Волновое уравнение

Не путать с волновой функцией .

Импульс , проходящий через струну с фиксированными концами, как это моделируется волновым уравнением.

Сферические волны, исходящие от точечного источника

Решение двумерного волнового уравнения

Волновое уравнение представляет собой линейное уравнение в частных производных второго порядка для описания волн или полей стоячих волн , таких как механические волны (например, волны на воде , звуковые волны и сейсмические волны ) или электромагнитные волны (включая световые волны). Оно возникает в таких областях, как акустика , электромагнетизм и гидродинамика .

Эта статья посвящена двусторонним волнам в классической физике . Одиночные механические или электромагнитные волны, распространяющиеся в заранее определенном направлении, также можно описать с помощью одностороннего волнового уравнения первого порядка , которое гораздо проще решить и которое также справедливо для неоднородных сред. , основанное на операторах, Квантовая физика использует волновое уравнение часто как релятивистское волновое уравнение .

Введение

(Двустороннее) волновое уравнение представляет собой гиперболическое уравнение в частных производных, описывающее волны, включая бегущие и стоячие волны ; последние можно рассматривать как линейные суперпозиции волн, бегущих в противоположных направлениях. Эта статья в основном посвящена скалярному волновому уравнению, описывающему волны в скалярах с помощью скалярных функций u = u (x, y, z, t) временной переменной t (переменной, представляющей время) и одной или нескольких пространственных переменных x, y, z. (переменные, представляющие положение в обсуждаемом пространстве). В то же время существуют векторные волновые уравнения, описывающие волны в векторах, такие как волны электрического поля, магнитного поля, магнитного векторного потенциала и упругие волны . По сравнению с векторными волновыми уравнениями скалярное волновое уравнение можно рассматривать как частный случай векторных волновых уравнений; в декартовой системе координат скалярное волновое уравнение — это уравнение, которому должна удовлетворять каждая компонента (для каждой оси координат, такая как компонента x для оси x ) векторной волны без источников волн в рассматриваемой области (т. е., пространство и время). Например, в декартовой системе координат для $(E_{x},E_{y},E_{z})$ как представление волны электрического векторного поля ${\vec {E}}$ в отсутствие источников волн каждая компонента оси координат $E_{i}$( i = x , y , z ) должен удовлетворять скалярному волновому уравнению. Другие решения скалярного волнового уравнения u предназначены для физических величин в скалярах , таких как давление в жидкости или газе или смещение в некотором определенном направлении частиц колеблющегося твердого тела от их положений покоя (равновесия).

Скалярное волновое уравнение:

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right),$$

Пояснения к терминам и обозначениям:

• c — фиксированный неотрицательный действительный коэффициент .
• u : скалярное поле, представляющее смещение из положения покоя – это может быть давление газа выше или ниже нормы, или высота воды в пруду выше или ниже покоя, или другая переменная, например, потенциал.
• x , y и z : представляет каждое из измерений пространства или положения.
• t : представляет время.
• ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}$: измеряет, насколько сильно изменяется смещение.
• ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$: измеряет, как изменяется смещение в точке x в измерении x . Это не скорость, с которой смещение меняется в пространстве, а, по сути, скорость, с которой само изменение меняется в пространстве – его вторая производная . Другими словами, этот член показывает, как изменения смещения сжимаются вблизи x .
• ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}$ и ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}$ относятся к другим измерениям, как и термин с x выше.

Уравнение утверждает, что в любой данный момент, в любой данной точке ускорение смещения пропорционально тому, как изменения смещения сжимаются в окружающей области. Другими словами, более резкое смещение отталкивается назад с большей силой.

Используя обозначения ньютоновской механики и векторного исчисления , волновое уравнение можно компактно записать как

${\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u,$

где двойная точка ${\ddot {u}}$ обозначает две производные по времени от u , ∇ — оператор набла , а ∇ ² = ∇ · ∇ — (пространственный) оператор Лапласа (не векторный лапласиан):

$${\ddot {u}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right),\qquad \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$$

Другое компактное обозначение, иногда используемое в физике, — это

$$\Box u=0,$$

где все дифференциальные операторы объединены в оператор Даламбера (обозначен прямоугольником):

$$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.$$

Решение этого (двустороннего) волнового уравнения может быть весьма сложным. Тем не менее, его можно анализировать как линейную комбинацию простых решений, которые представляют собой синусоидальные плоские волны с различными направлениями распространения и длинами волн, но все с одинаковой скоростью распространения c . Этот анализ возможен, поскольку волновое уравнение линейно и однородно, так что любое кратное решению также является решением, а сумма любых двух решений снова является решением. называется принципом суперпозиции Это свойство в физике .

Волновое уравнение само по себе не определяет физического решения; единственное решение обычно получается путем постановки задачи с дополнительными условиями, такими как начальные условия , которые предписывают амплитуду и фазу волны. Другой важный класс задач возникает в закрытых пространствах, заданных граничными условиями , для которых решения представляют собой стоячие волны или гармоники , аналогичные гармоникам музыкальных инструментов.

Волновое уравнение в одном измерении пространства

Французский учёный Жан-Батист ле Рон д’Аламбер открыл волновое уравнение в одном измерении пространства.

Волновое уравнение в одном измерении пространства можно записать следующим образом:

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$$

В этом уравнении следует отметить, что предыдущая константа, которую мы назвали «c», становится «v», где «v» представляет скорость распространения волны.

Это уравнение обычно описывается как имеющее только одно пространственное измерение x , поскольку единственной другой независимой переменной является время t . Тем не менее, зависимая переменная u может представлять собой второе измерение пространства, если, например, смещение u происходит в направлении y , как в случае со струной, расположенной в плоскости xy .

Вывод волнового уравнения

Волновое уравнение в одном измерении пространства может быть получено в самых разных физических условиях. Наиболее известный его вывод можно получить для случая, когда струна колеблется в двумерной плоскости, при этом каждый из ее элементов тянется в противоположных направлениях под действием силы натяжения .

Другая физическая установка для вывода волнового уравнения в одном измерении пространства использует закон Гука . В теории упругости закон Гука является приближением для некоторых материалов и утверждает, что величина деформации материального тела (деформация ) линейно связана с силой, вызывающей деформацию ( напряжение ).

Из закона Гука

Волновое уравнение в одномерном случае можно вывести из закона Гука следующим образом: представьте себе массив грузиков массы m , связанных между собой безмассовыми пружинками длины h . Пружины жесткость k : имеют

Здесь зависимая переменная u ( x ) измеряет расстояние от равновесия массы, расположенной в точке x , так что u ( x ) по существу измеряет величину возмущения (т.е. деформации), которое распространяется в упругом материале. Результирующая сила, действующая на массу m в точке x + h , равна:

$${\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}$$

Приравнивая последнее уравнение к

$${\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}$$

уравнение движения груза в точке x + h получается :

$${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].$$

Если массив гирь состоит из N гирь, равномерно распределенных по длине L = Nh общей массы M = Nm и общей жесткости пружины массива K = k / N , мы можем записать приведенное выше уравнение как

$${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)}{h^{2}}}.$$

Переходя к пределу N → ∞, h → 0 и предполагая гладкость, получаем

$${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},$$

что следует из определения второй производной . КЛ ² / M – квадрат скорости распространения в данном конкретном случае.

1-я стоячая волна как суперпозиция двух волн, бегущих в противоположных направлениях

Пульс стресса в баре

В случае импульса напряжения, распространяющегося в продольном направлении через стержень, стержень действует во многом как бесконечное число последовательно соединенных пружин и может рассматриваться как расширение уравнения, полученного для закона Гука. Однородный стержень, т. е. постоянного поперечного сечения, изготовленный из линейно упругого материала, имеет жесткость K , определяемую выражением

$$K={\frac {EA}{L}},$$

где A — площадь поперечного сечения, а E — модуль Юнга материала. Волновое уравнение становится

$${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$$

AL равен объёму бара, и поэтому

$${\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},$$

где ρ — плотность материала. Волновое уравнение сводится к

$${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$$

Следовательно, скорость волны напряжения в стержне равна ${\sqrt {E/\rho }}$.

Общее решение

Алгебраический подход

Одномерное волновое уравнение необычно для уравнения в частных производных тем, что можно найти относительно простое общее решение. Определение новых переменных

$${\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}$$

превращает волновое уравнение в

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,$$

что приводит к общему решению

$$u(x,t)=F(\xi )+G(\eta ),$$

или эквивалентно,

$$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$

Другими словами, решения одномерного волнового уравнения представляют собой суммы бегущей вправо функции F и бегущей влево G. функции «Путешествие» означает, что форма этих отдельных произвольных функций относительно x остается постоянной, однако функции со временем перемещаются влево и вправо со скоростью c . Это было получено Жаном ле Роном д'Аламбером .

Другой способ получить этот результат — факторизовать волновое уравнение с помощью двух дифференциальных операторов первого порядка:

$$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.$$

Обратите внимание, что эти операторы используются в односторонних волновых уравнениях :

$${\frac {\partial w}{\partial t}}-c{\frac {\partial w}{\partial x}}=0,\qquad {\frac {\partial w}{\partial t}}+c{\frac {\partial w}{\partial x}}=0.$$

Тогда для нашего исходного уравнения мы можем определить

$$v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},$$

и обнаруживаем, что мы должны иметь

$${\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.$$

Это одностороннее волновое уравнение можно решить, интерпретируя его как говорящее нам, что производная v в направлении (1, -c ) равна 0. Это означает, что значение v постоянно на характеристических линиях формы x + ct = x ₀ , и, таким образом, v должно зависеть только от x + ct , то есть иметь форму H ( x + ct ) . Затем, чтобы решить первое (неоднородное) одностороннее волновое уравнение, связывающее v с u , мы можем отметить, что его однородное решение должно быть функцией вида F ( x - ct ) по логике, аналогичной приведенной выше. Угадывая частное решение вида G ( x + ct ) , находим, что

$$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).$$

Расширение левой части, перестановка членов, а затем использование замены переменных s = x + ct упрощает уравнение до

$$G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.$$

Это означает, что мы можем найти частное решение G нужного вида путем интегрирования. Таким образом, мы снова показали, что u подчиняется u ( x , t ) = F ( x - ct ) + G ( x + ct ) через односторонние волновые уравнения. Обратите внимание, что, поскольку односторонние волновые дифференциальные операторы коммутируют для аналитических функций по теореме Клеро , мы могли бы эквивалентным образом составить нашу систему односторонних волновых уравнений так, чтобы мы решали их в противоположном порядке.

Обычное волновое уравнение второго порядка иногда называют «двусторонним волновым уравнением» (суперпозицией двух волн), чтобы отличить его от одностороннего волнового уравнения первого порядка , описывающего распространение одиночной волны в заранее определенной направление.

Для задачи начального значения произвольные функции F и G могут быть определены так, чтобы удовлетворять начальным условиям:

$$u(x,0)=f(x),$$

$$u_{t}(x,0)=g(x).$$

Результатом является формула Даламбера :

$$u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.$$

В классическом смысле, если f ( x ) ∈ C ^к , и g ( x ) ∈ C ^{к -1} , то ты ( т , x ) ∈ C ^к . Однако формы сигналов F и G также могут быть обобщенными функциями , такими как дельта-функция. В этом случае решение можно интерпретировать как импульс, идущий вправо или влево.

Основное волновое уравнение является линейным дифференциальным уравнением , поэтому оно подчиняется принципу суперпозиции . Это означает, что чистое смещение, вызванное двумя или более волнами, представляет собой сумму смещений, которые были бы вызваны каждой волной в отдельности. Кроме того, поведение волны можно анализировать, разбив волну на компоненты, например, преобразование Фурье разбивает волну на синусоидальные компоненты.

плоской

Основная статья: уравнение Гельмгольца

Другой способ решения одномерного волнового уравнения — сначала проанализировать его собственные частоты . Так называемая собственная мода — это решение, колеблющееся во времени с четко определенной постоянной угловой частотой ω , так что временная часть волновой функции принимает вид e ^{− iωt} = cos( ωt ) − i sin( ωt ) , а амплитуда является функцией f ( x ) пространственной переменной x , что дает разделение переменных для волновой функции:

$$u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).$$

В результате получается обыкновенное дифференциальное уравнение для пространственной части f ( x ) :

$${\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).$$

Поэтому,

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),$$

которое в точности является уравнением собственных значений для f ( x ) , отсюда и название «собственная мода». Известное как уравнение Гельмгольца , оно имеет хорошо известные в виде плоских волн. решения

$$f(x)=Ae^{\pm ikx},$$

с волновым числом k = ω / c .

Тогда полная волновая функция для этой собственной моды представляет собой линейную комбинацию

$$u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},$$

где комплексные числа A , B зависят, вообще говоря, от любых начальных и граничных условий задачи.

Собственные моды полезны при построении полного решения волнового уравнения, поскольку каждая из них развивается во времени тривиально с фазовым множителем $e^{-i\omega t},$ так что полное решение можно разложить на разложение по собственным модам :

$$u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,$$

или в терминах плоских волн,

$${\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}$$

что находится точно в той же форме, что и в алгебраическом подходе. Функции s _± ( ω ) известны как компонента Фурье и определяются начальными и граничными условиями. Это так называемый метод частотной области , альтернативный прямому распространению во временной области , такому как метод FDTD , волнового пакета u ( x , t ) , который является полным для представления волн в отсутствие замедления времени. Полнота разложения Фурье для представления волн при наличии замедления времени была поставлена ​​​​под сомнение решениями для чирп -волн, допускающими изменение ω во времени . Решения в виде ЛЧМ-волн, по-видимому, особенно подразумеваются очень большими, но ранее необъяснимыми радиолокационными остатками в аномалии пролета и отличаются от синусоидальных решений тем, что их можно принимать на любом расстоянии только при пропорционально сдвинутых частотах и ​​замедлении времени, соответствующих прошлым состояниям ЛЧМ-сигнала источника.

Векторное волновое уравнение в

Векторное волновое уравнение (из которого можно напрямую вывести скалярное волновое уравнение) можно получить, применив силовое равновесие к бесконечно малому элементу объема. В однородном континууме (декартова координата $\mathbf {x}$) с постоянным модулем упругости $E$ векторное упругое отклонение $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ вызывает тензор напряжений $\mathbf {T} =E\nabla \mathbf {u}$. Локальное равновесие а) силы натяжения $\operatorname {div} \mathbf {T} =\nabla \cdot (E\nabla \mathbf {u} )=E\Delta \mathbf {u}$ из-за отклонения $\mathbf {u}$ и б) сила инерции $\rho \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$ вызванное местным ускорением $\partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$ можно записать как

$$\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-E\Delta \mathbf {u} =\mathbf {0} .$$

Путем слияния плотности $\rho$ и модуль эластичности $E,$ скорость звука $c={\sqrt {E/\rho }}$результаты (материальный закон). После вставки следует известное основное волновое уравнение для однородной среды:

$${\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta \mathbf {u} ={\boldsymbol {0}}.$$

(Примечание: вместо векторного $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),$ только скаляр $u(x,t)$ можно использовать, т.е. волны распространяются только вдоль $x$ ось, и скалярное волновое уравнение имеет вид ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$.)

Вышеупомянутое векторное уравнение в частных производных 2-го порядка дает два взаимно независимых решения. Из квадратичного члена скорости $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ видно, что существуют две волны, бегущие в противоположных направлениях. $+c$ и $-c$возможны, отсюда и происходит обозначение «двустороннее волновое уравнение». Для распространения плоских продольных волн можно показать, что синтез двух односторонних волновых уравнений приводит к общему двустороннему волновому уравнению. Для $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ специальное двухволновое уравнение с результатами оператора Даламбера:

$$\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )^{2}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$$

Для $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ это упрощает

$$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\Delta \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$$

Следовательно, векторное одностороннее волновое уравнение 1-го порядка с волнами, движущимися в заранее определенном направлении распространения $\mathbf {c}$ Результаты как

$${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {0} .$$

Скалярное волновое уравнение в трёх измерениях пространства

Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер (р. 1707) открыл волновое уравнение в трёх измерениях пространства.

Решение начальной задачи для волнового уравнения в трехмерном пространстве можно получить из соответствующего решения для сферической волны. Затем результат можно использовать для получения того же решения в двух измерениях пространства.

Сферические волны

Волновое уравнение можно решить, используя технику разделения переменных . Чтобы получить решение с постоянными частотами, сначала преобразуем Фурье волновое уравнение во времени как

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,$$

так что мы получаем

$$\left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.$$

Это уравнение Гельмгольца , и его можно решить, используя разделение переменных. Если для описания задачи используются сферические координаты , то решение угловой части уравнения Гельмгольца дается сферическими гармониками , и радиальное уравнение теперь принимает вид

$$\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.$$

Здесь k ≡ ω / c , и полное решение теперь имеет вид

$$\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{lm}\left[A_{lm}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+A_{lm}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]Y_{lm}(\theta ,\phi ),$$

где ч ⁽¹⁾
_л ( кр ) и ч ⁽²⁾
_l ( kr ) — сферические функции Ганкеля .

Пример

Чтобы лучше понять природу этих сферических волн, давайте вернемся назад и рассмотрим случай, когда l = 0 . В этом случае угловой зависимости нет, а амплитуда зависит только от радиального расстояния, т. е. Ψ( r , t ) → u ( r , t ) . В этом случае волновое уравнение сводится к

$$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,$$

или

$$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.$$

Это уравнение можно переписать как

$${\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,$$

где величина ru удовлетворяет одномерному волновому уравнению. Следовательно, существуют решения в виде

$$u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),$$

где F и G являются общими решениями одномерного волнового уравнения и могут интерпретироваться соответственно как исходящая и приходящая сферические волны. Исходящая волна может генерироваться точечным источником , и они делают возможными резкие сигналы, форма которых меняется только за счет уменьшения амплитуды при увеличении r (см. иллюстрацию сферической волны вверху справа). Такие волны существуют только в случаях пространства нечетных размеров.

Физические примеры решений трехмерного волнового уравнения, обладающих угловой зависимостью, см. в разделе «Дипольное излучение» .

сферическая

Разрез сферических волновых фронтов длиной волны 10 единиц, распространяющихся от точечного источника.

Хотя слово «монохроматический» не совсем точно, поскольку оно относится к свету или электромагнитному излучению с четко определенной частотой, цель состоит в том, чтобы обнаружить собственную моду волнового уравнения в трех измерениях. Следуя выводам из предыдущего раздела о собственных модах плоских волн , если мы снова ограничим наши решения сферическими волнами, которые колеблются во времени с четко определенной постоянной угловой частотой ω , то преобразованная функция ru ( r , t ) будет иметь просто плоскую волну. решения:

$$ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},$$

или

$$u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.$$

Отсюда мы можем наблюдать, что пиковая интенсивность сферических колебаний, характеризуемая как амплитуда прямоугольной волны

$$I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},$$

падает со скоростью, пропорциональной 1/ r ² , пример закона обратных квадратов .

Решение общей задачи начального значения

Волновое уравнение линейно по u и не изменяется при перемещениях в пространстве и времени. Следовательно, мы можем генерировать большое разнообразие решений путем перевода и суммирования сферических волн. Пусть φ ( ξ , η , ζ ) — произвольная функция трех независимых переменных, и пусть сферическая волновая форма F — дельта-функция : то есть пусть F — слабый предел непрерывных функций, интеграл которых равен единице, но чья опора (область, где функция не равна нулю) сжимается к началу координат. Пусть семейство сферических волн имеет центр в точке ( ξ , η , ζ ) , и пусть r — радиальное расстояние от этой точки. Таким образом

$$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.$$

Если u является суперпозицией таких волн с весовой функцией φ , то

$$u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ;$$

знаменатель 4 πc — это удобство.

Из определения дельта-функции u также можно записать как

$$u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,$$

где α , β и γ — координаты на единичной сфере S , а — элемент площади на S. ω Этот результат интерпретируется следующим образом: u ( t , x ) раз превышает в t среднее значение φ на сфере радиуса ct с центром в x :

$$u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].$$

Следует, что

$$u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).$$

Среднее значение является четной функцией t , и, следовательно, если

$$v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\psi ]{\big )},$$

затем

$$v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.$$

Эти формулы дают решение начальной задачи для волнового уравнения. Они показывают, что решение в данной точке P при заданных ( t , x , y , z ) зависит только от данных о сфере радиуса ct , которую пересекает световой конус проведенный назад от P. , Это не зависит от данных о внутренней части этой сферы. Таким образом, внутренняя часть сферы представляет собой пробел для решения. Это явление называется принципом Гюйгенса . Это справедливо для нечетных чисел размерности пространства, где для одного измерения интегрирование осуществляется по границе интервала относительно меры Дирака. Оно не удовлетворяется даже в пространственных измерениях. Феномен лакун подробно исследовался Атьей , Боттом и Гордингом (1970, 1973).

Скалярное волновое уравнение в

В двух измерениях пространства волновое уравнение имеет вид

$$u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).$$

Мы можем использовать трехмерную теорию для решения этой проблемы, если рассматривать u как функцию в трех измерениях, независимую от третьего измерения. Если

$$u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),$$

тогда формула трехмерного решения принимает вид

$$u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,$$

где α и β — первые две координаты на единичной сфере, а d ω — элемент площади на сфере. Этот интеграл можно переписать как двойной интеграл по диску D с центром ( x , y ) и радиусом ct :

$$u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .$$

Очевидно, что решение в точке ( t , x , y ) зависит не только от данных о световом конусе, где

$$(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},$$

но также и на данных, находящихся внутри этого конуса.

Кирхгофа

Мы хотим найти решения задачи u _tt − ∆ u = 0 для u : R ^н × (0, ∞) → R с ты ( Икс , 0) знак равно грамм ( Икс ) и ты _т ( Икс , 0) знак равно час ( Икс ) . См. Эванс для более подробной информации.

Нечетные размеры

Предположим, что n ≥ 3 — нечетное целое число и g ∈ C ^{м +1} ( Р ^н ) , час ∈ C ^м ( Р ^н ) для m = ( n + 1)/2 . Пусть γ _n = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( n − 2) и пусть

$$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]$$

Затем

• $u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}$,
• $u_{tt}-\Delta u=0$ в $\mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )$,
• $\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$,
• $\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$.

Четные размеры

Предположим, что n ≥ 2 — четное целое число и g ∈ C ^{м +1} ( Р ^н ) , час ∈ C ^м ( Р ^н ) , для m = ( n + 2)/2 . Пусть γ _n = 2 × 4 × ⋯ × n и пусть

$$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]$$

затем

• ты ∈ C ² ( Р ^н × [0, ∞))
• u _tt − Δ u = 0 в R ^н × (0, ∞)
• $\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$
• $\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$

Проблемы с границами

Одно измерение пространства

Отражение и передача на границе двух сред

Для падающей волны, распространяющейся из одной среды (где скорость волны равна c ₁ ) в другую среду (где скорость волны равна c ₂ ), одна часть волны перейдет во вторую среду, а другая часть отразится обратно в другую. направлении и остается в первой среде. Амплитуда прошедшей и отраженной волны можно рассчитать, используя условие непрерывности на границе.

Рассмотрим составляющую падающей волны с угловой частотой ω , имеющую форму волны

$$u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .$$

При t = 0 инцидент достигает границы между двумя средами в точке x = 0 . Следовательно, соответствующая отраженная волна и прошедшая волна будут иметь форму сигнала

$$u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .$$

Условие непрерывности на границе:

$$u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).$$

Это дает уравнения

$$A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,$$

и у нас есть отражательная способность и пропускающая способность

$${\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.$$

Когда c ₂ < c ₁ , отраженная волна имеет изменение фазы отражения на 180°, поскольку B / A < 0 . Сохранение энергии можно проверить,

$${\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.$$

Вышеприведенное обсуждение справедливо для любого компонента, независимо от его угловой частоты ω .

Предельный случай c ₂ = 0 соответствует «неподвижному концу», который не движется, тогда как предельный случай c ₂ → ∞ соответствует «свободному концу».

Штурма

Гибкая струна, натянутая между двумя точками x = 0 и x = L, удовлетворяет волновому уравнению для t > 0 и 0 < x < L . В граничных точках вы можете удовлетворять множеству граничных условий. Общая форма, подходящая для приложений, такова:

$${\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}$$

где a и b неотрицательны. Случай, когда u требуется исчезнуть в конечной точке (т. е. «фиксированный конец»), является пределом этого условия, когда соответствующие a или b приближаются к бесконечности. Метод разделения переменных заключается в поиске решения этой задачи в специальном виде

$$u(t,x)=T(t)v(x).$$

Следствием этого является то, что

$${\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .$$

λ Собственное значение необходимо определить так, чтобы существовало нетривиальное решение краевой задачи

$${\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}$$

Это частный случай общей задачи теории Штурма–Лиувилля . Если a и b положительны, все собственные значения положительны, а решения являются тригонометрическими функциями. Решение, удовлетворяющее интегрируемым с квадратом начальным условиям для u и u _t, может быть получено путем разложения этих функций в соответствующий тригонометрический ряд.

Исследование численными методами

Аппроксимируя непрерывную струну конечным числом эквидистантных массовых точек, получаем следующую физическую модель:

Три последовательные массовые точки дискретной модели струны

Если каждая массовая точка имеет массу m , натяжение струны равно f , расстояние между массовыми точками равно Δx , а ui _, . i = 1, ..., n — смещение этих n точек от их равновесия точек (т.е. их положение на прямой между двумя точками крепления струны), вертикальная составляющая силы по направлению к точке i + 1 равна

$${\frac {u_{i+1}-u_{i}}{\Delta x}}f,$$

( 1 )

а вертикальная составляющая силы по направлению к точке i - 1 равна

$${\frac {u_{i-1}-u_{i}}{\Delta x}}f.$$

( 2 )

Взяв сумму этих двух сил и разделив на массу m , получим для вертикального движения:

$${\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {f}{m\Delta x}}\right)(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}).$$

( 3 )

Поскольку массовая плотность

$$\rho ={\frac {m}{\Delta x}},$$

это можно написать

$${\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {f}{\rho (\Delta x)^{2}}}\right)(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}).$$

( 4 )

Волновое уравнение получается, если Δx , и → 0 в этом случае u _i ( t ) принимает форму u ( x , t ) , где u ( x , t ) — непрерывная функция двух переменных, ü _i принимает форму ∂ ² в /∂ т ² , и

$${\frac {u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}}{(\Delta x)^{2}}}\to {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$$

Но дискретная формулировка ( 3 ) уравнения состояния с конечным числом массовых точек как раз подходит для численного распространения движения струны. Граничное условие

$$u(0,t)=u(L,t)=0,$$

где L — длина струны, в дискретной формулировке принимает вид, что для крайних точек u ₁ и un _вид уравнения движения имеют

$${\ddot {u}}_{1}=\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)^{2}(u_{2}-2u_{1})$$

( 5 )

и

$${\ddot {u}}_{n}=\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)^{2}(u_{n-1}-2u_{n}),$$

( 6 )

в то время как для 1 < i < n

$${\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)^{2}(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}),$$

( 7 )

где c знак равно √ ж / ρ .

Если струна аппроксимирована 100 дискретными массовыми точками, получится 100 связанных дифференциальных уравнений второго порядка ( 5 ), ( 6 ) и ( 7 ) или, что то же самое, 200 связанных дифференциальных уравнений первого порядка.

Пропагандируя их до времени

$${\frac {L}{c}}k(0.05),\ k=0,\dots ,5,$$

8-го порядка с помощью многошагового метода находятся 6 состояний, показанных на рисунке:

Строка в 6 последовательных эпохах, первая (красная) соответствует начальному времени, когда строка находится в состоянии покоя.

Красная кривая — это начальное состояние в нулевой момент времени, в котором струна «освобождается» в заранее заданной форме. со всем ${\dot {u}}_{i}=0$. Синяя кривая — состояние в момент времени. ${\tfrac {L}{c}}\cdot 0.25,$ т.е. через время, которое соответствует времени, которое волне, движущейся с номинальной волновой скоростью c = √ f / ρ , потребуется одна четверть длины струны.

Форма струны в то время ${\tfrac {L}{c}}k\cdot 0.05,\ k=6,\dots ,11$

Волна движется вправо со скоростью c = √ f / ρ, не будучи активно ограниченной граничными условиями на двух крайних точках струны. Форма волны постоянна, т.е. кривая действительно имеет форму f ( x − ct ) .

Форма струны в то время ${\tfrac {L}{c}}k\cdot 0.05,\ k=12,\dots ,17$

Ограничение правого края начинает мешать движению, не давая волне поднять конец струны.

Форма струны в то время ${\tfrac {L}{c}}k\cdot 0.05,\ k=18,\dots ,23$

Направление движения меняется на противоположное. Красная, зеленая и синяя кривые — состояния в данный момент. ${\tfrac {L}{c}}k\cdot 0.05,\ k=18,\dots ,20$ а три черные кривые соответствуют состояниям при $k=21,\dots ,23$ волна начинает двигаться обратно влево.

Форма струны в то время ${\tfrac {L}{c}}k\cdot 0.05,\ k=24,\dots ,29$

Форма струны в то время ${\tfrac {L}{c}}k\cdot 0.05,\ k=30,\dots ,35$

Волна теперь движется влево, и ограничения в конечных точках больше не активны. Когда, наконец, будет достигнут другой крайний край строки, направление снова изменится на противоположное, аналогично тому, что показано на рисунке выше для $k=18,\dots ,23.$

Несколько измерений пространства

Решение волнового уравнения в двух измерениях с граничным условием нулевого смещения по всему внешнему краю

Одномерная начально-краевая теория может быть распространена на произвольное число измерений пространства. Рассмотрим область D в m -мерном x пространстве B. с границей Тогда волновое уравнение должно удовлетворяться, если x находится в D и t > 0 . На границе D решение u должно удовлетворять

$${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,$$

где n — единица внешней нормали к B , а a — неотрицательная функция, определенная B. на Случай, когда u обращается в нуль на B, является предельным случаем приближения к бесконечности . Начальные условия

$$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),$$

где f и g определены в D . Эту проблему можно решить, разложив f и g по собственным функциям лапласиана в D , удовлетворяющим граничным условиям. Таким образом, собственная функция v удовлетворяет

$$\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0$$

в D и

$${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0$$

на Б. ​

В случае двух измерений пространства собственные функции можно интерпретировать как формы колебаний пластика, растянутого на B. границе Если B — круг, то эти собственные функции имеют угловую составляющую, которая представляет собой тригонометрическую функцию полярного угла θ , умноженную на функцию Бесселя (целого порядка) радиальной составляющей. Более подробная информация содержится в уравнении Гельмгольца .

Если граница представляет собой сферу в трех измерениях пространства, угловые компоненты собственных функций представляют собой сферические гармоники , а радиальные компоненты — функции Бесселя полуцелого порядка.

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении

См. Также: Уравнение неоднородной электромагнитной волны.

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении имеет вид

$$u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)$$

с начальными условиями

$$u(x,0)=f(x),$$

$$u_{t}(x,0)=g(x).$$

Функцию s ( x , t ) часто называют функцией источника, поскольку на практике она описывает воздействие источников волн на несущую их среду. Физические примеры функций источника включают силу, вызывающую волну на струне, или плотность заряда или тока в Лоренца электромагнетизма калибровке .

Один из методов решения задачи начального значения (с начальными значениями, указанными выше) состоит в том, чтобы воспользоваться особым свойством волнового уравнения в нечетном числе измерений пространства, а именно того, что его решения соблюдают причинность. То есть для любой точки ( x _i , t _i ) значение u ( x _i , t _i ) зависит только от значений f ( x _i + ct _i ) и f ( x _i − ct _i ) и значения функции g ( x ) между ( x _i - ct _i ) и ( x _i + ct _i ) . Это можно увидеть в приведенной выше формуле Даламбера , где в ней фигурируют только эти величины. Физически, если максимальная скорость распространения равна c , то никакая часть волны, которая не может распространиться в данную точку за данное время, не может повлиять на амплитуду в ту же точку и в тот же момент времени.

С точки зрения поиска решения это свойство причинности означает, что для любой данной точки на рассматриваемой линии единственной областью, которую необходимо учитывать, является область, охватывающая все точки, которые могут причинно повлиять на рассматриваемую точку. Обозначим область, которая причинно влияет ( xi _, , ti _на ) как RC _. точку Предположим, мы интегрируем неоднородное волновое уравнение по этой области:

$$\iint _{R_{C}}{\big (}c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t){\big )}\,dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$$

Чтобы значительно упростить это, мы можем использовать теорему Грина для упрощения левой части и получить следующее:

$$\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$$

Левая часть теперь представляет собой сумму трех линейных интегралов по границам области причинности. Оказывается, их довольно легко вычислить:

$$\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.$$

В приведенном выше примере термин, который нужно интегрировать по времени, исчезает, поскольку задействованный временной интервал равен нулю, поэтому dt = 0 .

Для двух других сторон области стоит отметить, что x ± ct является константой, а именно x _i ± ct _i , где знак выбран соответствующим образом. Используя это, мы можем получить соотношение d x ± c d t = 0 , снова выбрав правильный знак:

$${\begin{aligned}\int _{L_{1}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=\int _{L_{1}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}$$

И аналогично для последнего граничного сегмента:

$${\begin{aligned}\int _{L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=-\int _{L_{2}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=-c\int _{L_{2}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}$$

Сложение трех результатов и возвращение их в исходный интеграл дает

$${\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.\end{aligned}}$$

Решая для u ( x _i , t _i ) , мы приходим к

$$u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c(t_{i}-t)}^{x_{i}+c(t_{i}-t)}s(x,t)\,dx\,dt.$$

В последнем уравнении последовательности границы интеграла по функции источника явно определены. Глядя на это решение, которое справедливо для всех вариантов ( x _i , t _i ) , совместимых с волновым уравнением, становится ясно, что первые два члена представляют собой просто формулу Даламбера, как указано выше, как решение однородного волнового уравнения. в одном измерении. Разница заключается в третьем члене — интеграле по источнику.

, трехмерный

Для одностороннего распространения волны, т.е. волны движутся в заранее определенном направлении волны ( $+c$ или $-c$) в неоднородных средах распространение волн также можно рассчитать с помощью тензорного одностороннего волнового уравнения (полученного в результате факторизации векторного двустороннего волнового уравнения) и получить аналитическое решение.

Другие системы координат

В трех измерениях волновое уравнение, записанное в эллиптических цилиндрических координатах , может быть решено путем разделения переменных, что приводит к дифференциальному уравнению Матье .

обобщения

Упругие волны

Уравнение упругих волн (также известное как уравнение Навье–Коши ) в трех измерениях описывает распространение волн в изотропной однородной упругой среде. Большинство твердых материалов упругие, поэтому это уравнение описывает такие явления, как сейсмические волны в Земле и ультразвуковые волны, используемые для обнаружения дефектов материалов. Хотя это уравнение линейное, оно имеет более сложную форму, чем приведенные выше уравнения, поскольку оно должно учитывать как продольное, так и поперечное движение:

$$\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ),$$

где:

λ и µ — так называемые параметры Ламе , описывающие упругие свойства среды,

ρ – плотность,

f – функция источника (движущая сила),

u — вектор смещения.

Используя ∇ × (∇ × u ) = ∇(∇ ⋅ u ) − ∇ ⋅ ∇ u = ∇(∇ ⋅ u ) − ∆ u , уравнение упругой волны можно переписать в более распространенную форму уравнения Навье – Коши .

Обратите внимание, что в уравнении упругих волн и сила, и смещение являются векторными величинами. Таким образом, это уравнение иногда называют векторным волновым уравнением. Для облегчения понимания читатель заметит, что если f и ∇ ⋅ u приравнять к нулю, это становится (фактически) уравнением Максвелла для распространения электрического поля E , которое имеет только поперечные волны.

Дисперсионное соотношение

В дисперсионных волновых явлениях скорость распространения волны зависит от длины волны, что отражается дисперсионным соотношением

$$\omega =\omega (\mathbf {k} ),$$

где ω — угловая частота , а k — волновой вектор , описывающий плосковолновые решения. Для световых волн дисперсионное уравнение имеет вид ω = ± c | к | , но в общем случае постоянная скорость c заменяется переменной фазовой скоростью :

$$v_{\text{p}}={\frac {\omega (k)}{k}}.$$

См. также

• Акустическое затухание
• Уравнение акустической волны
• Преобразование Бейтмана
• Уравнение электромагнитной волны
• Уравнение Гельмгольца
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Оператор Лапласа
• Математика колебаний
• Уравнения Максвелла
• Одностороннее волновое уравнение
• Уравнение Шрёдингера
• Стоячая волна
• Колебания круговой мембраны
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Ссылки

• М. Ф. Атья, Р. Ботт, Л. Гардинг, « Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами I », Acta Mathematica , 124 (1970), 109–189.
• М. Ф. Атья, Р. Ботт и Л. Гардинг, « Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами II », Acta Mathematica , 131 (1973), 145–206.
• Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, том II . Интерсайенс (Уайли), Нью-Йорк, 1962 год.
• Л. Эванс, «Уравнения в частных производных». Американское математическое общество Провиденс, 1998.
• « Линейные волновые уравнения », EqWorld: Мир математических уравнений.
• « Нелинейные волновые уравнения », EqWorld: Мир математических уравнений.
• Уильям К. Лейн, « MISN-0-201 Волновое уравнение и его решения », Проект PHYSNET .

Внешние ссылки

• Нелинейные волновые уравнения Стивена Вольфрама и Роба Кнаппа, Исследователь нелинейных волновых уравнений в рамках демонстрационного проекта Wolfram .
• Математические аспекты волновых уравнений обсуждаются в Dispersive PDE Wiki, заархивировано 25 апреля 2007 г. на Wayback Machine .
• Грэм В. Гриффитс и Уильям Э. Шиссер (2009). Линейные и нелинейные волны . Схоларпедия , 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308