Эластичность клеточных мембран

Клеточная мембрана определяет границу между клеткой и ее средой. Основным компонентом мембраны является фосфолипидный бислой , который образуется в водной среде из-за гидрофильной природы липидной головки и гидрофобной природы двух хвостов. Кроме того, в мембране имеются другие липиды и белки , причем последние обычно находятся в виде изолированных рафтов.

Из многочисленных моделей, разработанных для описания деформации клеточных мембран, широко распространенной является модель жидкостной мозаики, предложенная Сингером и Николсоном в 1972 году. В этой модели поверхность клеточной мембраны моделируется как двумерный жидкостный липидный бислой , где молекулы липидов могут свободно перемещаться. Белки частично или полностью встроены в липидный бислой. Полностью внедренные белки называются интегральными мембранными белками, поскольку они проходят по всей толщине липидного бислоя. Они передают информацию и материю между внутренней и внешней частью клетки. Белки, которые лишь частично встроены в бислой, называются белками периферической мембраны . Мембранный скелет представляет собой сеть белков под бислоем, которая связана с белками липидной мембраны.

Эластичность закрытых липидных везикул

Простейшим компонентом мембраны является липидный бислой, толщина которого намного меньше длины клетки. Следовательно, липидный бислой можно представить в виде двумерной математической поверхности. В 1973 году, основываясь на сходстве между липидными бислоями и нематическими жидкими кристаллами , Хелфрих предложил следующее выражение для энергии кривизны единицы площади замкнутого липидного бислоя

$f_{c}={\frac {k_{c}}{2}}(2H-c_{0})^{2}+{\bar {k}}\,K$

( 1 )

где $k_{c},{\bar {k}}$ изгибные жесткости , $c_{0}$ – спонтанное искривление мембраны, а $H$ и $K$ – средняя и гауссова кривизна поверхности мембраны соответственно.

Свободная энергия замкнутого бислоя под действием осмотического давления $\Delta p$ (внешнее давление минус внутреннее) как:

$F_{H}=\int (f_{c}+\lambda )\,dA+\Delta p\int dV$

( 2 )

где dA и dV — элемент площади мембраны и элемент объема, заключенный в замкнутый бислой, соответственно, а λ — множитель Лагранжа для площади нерастяжимости мембраны, которая имеет ту же размерность, что и поверхностное натяжение . Взяв вариацию приведенной выше свободной энергии первого порядка, Оу-Янг и Хелфрих вывел уравнение для описания равновесной формы бислоя как:

$\Delta p-2\lambda H+k_{c}(2H+c_{0})(2H^{2}-c_{0}H-2K)+2k_{c}\nabla ^{2}H=0$

( 3 )

Они также получили, что пороговое давление неустойчивости сферического бислоя равно

$\Delta p_{c}\propto k_{c}/R^{3}$

( 4 )

где $R$ — радиус сферического бислоя.

Используя уравнение формы (3) закрытых везикул, Оу-Янг предсказал, что существует липидный тор с соотношением двух генерируемых радиусов, равным точно ${\sqrt {2}}$. Его предсказание вскоре подтвердилось экспериментом. Кроме того, исследователи получили аналитическое решение к (3), который объяснил классическую проблему — двояковогнутую дискоидальную форму нормальных эритроцитов .В последние десятилетия модель Хелфриха широко использовалась при компьютерном моделировании везикул, эритроцитов и родственных систем. С численной точки зрения изгибающие силы, вытекающие из модели Хелфриха, очень сложно вычислить, поскольку они требуют численного вычисления производных четвертого порядка, и, соответственно, для этой задачи было предложено большое разнообразие численных методов.

Эластичность открытых липидных мембран

Процесс раскрытия липидных бислоев под действием талина наблюдали Saitoh et al. возник интерес к изучению уравнения формы равновесия и граничных условий липидных бислоев со свободными выступающими краями. Каповилла и др., Ту и Оу-Янг внимательно изучил эту проблему. Свободная энергия липидной мембраны с краем $C$ написано как

$F_{o}=\int (f_{c}+\lambda )dA+\gamma \oint _{C}ds$

( 5 )

где $ds$ и $\gamma$ представляют элемент длины дуги и линейное натяжение края соответственно. Это натяжение линии является функцией размера и распределения молекул, составляющих край, а также силы и расстояния их взаимодействия. первого порядка Вариация дает уравнение формы и граничные условия липидной мембраны:

$k_{c}(2H+c_{0})(2H^{2}-c_{0}H-2K)-2\lambda H+k_{c}\nabla ^{2}(2H)=0$

( 6 )

$\left.\left[k_{c}(2H+c_{0})+{\bar {k}}k_{n}\right]\right\vert _{C}=0$

( 7 )

$\left.\left[-2k_{c}{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {e} _{2}}}+\gamma k_{n}+{\bar {k}}{\frac {d\tau _{g}}{ds}}\right]\right\vert _{C}=0$

( 8 )

$\left.\left[{\frac {k_{c}}{2}}(2H+c_{0})^{2}+{\bar {k}}K+\lambda +\gamma k_{g}\right]\right\vert _{C}=0$

( 9 )

где $k_{n}$, $k_{g}$, и $\tau _{g}$ — нормальная кривизна, геодезическая кривизна и геодезическое кручение граничной кривой соответственно. $\mathbf {e} _{2}$ - единичный вектор, перпендикулярный касательному вектору кривой и вектору нормали к поверхности мембраны.

Эластичность клеточных мембран

Клеточная мембрана упрощенно представляет собой липидный бислой плюс мембранный скелет. Скелет представляет собой перекрестно сшитую белковую сеть, которая в некоторых точках соединяется с бислоем. Предположим, что все белки в скелете мембраны имеют одинаковую длину, которая намного меньше, чем общий размер клеточной мембраны, и что мембрана локально двумерна, однородна и гомогенна. Таким образом, плотность свободной энергии может быть выражена как инвариантная форма $2H$, $K$, $\mathrm {tr} (\varepsilon )$ и $\det(\varepsilon )$:

$f_{cm}=f(2H,K,\mathrm {tr} (\varepsilon ),\det(\varepsilon ))$

( 10 )

где $\varepsilon$ – плоская деформация мембранного скелета. В предположении малых деформаций и инварианте между $\mathrm {tr} \varepsilon$ и $-\mathrm {tr} \varepsilon$, (10) можно расширить до членов второго порядка как:

$f_{cm}={\frac {k_{c}}{2}}(2H+c_{0})^{2}+{\bar {k}}K+\lambda +{\frac {k_{d}}{2}}(\mathrm {tr} \varepsilon )^{2}-2\mu (\det \varepsilon )$

( 11 )

где $k_{d}$ и $\mu$ две упругие константы. Фактически, первые два члена в (11) представляют собой энергию изгиба клеточной мембраны, вклад которой в основном вносит липидный бислой. Последние два термина происходят из энтропийной эластичности мембранного скелета.

Библиография

Обзоры конфигураций липидных везикул

[1] Р. Липовски, Конформация мембран, Nature 349 (1991) 475-481.

[2] У. Зейферт, Конфигурации жидких мембран и везикул, Адв. Физ. 46 (1997) 13-137.

[3] ZC Ou-Yang, JX Liu и YZ Xie, Геометрические методы в упругой теории мембран в жидкокристаллических фазах (World Scientific, Сингапур, 1999).

[4] А. Бирия, М. Малеки и Э. Фрид, (2013). Теория континуума для края открытого липидного бислоя, Успехи в прикладной механике 46 (2013) 1-68.

Научные статьи о закрытых везикулах

[1] В. Хелфрич, Упругие свойства липидных бислоев — теория и возможные эксперименты, Z. Naturforsch. С 28 (1973) 693-703.

[2] О.-Ю. Чжун-Кан и В. Хелфрич, Нестабильность и деформация сферического пузырька под действием давления, Phys. Преподобный Летт. 59 (1987) 2486-2488.

[3] О.-Ю. Чжун-Цан, Мембраны якорных колец и пузырьков, Phys. Ред. А 41 (1990) 4517-4520.

[4] Х. Найто, М. Окуда и О.-Ю. Чжун-Цан, Контрпример к некоторым уравнениям формы осесимметричных везикул, Phys. Ред. Е 48 (1993) 2304-2307.

[5] У. Зейферт, Везикулы тороидальной топологии, Phys. Преподобный Летт. 66 (1991) 2404-2407.

[6] У. Зейферт, К. Берндл и Р. Липовски, Преобразования формы везикул: фазовая диаграмма для моделей спонтанной кривизны и двухслойной связи, Phys. Ред. А 44 (1991) 1182-1202.

[7] Л. Мяо и др., Почковающиеся переходы жидкостно-двухслойных везикул: эффект эластичности разности площадей, Phys. Ред. Е 49 (1994) 5389-5407.

Научные работы по открытым мембранам

[1] А. Сайто, К. Такигучи, Ю. Танака и Х. Хотани, Открытие липосомальных мембран талином, Proc. Натл. акад. наук. 95 (1998) 1026-1031.

[2] Р. Каповилла, Дж. Гювен и Дж. А. Сантьяго, Липидные мембраны с краем, Phys. Ред. Е 66 (2002) 021607.

[3] Р. Каповилла и Дж. Гувен, Напряжения в липидных мембранах, J. Phys. А 35 (2002) 6233-6247.

[4] З. К. Ту, З. К. Оу-Янг, Липидные мембраны со свободными краями, Физ. Ред. Е 68, (2003) 061915.

[5] Т. Умеда, Ю. Суэзаки, К. Такигучи и Х. Хотани, Теоретический анализ открывающихся везикул с одним и двумя отверстиями, Phys. Ред. Е 71 (2005) 011913.

[6] А. Бирия, М. Малеки и Э. Фрид, (2013). Теория континуума для края открытого липидного бислоя, Успехи в прикладной механике 46 (2013) 1-68.

Численные решения на липидных мембранах

[1] Дж. Ян, QH Лю, JX Лю и ZC Оу-Янг, Численное наблюдение неосесимметричных везикул в жидких мембранах, Phys. Ред. Е 58 (1998) 4730-4736.

[2] Дж. Дж. Чжоу, Ю. Чжан, X. Чжоу, З. К. Оу-Янг, Большая деформация сферического пузырька, изученная с помощью теории возмущений и поверхностного эволютора, Int J Mod Phys B 15 (2001) 2977-2991.

[3] Ю. Чжан, X. Чжоу, Дж. Дж. Чжоу и З. К. Оу-Янг, Трехвогнутое решение вариационной проблемы Хелфриха для формы липидных двухслойных везикул найдено компанией Surface Evolver, In. Дж. Мод. Физ. В 16 (2002) 511-517.

[4] Ц. Ду, К. Лю и X. Ван, Моделирование деформации мембран везикул под действием энергии упругого изгиба в трех измерениях, J. Comput. Физ. 212 (2006) 757.

[5] С. Ван и Ц. Ду, физика/0605095.

Избранные статьи о клеточных мембранах

[1] Ю.К. Фунг и П. Тонг, Теория сферообразования эритроцитов, Biophys. Дж. 8 (1968) 175-198.

[2] SK Boey, DH Boal и DE Discher, Моделирование цитоскелета эритроцитов при большой деформации. I. Микроскопические модели, Биофиз. Дж. 75 (1998) 1573-1583.

[3] DE Discher, DH Boal и SK Boey, Моделирование цитоскелета эритроцитов при большой деформации. II. Аспирация микропипеткой, Биофиз. Дж. 75 (1998) 1584-1597.

[4] Э. Сакманн, А. Р. Бауш и Л. Вонна, Физика составных клеточных мембран и цитоскелета на основе актина, в книге «Физика биомолекул и клеток», под редакцией Х. Фливбьерга, Ф. Юлихера, П. Ормоса и Ф. Дэвида. (Шпрингер, Берлин, 2002 г.).

[5] Г. Лим, М. Вортис и Р. Мукхопадхай, Последовательность стоматоцитов-дискоцитов-эхиноцитов эритроцитов человека: доказательства гипотезы двухслойной пары из мембранной механики, Proc. Натл. акад. наук. 99 (2002) 16766-16769.

[6] З.К. Ту и З.К. Оу-Янг, Геометрическая теория эластичности биомембран, J. Phys. А: Математика. Быт. 37 (2004) 11407-11429.

[7] З.К. Ту и З.К. Оу-Янг, Упругая теория низкоразмерных континуумов и ее приложения в био- и наноструктурах, arxiv:0706.0001 .