысле. Установка η _ε ( x ) = η ( ε , x ) дает соответствующую возникающую дельта-функцию.

Некоторые примеры физически важных полугрупп свертки, возникающих в результате такого фундаментального решения, включают следующее.

Тепловое ядро

Тепловое ядро , определяемое формулой

$$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}$$

представляет температуру в бесконечной проволоке в момент времени t > 0 , если единица тепловой энергии сохраняется в начале проволоки в момент времени t = 0 . Эта полугруппа развивается согласно одномерному уравнению теплопроводности :

$${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$$

В вероятностей теории ηε _{является} ( x ) нормальным распределением дисперсии ε 0 и среднего значения . Он представляет собой плотность вероятности в момент времени t = ε положения частицы, начиная с начала координат, следующей за стандартным броуновским движением . В этом контексте условие полугруппы является выражением марковского свойства броуновского движения.

В многомерном евклидовом пространстве R ^н , тепловое ядро

$$\eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},$$

и имеет ту же физическую интерпретацию, mutatis mutandis . Он также представляет собой возникающую дельта-функцию в том смысле, что η _ε → δ в смысле распределения при ε → 0 .

Ядро Пуассона

Ядро Пуассона

$$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi$$

является фундаментальным решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. Он представляет собой электростатический потенциал в полубесконечной пластине, потенциал которой вдоль края зафиксирован на уровне дельта-функции. Ядро Пуассона также тесно связано с распределением Коши и функциями ядра Епанечникова и Гаусса . Эта полугруппа развивается согласно уравнению

$${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)$$

где оператор строго определен как множитель Фурье

$${\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).$$

Осциллирующие интегралы

В таких областях физики, как распространение волн и волновая механика , используемые уравнения являются гиперболическими и поэтому могут иметь более сингулярные решения. В результате возникающие дельта-функции, которые возникают как фундаментальные решения связанных проблем Коши, обычно представляют собой осциллирующие интегралы . Пример, полученный из решения уравнения Эйлера – Трикоми трансзвуковой газовой динамики : это перемасштабированная функция Эйри

$$\varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).$$

Несмотря на использование преобразования Фурье, легко увидеть, что оно в некотором смысле порождает полугруппу — оно не является абсолютно интегрируемым и поэтому не может определять полугруппу в указанном выше сильном смысле. Многие зарождающиеся дельта-функции, построенные как осциллирующие интегралы, сходятся только в смысле распределений (примером является ядро ​​Дирихле ниже), а не в смысле мер.

Другой пример — задача Коши для волнового уравнения в R ¹⁺¹ :

$${\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}$$

Решение u представляет собой смещение от равновесия бесконечной упругой струны с начальным возмущением в начале координат.

Другие приближения к тождеству такого рода включают функцию sinc (широко используемую в электронике и телекоммуникациях)

$$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk$$

и функция Бесселя

$$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).$$

Разложение плоской волны

Один подход к исследованию линейного уравнения в частных производных

$$L[u]=f,$$

где L — дифференциальный оператор на R ^н , заключается в поиске сначала фундаментального решения, которое является решением уравнения

$$L[u]=\delta .$$

Когда L особенно прост, эту проблему часто можно решить напрямую с помощью преобразования Фурье (как в случае с уже упомянутым ядром Пуассона и тепловым ядром). Для более сложных операторов иногда проще сначала рассмотреть уравнение вида

$$L[u]=h$$

где h — плоская волновая функция, то есть она имеет вид

$$h=h(x\cdot \xi )$$

для некоторого вектора ξ . Такое уравнение можно решить (если коэффициенты L являются аналитическими функциями ) с помощью теоремы Коши–Ковалевской или (если коэффициенты L постоянны) с помощью квадратуры. Итак, если дельта-функцию можно разложить на плоские волны, то в принципе можно решать линейные уравнения в частных производных.

Такое разложение дельта-функции на плоские волны было частью общей методики, впервые предложенной по существу Иоганном Радоном , а затем развитой в этой форме Фрицем Джоном ( 1955 ). Выберите k так, чтобы n + k было четным целым числом, и для вещественного числа s положите

$$g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}$$

Тогда δ получается применением степени лапласиана к интегралу по единичной сферной мере dω функции g ( x · ξ ) для ξ в единичной сфере S ^{п -1} :

$$\delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$$

Лапласиан здесь интерпретируется как слабая производная, так что это уравнение означает, что для любой пробной φ функции

$$\varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$$

Результат следует из формулы для ньютоновского потенциала (фундаментального решения уравнения Пуассона). По сути, это форма формулы обращения для преобразования Радона, поскольку она восстанавливает значение φ ( x ) из его интегралов по гиперплоскостям. Например, если n нечетно и k = 1 , то интеграл в правой части равен

$${\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}$$

где Rφ ( ξ , p ) — преобразование Радона φ :

$$R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.$$

Альтернативное эквивалентное выражение разложения плоской волны:

$$\delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}$$

Ядра Фурье

Смотрите также: Сходимость ряда Фурье

При изучении рядов Фурье основной вопрос состоит в определении того, сходится ли и в каком смысле ряд Фурье, связанный с периодической функцией, к этой функции. - я n частичная сумма ряда Фурье функции f периода 2π определяется сверткой (на интервале [−π,π] ) с ядром Дирихле :

$$D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$$

Таким образом,

$$s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}$$

где

$$a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.$$

Фундаментальный результат элементарных рядов Фурье гласит, что ядро ​​Дирихле, ограниченное интервалом [−π,π], стремится к кратному дельта-функции при N → ∞ . Это интерпретируется в смысле распределения, что

$$s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$$

для каждой гладкой функции f с компактным носителем . Таким образом, формально имеется

$$\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}$$

на интервале [−π,π] .

Несмотря на это, результат справедлив не для всех непрерывных функций с компактным носителем: то есть DN _не сходится слабо в смысле меры. Отсутствие сходимости ряда Фурье привело к введению множества методов суммирования для достижения сходимости. Метод суммирования Чезаро приводит к ядру Фейера

$$F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.$$

Ядра Фейера стремятся к дельта-функции в более сильном смысле, что

$$\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$$

с компактным носителем для каждой непрерывной функции f . Отсюда следует, что ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется по Чезаро со значением функции в каждой точке.

Теория гильбертова пространства

Дельта-распределение Дирака — это плотно определенный неограниченный линейный функционал в гильбертовом пространстве L ² функций, интегрируемых с квадратом . Действительно, гладкие функции с компактным носителем плотны в L ² , и действие дельта-распределения на такие функции четко определено. Во многих приложениях можно идентифицировать подпространства L ² и дать более сильную топологию , в которой дельта-функция определяет ограниченный линейный функционал .

Sobolev spaces

для Из теоремы вложения Соболева пространств Соболева на вещественной прямой R следует, что любая интегрируемая с квадратом функция f такая, что

$$\|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty$$

автоматически непрерывен и удовлетворяет, в частности,

$$\delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.$$

Таким образом, δ — ограниченный линейный функционал в пространстве Соболева H ¹ . Эквивалентно δ является элементом непрерывного дуального пространства H ⁻¹ из H ¹ . В более общем смысле, в n измерениях имеем δ ∈ H ^{− с} ( Р ^н ) при условии s > н / 2 .

Пространства голоморфных функций

В комплексный анализ дельта-функция входит через интегральную формулу Коши , которая утверждает, что если D — область на комплексной плоскости с гладкой границей, то

$$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D$$

для всех голоморфных функций f в D , непрерывных на замыкании D . В результате дельта-функция δ _z представляется в этом классе голоморфных функций интегралом Коши:

$$\delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.$$

Более того, пусть H ² (∂ D ) — пространство Харди , состоящее из замыкания в L ² (∂ D ) всех голоморфных функций в D , непрерывных до границы D . Тогда функции из H ² (∂ D ) однозначно распространяются на голоморфные функции в D , и интегральная формула Коши продолжает выполняться. В частности, для z ∈ D дельта-функция δ _z является непрерывным линейным функционалом на H ² (∂ Д ) . Это частный случай ситуации с несколькими комплексными переменными , когда для гладких областей D ядро ​​Сегё играет роль интеграла Коши.

Постановления личности

полный ортонормированный базисный набор функций { φn _} f в сепарабельном гильбертовом пространстве, например, нормализованные собственные векторы компактного самосопряженного оператора , любой вектор Учитывая можно выразить как

$$f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.$$

Коэффициенты {α _n } находятся как

$$\alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,$$

что можно представить обозначением:

$$\alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,$$

форма обозначения брекета Дирака. Принимая эти обозначения, разложение f принимает двоичную форму:

$$f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).$$

Обозначая I тождественный оператор в гильбертовом пространстве, выражение

$$I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },$$

называется разрешением тождества . Когда гильбертово пространство является пространством L ² ( D ) функций, интегрируемых с квадратом в области D , величина:

$$\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },$$

является интегральным оператором, и выражение для f можно переписать

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .$$

Правая часть сходится к f в L ² смысл. Оно не обязательно должно выполняться в поточечном смысле, даже если f — непрерывная функция. Тем не менее, принято злоупотреблять обозначениями и писать

$$f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,$$

что приводит к представлению дельта-функции:

$$\delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).$$

С подходящим оснащенным гильбертовым пространством (Φ, L ² ( D ), Φ*), где Φ ⊂ L ² ( D ) содержит все гладкие функции с компактным носителем, это суммирование может сходиться в Φ* , в зависимости от свойств базиса φ _n . В большинстве случаев, представляющих практический интерес, ортонормированный базис получается из интегрального или дифференциального оператора, и в этом случае ряд сходится в смысле распределения .

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малую α , чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака δ _α , удовлетворяющую ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$ в ряде статей 1827 г. Коши определил бесконечно малую величину в «Кур д'Анализ» (1827) как последовательность, стремящуюся к нулю. Коши и Лазара Карно А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии .

Нестандартный анализ позволяет строго относиться к бесконечно малым. Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию современных дельта-функций Дирака в контексте бесконечно малого континуума, обеспечиваемого гиперреальными объектами . Здесь дельта Дирака может быть задана реальной функцией, обладающей тем свойством, что для каждой реальной функции F существует ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$ как и предполагали Фурье и Коши.

Гребень Дирака

Основная статья: гребешок Дирака

Гребень Дирака — это бесконечная серия дельта-функций Дирака, расположенных с интервалом T

Так называемая равномерная «последовательность импульсов» дельта-мер Дирака, известная как гребенка Дирака или распределение Ша , создает функцию выборки , часто используемую в цифровой обработке сигналов (DSP) и анализе сигналов в дискретном времени. Гребенка Дирака задается как бесконечная сумма , предел которой понимается в смысле распределения:

$$\operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),$$

который представляет собой последовательность точечных масс для каждого из целых чисел.

С точностью до общей нормализующей константы гребенка Дирака равна собственному преобразованию Фурье. Это важно, потому что если — любая функция Шварца , то периодизация f f задается сверткой

$$(f*\operatorname {\text{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).$$

В частности,

$$(f*\operatorname {\text{Ш}} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {\text{Ш}} }}={\widehat {f}}\operatorname {\text{Ш}}$$

это в точности формула суммирования Пуассона . В более общем смысле, эта формула остается верной, если f является умеренным распределением быстрого спуска или, что то же самое, если ${\widehat {f}}$ — медленно растущая обычная функция в пространстве умеренных распределений.

Теорема Сохоцкого–Племеля

Теорема Сохоцкого -Племеля , важная в квантовой механике, связывает дельта-функцию с распределением pv 1 / x , главное значение Коши функции 1 / x , определяемый формулой

$$\left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.$$

Формула Сохоцкого гласит, что

$$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),$$

Здесь предел понимается в смысле распределения, что для всех гладких функций f с компактным носителем

$$\int _{-\infty }^{\infty }\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.$$

Кронекера

δ Дельта Кронекера ij _— это величина, определяемая формулой

$$\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}$$

для всех целых чисел i , j . Тогда эта функция удовлетворяет следующему аналогу свойства просеивания: если a _i (для i в множестве всех целых чисел) — любая дважды бесконечная последовательность , то

$$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.$$

Аналогично, для любой действительной или комплекснозначной непрерывной функции f на R дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).$$

Это демонстрирует дельта-функцию Кронекера как дискретный аналог дельта-функции Дирака.

Приложения

Теория вероятностей

В теории вероятностей и статистике дельта-функция Дирака часто используется для представления дискретного распределения или частично дискретного, частично непрерывного распределения с использованием функции плотности вероятности (которая обычно используется для представления абсолютно непрерывных распределений). Например, функция плотности вероятности f ( x ) дискретного распределения, состоящего из точек = { x1 _, ..., xn _x } , с соответствующими вероятностями p1 _, ..., , _pn может быть записана как

$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$$

В качестве другого примера рассмотрим распределение, в котором 6/10 времени возвращает стандартное нормальное распределение , а 4/10 времени возвращает ровно значение 3,5 (т.е. частично непрерывное, частично дискретное смешанное распределение ). Функцию плотности этого распределения можно записать как

$$f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).$$

Дельта-функция также используется для представления результирующей функции плотности вероятности случайной величины, которая преобразуется непрерывно дифференцируемой функцией. Если Y = g( X ) — непрерывная дифференцируемая функция, то плотность Y можно записать как

$$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))\,dx.$$

Дельта-функция также используется совершенно другим способом для представления локального времени диффузионного процесса (например, броуновского движения ). Локальное время случайного процесса B ( t ) определяется выражением

$$\ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds$$

и представляет собой количество времени, которое процесс проводит в точке x диапазона процесса. Точнее, в одном измерении этот интеграл можно записать

$$\ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds$$

где $\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}$ – индикаторная функция интервала $[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ].$

Квантовая механика

Дельта-функция целесообразна в квантовой механике . Волновая функция частицы дает амплитуду вероятности обнаружения частицы в данной области пространства. Волновые функции считаются элементами гильбертова пространства L ² с суммируемых квадратом функций , а полная вероятность найти частицу в пределах заданного интервала представляет собой интеграл от величины волновой функции, возведенной в квадрат по интервалу. Набор { | φ _n ⟩ } волновых функций ортонормирован, если

$$\langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm},$$

где δ _нм — дельта Кронекера. Набор ортонормированных волновых функций является полным в пространстве функций, интегрируемых с квадратом, если любая волновая функция |ψ⟩ может быть выражена как линейная комбинация { | φ _n ⟩ } с комплексными коэффициентами:

$$\psi =\sum c_{n}\varphi _{n},$$

где c _п знак равно ⟨ φ _п | ψ ⟩ . Полные ортонормированные системы волновых функций естественным образом возникают как собственные функции гамильтониана ) в квантовой механике , (связанной системы измеряющей уровни энергии, которые называются собственными значениями. Набор собственных значений в этом случае известен как спектр гамильтониана. В обозначениях бра-кет это равенство подразумевает разрешение тождества :

$$I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.$$

Здесь собственные значения предполагаются дискретными, но множество собственных значений наблюдаемой может быть и непрерывным. Примером может служить положения оператор Qψ ( x ) = xψ ( x ) . Спектр положения (в одном измерении) представляет собой всю действительную линию и называется непрерывным спектром . Однако, в отличие от гамильтониана, оператор положения не имеет собственных собственных функций. Традиционный способ преодолеть этот недостаток — расширить класс доступных функций, разрешив также распределения, т. е. заменить гильбертово пространство оснащенным гильбертовым пространством . В этом контексте оператор положения имеет полный набор «обобщенных собственных функций», отмеченных точками y реальной линии, заданными формулой

$$\varphi _{y}(x)=\delta (x-y).$$

Собственные функции оператора положения называются собственными состояниями и обозначаются φ _y = | й ⟩ .

Аналогичные соображения применимы к собственным состояниям оператора импульса или любого другого (неограниченного) самосопряженного оператора P в гильбертовом пространстве при условии, что спектр P непрерывен и нет вырожденных собственных значений. В этом случае существует множество Ω действительных чисел (спектр) и набор распределений φ _y с y ∈ Ω такие, что

$$P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.$$

То есть φ _y — обобщенные собственные векторы P . Если они образуют «ортонормированный базис» в смысле распределения, то есть:

$$\langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),$$

тогда для любой пробной ψ функции

$$\psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy$$

где c ( y ) знак равно ⟨ ψ , φ _y ⟩ . То есть есть разрешение тождества

$$I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy$$

где операторный интеграл снова понимается в слабом смысле. Если спектр P имеет как непрерывную, так и дискретную части, то разрешение идентичности включает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру.

Дельта-функция также имеет множество более специализированных приложений в квантовой механике, таких как модели дельта-потенциала для одинарной и двойной потенциальной ямы.

Строительная механика

Дельта-функция может использоваться в строительной механике для описания переходных или точечных нагрузок, действующих на конструкции. Основное уравнение простой системы масса-пружина, возбуждаемой внезапным импульсом силы I в момент времени t = 0, можно записать

$$m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),$$

где m — масса, ξ — прогиб, а k — жесткость пружины .

В качестве другого примера, уравнение, управляющее статическим прогибом тонкой балки , согласно теории Эйлера – Бернулли :

$$EI{\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=q(x),$$

где EI — изгибная жесткость балки, w — прогиб , x — пространственная координата, q ( x ) — распределение нагрузки. Если балка нагружена точечной силой F в точке x = x ₀ , распределение нагрузки запишется

$$q(x)=F\delta (x-x_{0}).$$

Поскольку интегрирование дельта-функции приводит к ступенчатой ​​функции Хевисайда , из этого следует, что статическое отклонение тонкой балки, подверженной множественным точечным нагрузкам, описывается набором кусочных полиномов .

Также точечный момент , действующий на балку, можно описать дельта-функциями. Рассмотрим две противоположные точечные силы F, находящиеся на расстоянии d друг от друга. Затем они создают момент M = Fd , действующий на балку. Теперь пусть расстояние d приближается к предельному нулю, а M остается постоянным. Распределение нагрузки, предполагая, что момент, действующий по часовой стрелке при x = 0 , записывается

$${\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}$$

Таким образом, точечные моменты могут быть представлены производной дельта -функции. Интегрирование уравнения балки снова приводит к кусочно- полиномиальному отклонению.

См. также

• Атом (теория меры)
• Лапласиан индикатора

Ссылки

• Аратин, Хенрик; Расинариу, Константин (2006), Краткий курс математических методов с Maple , World Scientific, ISBN  978-981-256-461-0 .
• Арфкен, Великобритания ; Вебер, HJ (2000), Математические методы для физиков (5-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-059825-0 .
• atis (2013), Глоссарий ATIS Telecom , заархивировано из оригинала 13 марта 2013 г.
• Брейсвелл, Р.Н. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill .
• Брейсвелл, Р.Н. (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), McGraw-Hill .
• Кордова, А. (1988), «Суммарная формула Пуассона», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376 .
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том II , Wiley-Interscience .
• Дэвис, Говард Тед; Томсон, Кендалл Т (2000), Линейная алгебра и линейные операторы в технике с приложениями в Mathematica , Academic Press, ISBN  978-0-12-206349-7
• Дьедонне, Жан (1976), Трактат об анализе. Том. II , Нью-Йорк: Academic Press [Издательство Harcourt Brace Jovanovich], ISBN  978-0-12-215502-4 , МР   0530406 .
• Дьедонне, Жан (1972), Трактат об анализе. Том. III , Бостон, Массачусетс: Academic Press, MR   0350769.
• Дирак, Поль (1930), Принципы квантовой механики (1-е изд.), Oxford University Press .
• Дриггерс, Рональд Г. (2003), Энциклопедия оптической техники , CRC Press, Bibcode : 2003eoe..book.....D , ISBN  978-0-8247-0940-2 .
• Дуйстермаат, Ганс ; Колк (2010), Распределения: теория и приложения , Springer .
• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Основные положения математических наук, том. 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xiv+676, ISBN.  978-3-540-60656-7 , МР   0257325 .
• Ганнон, Терри (2008), «Алгебры вершинных операторов» , Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, ISBN  978-1400830398 .
• Гельфанд, ИМ ; Шилов Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , вып. 1–5, Академическое издательство, ISBN  9781483262246 .
• Хартманн, Уильям М. (1997), Сигналы, звук и ощущения , Springer, ISBN  978-1-56396-283-7 .
• Хазевинкель, Мишель (1995). Энциклопедия математики (комплект) . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-55608-010-4 .
• Хазевинкель, Мишель (2011). Энциклопедия математики . Полный. 10. Спрингер. ISBN  978-90-481-4896-7 . OCLC   751862625 .
• Хьюитт, Э ; Стромберг, К. (1963), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag .
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  978-3-540-12104-6 , МР   0717035 .
• Ишам, CJ (1995), Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы , Imperial College Press, ISBN  978-81-7764-190-5 .
• Джон, Фриц (1955), Плоские волны и сферические средние, применяемые к уравнениям в частных производных , Interscience Publishers, Нью-Йорк-Лондон, ISBN  9780486438047 , МР   0075429 .
• Ланг, Серж (1997), Анализ бакалавриата , Тексты для бакалавров по математике (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2698-5 , ISBN  978-0-387-94841-6 , МР   1476913 .
• Ланге, Рутгер-Ян (2012), «Теория потенциала, интегралы по траекториям и лапласиан индикатора», Журнал физики высоких энергий , 2012 (11): 29–30, arXiv : 1302.0864 , ​​Bibcode : 2012JHEP...11. .032L , номер документа : 10.1007/JHEP11(2012)032 , S2CID   56188533 .
• Лаугвиц, Д. (1989), «Определенные значения бесконечных сумм: аспекты основ анализа бесконечно малых около 1820 года», Arch. Хист. Точная наука. , 39 (3): 195–245, doi : 10.1007/BF00329867 , S2CID   120890300 .
• Левин, Фрэнк С. (2002), «Волновые функции в координатном пространстве и полнота» , Введение в квантовую теорию , Cambridge University Press, стр. 109 и далее , ISBN  978-0-521-59841-5
• Ли, Ю.Т.; Вонг, Р. (2008), «Интегральное и серийное представление дельта-функции Дирака», Commun. Чистое приложение. Анальный. , 7 (2): 229–247, arXiv : 1303.1943 , doi : 10.3934/cpaa.2008.7.229 , MR   2373214 , S2CID   119319140 .
• де ла Мадрид, Р.; Бом, А.; Гаделла, М. (2002), "Обработка непрерывного спектра в оснащенном гильбертовом пространстве", Fortschr. Физ. , 50 (2): 185–216, arXiv : quant-ph/0109154 , Bibcode : 2002ForPh..50..185D , doi : 10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0 .CO;2-S , S2CID   9407651 .
• МакМахон, Д. (22 ноября 2005 г.), «Введение в пространство состояний» (PDF) , Демистификация квантовой механики, Руководство для самообучения , Демистифицированная серия, Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 108, ISBN  978-0-07-145546-6 , получено 17 марта 2008 г.
• ван дер Пол, Балт.; Бреммер, Х. (1987), Операционное исчисление (3-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0327-6 , МР   0904873 .
• Рудин, Уолтер (1966). Дивайн, Питер Р. (ред.). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill (опубликовано в 1987 г.). ISBN  0-07-100276-6 .
• Рудин, Уолтер (1991), Функциональный анализ (2-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-054236-5 .
• Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), Функции Эйри и приложения к физике , Лондон: Imperial College Press, ISBN  9781911299486 .
• Саичев А.И.; Войчинский, Войбор Анджей (1997), «Глава 1: Основные определения и операции» , Распределения в физических и технических науках: распределительное и фрактальное исчисление, интегральные преобразования и вейвлеты , Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-3924-2
• Шварц, Л. (1950), Теория распределений , том. 1, Германн .
• Шварц, Л. (1951), Теория распределений , том. 2, Герман .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9 .
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN  978-0-8493-8273-4 .
• Владимиров, В.С. (1971), Уравнения математической физики , Марсель Деккер, ISBN  978-0-8247-1713-1 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дельта-функция» . Математический мир .
• Ямасита, Х. (2006), «Поточечный анализ скалярных полей: нестандартный подход», Journal of Mathematical Physics , 47 (9): 092301, Bibcode : 2006JMP....47i2301Y , doi : 10.1063/1.2339017
• Ямашита, Х. (2007), «Комментарий к статье «Поточечный анализ скалярных полей: нестандартный подход» [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]», Journal of Mathematical Physics , 48 ​​(8): 084101, Бибкод : 2007JMP....48h4101Y , doi : 10.1063/1.2771422

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с распространением Дирака, на Викискладе?
• «Дельта-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Видеоурок KhanAcademy.org
• Дельта-функция Дирака , учебник по дельта-функции Дирака.
• Видеолекции — Лекция 23 , лекция Артура Мэттака .
• Дельта-мера Дирака — это гиперфункция.
• Мы показываем существование единственного решения и анализируем аппроксимацию методом конечных элементов, когда исходным членом является дельта-мера Дирака.
• Нелебеговые меры на мере Р. Лебега-Стилтьеса, дельта-мера Дирака. Архивировано 7 марта 2008 г. в Wayback Machine.