Эластичность (физика)

В физике и материаловедении сила эластичность — это способность тела сопротивляться искажающему влиянию и возвращаться к своему первоначальному размеру и форме, когда это влияние или устраняются . Твердые объекты деформируются адекватных нагрузок при приложении к ним ; если материал эластичен, объект после удаления вернется к своей первоначальной форме и размеру. В этом отличие от пластичности , при которой объект не может этого сделать и вместо этого остается в деформированном состоянии.

Физические причины упругого поведения могут быть совершенно разными для разных материалов. В металлах атомная решетка меняет размер и форму под действием сил (в систему добавляется энергия). Когда силы устраняются, решетка возвращается в исходное состояние с более низкой энергией. Для каучуков и других полимеров эластичность обусловлена растяжением полимерных цепей под действием силы.

Закон Гука гласит, что сила, необходимая для деформации упругих объектов, должна быть прямо пропорциональна расстоянию деформации, независимо от того, насколько большим станет это расстояние. Это известно как идеальная эластичность , при которой данный объект возвращается к своей первоначальной форме независимо от того, насколько сильно он деформируется. Это всего лишь идеальная концепция ; большинство материалов, обладающих упругостью, на практике остаются чисто упругими лишь до очень малых деформаций, после которых наступает пластическая (остаточная) деформация.

В технике эластичность материала количественно определяется модулем упругости, таким как модуль Юнга , модуль объемного сжатия или модуль сдвига , которые измеряют величину напряжения , необходимую для достижения единицы деформации ; более высокий модуль указывает на то, что материал труднее деформировать. Единицей системе СИ этого модуля в является паскаль (Па). материала Предел упругости или предел текучести — это максимальное напряжение , которое может возникнуть до начала пластической деформации. Его единицей СИ также является паскаль (Па).

Обзор

Когда упругий материал деформируется под действием внешней силы, он испытывает внутреннее сопротивление деформации и восстанавливает его в исходное состояние, если внешняя сила больше не применяется. Существуют различные модули упругости , такие как модуль Юнга , модуль сдвига и модуль объемного сжатия , каждый из которых является мерой присущих материалу упругих свойств, таких как сопротивление деформации под приложенной нагрузкой. Различные модули применимы к различным видам деформации. Например, модуль Юнга применяется к растяжению/сжатию тела, тогда как модуль сдвига применяется к его сдвигу . ^[1] Модуль Юнга и модуль сдвига относятся только к твердым телам, тогда как модуль объемного сжатия — к твердым телам, жидкостям и газам.

Упругость материалов описывается кривой растяжения , которая показывает связь между напряжением (средней восстанавливающей внутренней силой на единицу площади) и деформацией (относительной деформацией). ^[2] Кривая обычно нелинейна, но ее можно (с помощью ряда Тейлора ) аппроксимировать как линейную для достаточно малых деформаций (при которых члены более высокого порядка пренебрежимо малы). Если материал изотропен , линеаризованная зависимость напряжения-деформации называется законом Гука , который часто предполагается применимым вплоть до предела упругости для большинства металлов или кристаллических материалов, тогда как нелинейная упругость обычно требуется для моделирования больших деформаций эластичных материалов даже в эластичный диапазон. При еще более высоких напряжениях материалы демонстрируют пластическое поведение , то есть они необратимо деформируются и не возвращаются к своей первоначальной форме после прекращения приложения напряжения. ^[3] Для резиноподобных материалов, таких как эластомеры , наклон кривой растяжения-деформации увеличивается с увеличением напряжения, а это означает, что каучуки постепенно становятся все труднее растягиваться, в то время как для большинства металлов градиент уменьшается при очень высоких нагрузках, а это означает, что они постепенно становятся легче. растягиваться. ^[4] Эластичностью обладают не только твердые тела; Неньютоновские жидкости , такие как вязкоупругие жидкости , также будут проявлять эластичность в определенных условиях, количественно определяемых числом Деборы . В ответ на небольшое, быстро приложенное и снятое напряжение эти жидкости могут деформироваться, а затем вернуться к своей первоначальной форме. При больших нагрузках или нагрузках, приложенных в течение более длительных периодов времени, эти жидкости могут начать течь, как вязкая жидкость.

Поскольку эластичность материала описывается с точки зрения соотношения напряжение-деформация, важно, чтобы термины «напряжение» и «деформация» определялись без двусмысленности. Обычно рассматриваются два типа отношений. К первому типу относятся материалы, упругие только при небольших деформациях. Второй касается материалов, которые не ограничиваются малыми деформациями. Очевидно, что второй тип отношений является более общим в том смысле, что он должен включать первый тип как частный случай.

Для небольших деформаций в качестве меры напряжения используется напряжение Коши, в то время как в качестве меры деформации используется тензор бесконечно малых деформаций ; результирующее (прогнозируемое) поведение материала называется линейной упругостью , которая (для изотропных сред) называется обобщенным законом Гука . Упругие материалы Коши и гипоупругие материалы представляют собой модели, расширяющие закон Гука и учитывающие возможность больших вращений, больших искажений, а также собственной или наведенной анизотропии .

В более общих ситуациях можно использовать любую из нескольких мер напряжения , и обычно желательно (но не обязательно), чтобы соотношение упругого напряжения и деформации было сформулировано в терминах конечной меры деформации , которая является сопряженной по работе с выбранным напряжением. мера, т. е. интеграл по времени скалярного произведения меры напряжения на меру скорости деформации должен быть равен изменению внутренней энергии для любого адиабатического процесса , остающегося ниже предела упругости.

Единицы

Международная система

Единицей упругости и модуля упругости в системе СИ является паскаль (Па). Эта единица определяется как сила на единицу площади, обычно это измерение давления , которое в механике соответствует напряжению . Паскаль и, следовательно, эластичность имеют размерность L ⁻¹⋅M⋅T ⁻².

Для наиболее часто используемых конструкционных материалов модуль упругости измеряется в гигапаскалях (ГПа, 10 ⁹ Хорошо).

Линейная эластичность

Как отмечалось выше, при небольших деформациях большинство упругих материалов, таких как пружины, обладают линейной упругостью и могут быть описаны линейной зависимостью между напряжением и деформацией. Это соотношение известно как закон Гука . Геометрически-зависимая версия идеи ^[а] Впервые был сформулирован Робертом Гуком в 1675 году как латинская анаграмма «ceiiinosssttuv». Он опубликовал ответ в 1678 году: « Ut tensio, sic vis », что означает « Как расширение, так и сила ». ^[5]^[6] линейная зависимость, обычно называемая законом Гука . Этот закон можно сформулировать как взаимосвязь между растягивающей силой $F$ и соответствующим смещением растяжения . $x$ ,

F=kx,

где $k$ — константа, известная как жесткость или жесткость пружины . Это также можно сформулировать как взаимосвязь между стрессом и стрессом. $\sigma$ и напряжение $\varepsilon$ :

\sigma =E\varepsilon ,

где $E$ известен как модуль Юнга . ^[7]

Хотя общая константа пропорциональности между напряжением и деформацией в трех измерениях представляет собой тензор 4-го порядка, называемый жесткостью , системы, демонстрирующие симметрию , такие как одномерный стержень, часто можно свести к применению закона Гука.

Конечная эластичность

Упругое поведение объектов, подвергающихся конечным деформациям, описывается с использованием ряда моделей, таких как модели упругого материала Коши , модели гипоупругого материала и модели гиперупругого материала . Градиент деформации ( F ) является основной мерой деформации, используемой в теории конечных деформаций .

Эластичные материалы Коши

Материал называется упругим по Коши, если тензор напряжений Коши σ является функцией только градиента деформации F :

\ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})

В целом неверно утверждать, что напряжение Коши является функцией просто тензора деформации , поскольку в такой модели отсутствует важная информация о вращении материала, необходимая для получения правильных результатов для анизотропной среды, подвергнутой вертикальному растяжению по сравнению с тем же расширением, приложенным горизонтально и затем подвергают повороту на 90 градусов; обе эти деформации имеют одинаковые тензоры пространственных деформаций, но должны давать разные значения тензора напряжений Коши.

Хотя напряжение в упругом по Коши материале зависит только от состояния деформации, работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Следовательно, эластичность Коши включает в себя неконсервативные «негиперупругие» модели (в которых работа деформации зависит от пути), а также консервативные модели « гиперупругого материала » (для которых напряжение может быть получено из скалярной функции «упругого потенциала»).

Гипоэластичные материалы

Гипоупругий материал можно строго определить как материал, который моделируется с использованием определяющего уравнения, удовлетворяющего следующим двум критериям: ^[8]

Стресс Коши ${\boldsymbol {\sigma }}$ во время $t$ зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости прохождения этих прошлых конфигураций. В качестве частного случая этот критерий включает упругий материал Коши , для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций.
Существует тензорная функция $G$ такой, что ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,$ в котором ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ - материальная скорость тензора напряжений Коши, а ${\boldsymbol {L}}$ – тензор градиента пространственной скорости .

Если для определения гипоэластичности используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включена как особый случай, что побудит некоторых разработчиков моделей добавить третий критерий, который конкретно требует, чтобы гипоэластичная модель не была гиперэластичной (т. е. гипоэластичность подразумевает, что напряжение не выводимая из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, из этого следует, что гипоэластичный материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагружения, которые начинаются и заканчиваются с одним и тем же градиентом деформации , но не начинаются и не заканчиваются с одинаковой внутренней энергией.

Заметим, что второй критерий требует лишь того, чтобы функция $G$ существует . Как подробно описано в основной статье о гипоэластичных материалах , в конкретных формулировках гипоэластичных моделей обычно используются так называемые объективные скорости, чтобы $G$ Функция существует только неявно и обычно требуется явно только для числовых обновлений напряжения, выполняемых посредством прямого интегрирования фактической (не объективной) скорости напряжения.

Гиперэластичные материалы

Гиперупругие материалы (также называемые упругими материалами Грина) представляют собой консервативные модели, полученные на основе функции плотности энергии деформации ( W ). Модель является гиперупругой тогда и только тогда, когда можно выразить тензор напряжений Коши как функцию градиента деформации через соотношение вида

{\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.

В этой формулировке энергетический потенциал ( W ) рассматривается как функция градиента деформации ( ${\boldsymbol {F}}$ ). Требуя также удовлетворения материальной объективности , энергетический потенциал можно альтернативно рассматривать как функцию тензора деформации Коши-Грина ( ${\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {F}}$ ), и в этом случае гиперупругая модель может быть записана альтернативно как

{\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.

Приложения

Линейная упругость широко используется при проектировании и анализе таких конструкций, как балки , пластины и оболочки , а также сэндвич-композиты . Эта теория также является основой большей части механики разрушения .

Гиперэластичность в основном используется для определения реакции объектов на основе эластомеров, таких как прокладки , и биологических материалов, таких как мягкие ткани и клеточные мембраны .

Факторы, влияющие на эластичность

В данном изотропном твердом теле с известной теоретической эластичностью объемного материала в терминах модуля Юнга эффективная эластичность будет определяться пористостью . Обычно более пористый материал будет иметь меньшую жесткость. Более конкретно, доля пор, их распределение по разным размерам и природа жидкости, которой они заполнены, обуславливают различное упругое поведение твердых тел. ^[9]

Для изотропных материалов, содержащих трещины, наличие трещин влияет на модули Юнга и модули сдвига, перпендикулярные плоскостям трещин, которые уменьшаются (модуль Юнга быстрее, чем модуль сдвига) с увеличением плотности разрушения : ^[10] что указывает на то, что наличие трещин делает тела более хрупкими. С микроскопической точки зрения взаимосвязь между напряжением и деформацией материалов обычно определяется свободной энергией Гельмгольца , термодинамической величиной . Молекулы располагаются в конфигурации, которая минимизирует свободную энергию, с учетом ограничений, вытекающих из их структуры, и, в зависимости от того, доминирует ли энергетический или энтропийный член над свободной энергией, материалы в широком смысле можно классифицировать как энергетически-эластичные и энтропийно-эластичные . Таким образом, микроскопические факторы, влияющие на свободную энергию, такие как равновесное расстояние между молекулами, могут влиять на эластичность материалов: например, в неорганических равновесного расстояния между молекулами при 0 К материалах по мере увеличения модуль объемного сжатия уменьшается. ^[11] Влияние температуры на эластичность трудно выделить, поскольку на нее влияет множество факторов. Например, модуль объемного сжатия материала зависит от формы его решетки , его поведения при расширении , а также от колебаний молекул, все из которых зависят от температуры. ^[12]

См. также

Примечания

^ Описания поведения материала не должны зависеть от геометрии и формы объекта, изготовленного из рассматриваемого материала. Первоначальная версия закона Гука предполагает константу жесткости, которая зависит от исходного размера и формы объекта. Таким образом, константа жесткости не является строго свойством материала. ^{[ нужна ссылка ]}

Ссылки

^ Ландау Л.Д., Липшиц Э.М. Теория упругости, 3-е издание, 1970: 1–172.
^ Трелоар, LRG (1975). Физика упругости резины . Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 2 . ISBN 978-0-1985-1355-1 .
^ Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 70 . ISBN 978-0-1237-4446-3 .
^ де С, Гейсбертус (2006). Структура, деформация и целостность материалов, Том I: Основы и эластичность . Вайнхайм: Wiley VCH. п. 32. ISBN 978-3-527-31426-3 .
^ Атанакович, Теодор М.; Гуран, Ардешир (2000). «Закон Гука». Теория упругости для ученых и инженеров . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. п. 85 . ISBN 978-0-8176-4072-9 .
^ «Сила и дизайн» . Столетия гражданского строительства: выставка редких книг, посвященная наследию гражданского строительства . Библиотека науки, техники и технологий Линды Холл. Архивировано из оригинала 13 ноября 2010 года. ^{[ нужна страница ]}
^ Ибрагимбегович, Аднан (2 июня 2009 г.). Нелинейная механика твердого тела: теоретические формулировки и методы решения методом конечных элементов . Springer Science & Business Media. стр. 20–26. ISBN 978-90-481-2330-8 . Архивировано из оригинала 28 мая 2024 года . Проверено 9 июля 2023 г.
^ Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные теории поля в механике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ИСБН 978-3-540-02779-9 .
^ Лю, Минчао; Ву, Цзянь; Ган, Исян; Ханаор, Дориан А.Х.; Чен, CQ (1 мая 2019 г.). «Многомасштабное моделирование эффективных упругих свойств флюидонаполненных пористых материалов» . Международный журнал твердых тел и структур . 162 : 36–44. doi : 10.1016/j.ijsolstr.2018.11.028 .
^ Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 387 . ISBN 978-0-1237-4446-3 .
^ Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 344 . ISBN 978-0-1237-4446-3 .
^ Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 365 . ISBN 978-0-1237-4446-3 .

Внешние ссылки

Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 38: Эластичность

[5] Описания поведения материала не должны зависеть от геометрии и формы объекта, изготовленного из рассматриваемого материала. Первоначальная версия закона Гука предполагает константу жесткости, которая зависит от исходного размера и формы объекта. Таким образом, константа жесткости не является строго свойством материала. ^{[ нужна ссылка ]}

[1] Ландау Л.Д., Липшиц Э.М. Теория упругости, 3-е издание, 1970: 1–172.

[2] Трелоар, LRG (1975). Физика упругости резины . Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 2 . ISBN 978-0-1985-1355-1 .

[3] Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 70 . ISBN 978-0-1237-4446-3 .

[4] де С, Гейсбертус (2006). Структура, деформация и целостность материалов, Том I: Основы и эластичность . Вайнхайм: Wiley VCH. п. 32. ISBN 978-3-527-31426-3 .

[6] Атанакович, Теодор М.; Гуран, Ардешир (2000). «Закон Гука». Теория упругости для ученых и инженеров . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. п. 85 . ISBN 978-0-8176-4072-9 .

[7] «Сила и дизайн» . Столетия гражданского строительства: выставка редких книг, посвященная наследию гражданского строительства . Библиотека науки, техники и технологий Линды Холл. Архивировано из оригинала 13 ноября 2010 года. ^{[ нужна страница ]}

[8] Ибрагимбегович, Аднан (2 июня 2009 г.). Нелинейная механика твердого тела: теоретические формулировки и методы решения методом конечных элементов . Springer Science & Business Media. стр. 20–26. ISBN 978-90-481-2330-8 . Архивировано из оригинала 28 мая 2024 года . Проверено 9 июля 2023 г.

[9] Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные теории поля в механике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ИСБН 978-3-540-02779-9 .

[10] Лю, Минчао; Ву, Цзянь; Ган, Исян; Ханаор, Дориан А.Х.; Чен, CQ (1 мая 2019 г.). «Многомасштабное моделирование эффективных упругих свойств флюидонаполненных пористых материалов» . Международный журнал твердых тел и структур . 162 : 36–44. doi : 10.1016/j.ijsolstr.2018.11.028 .

[11] Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 387 . ISBN 978-0-1237-4446-3 .

[12] Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 344 . ISBN 978-0-1237-4446-3 .

[13] Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 365 . ISBN 978-0-1237-4446-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[а]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

v т и Темы механики сплошных сред
Divisions	Solid mechanics Fluid mechanics Acoustics Vibrations Rigid body dynamics
Laws and Definitions	Laws Conservation of mass Conservation of momentum Navier-Stokes Bernoulli Poiseuille Archimedes Pascal Conservation of energy Entropy inequality Definitions Stress Cauchy stress Stress measures Deformation Small strain Antiplane shear Large strain Compatibility
Solid and Structural mechanics	Solids Elasticity linear Hooke's law Transverse isotropy Orthotropy hyperelasticity Membrane elasticity Equation of state Hugoniot JWL hypoelasticity Cauchy elasticity Viscoelasticity Creep Concrete creep Plasticity Rock mass plasticity Viscoplasticity Yield criterion Bresler-Pister Contact mechanics Frictionless Frictional Material failure theory Drucker stability Material failure theory Fatigue Fracture mechanics J-integral Compact tension specimen Damage mechanics Johnson-Holmquist Structures Bending Bending moment Bending of plates Sandwich theory
Fluid mechanics	Fluids Fluid statics Fluid dynamics Navier–Stokes equations Bernoulli's principle Poiseuille equation Buoyancy Viscosity Newtonian Non-Newtonian Archimedes' principle Pascal's law Pressure Liquids Surface tension Capillary action Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Gay-Lussac's law Combined gas law Plasma
Acoustics	Acoustic theory Aeroacoustics
Rheology	Viscoelasticity Smart fluids Magnetorheological Electrorheological Ferrofluids Rheometry Rheometer
Scientists	Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes
Awards	Eringen Medal William Prager Medal