Рамка Дарбу

В дифференциальной геометрии поверхностей построенная рамка Дарбу — это естественная движущаяся система координат, на поверхности. Это аналог системы Френе – Серре применительно к геометрии поверхности. Фрейм Дарбу существует в любой не омбилической точке поверхности, вложенной в евклидово пространство . Он назван в честь французского математика Жана Гастона Дарбу .

Фрейм Дарбу встроенной кривой

Пусть S — ориентированная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве E ³ . При построении фреймов Дарбу на S сначала рассматриваются фреймы, движущиеся по кривой в S , а затем специализируется на тех случаях, когда кривые движутся в направлении главных кривизн .

Определение

К каждой точке p ориентированной поверхности можно прикрепить единичный вектор нормали u ( p ) единственным способом, как только для нормали выбрана ориентация в любой конкретной фиксированной точке. Если γ ( s ) кривая в S , параметризованная длиной дуги, то рамка Дарбу γ формулой определяется

$\mathbf {T} (s)=\gamma '(s),$ ( единичный тангенс )

$\mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),$ ( агрегат нормальный )

$\mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),$ ( касательная нормаль )

Тройка T , t , u определяет положительно ориентированный ортонормированный базис, прикрепленный к каждой точке кривой: естественную движущуюся систему координат вдоль вложенной кривой.

Геодезическая кривизна, нормальная кривизна и относительное кручение.

Кривая на поверхности. Рамка Френе-Серре: касательная - красный, нормаль (Френе) - голубой и бинормальный - фиолетовый. Рамка Дарбу: касательная - красным, нормаль поверхности - синим и нормаль касательной - зеленым. Проекции вдоль нормали к поверхности и касательной нормали показывают плоские кривые, кривизна которых представляет собой геодезическую кривизну и нормальную кривизну соответственно.

Обратите внимание, что рамка Дарбу для кривой не дает естественной движущейся рамки на поверхности, поскольку она все еще зависит от первоначального выбора касательного вектора. Чтобы получить движущуюся систему отсчета на поверхности, мы сначала сравниваем систему Дарбу функции γ с ее системой Френе–Серре. Позволять

• $\mathbf {T} (s)=\gamma '(s),$ ( единичный тангенс , как указано выше)
• $\mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},$ ( нормальный вектор Френе )
• $\mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),$ ( бинормальный вектор Френе ).

Поскольку касательные векторы в обоих случаях одинаковы, существует единственный угол α, такой что вращение в плоскости N и B дает пару t и u :

${\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

Взяв дифференциал и применив формулы Френе – Серре, получаем

${\begin{aligned}\mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\end{aligned}}$

где:

• κ _g – геодезическая кривизна кривой,
• κ _n — нормальная кривизна кривой, а
• τ _r — относительное кручение (также называемое геодезическим кручением ) кривой.

Рамка Дарбу на поверхности

В этом разделе случай системы Дарбу на кривой специализируется на случае, когда кривая является главной кривой поверхности ( линией кривизны ). В этом случае, поскольку главные кривые канонически связаны с поверхностью во всех точках, не являющихся омбилическими , система Дарбу является канонической движущейся системой координат .

Трехгранник

Трехгранник Дарбу, состоящий из точки P и трех ортонормированных векторов e ₁ , e ₂ , e _{3 ,} основанных в точке P .

Введение трехгранника (или триэдра ), изобретения Дарбу, позволяет концептуально упростить проблему перемещения систем отсчета по кривым и поверхностям за счет единообразной обработки координат точки на кривой и векторов системы отсчета. Трехгранник базирующихся состоит из точки P в евклидовом пространстве и трех ортонормированных векторов e ₁ , e ₂ и e _{3 ,} в точке P . — Движущийся трехгранник это трехгранник, компоненты которого зависят от одного или нескольких параметров. Например, трехгранник движется по кривой, если точка P зависит от одного параметра s , а P ( s ) обводит кривую. Аналогично, если P ( s , t ) зависит от пары параметров, то это отслеживает поверхность.

Говорят, что трехгранник адаптирован к поверхности , если P всегда лежит на поверхности, а — _{ориентированная единица ,} нормальная к поверхности в точке P. e3 В случае системы Дарбу вдоль вложенной кривой четверка

( п ( s ) знак равно γ( s ), е ₁ ( s ) знак равно Т ( s ), е ₂ ( s ) знак равно т ( s ), е ₃ ( s ) знак равно ты ( s ))

определяет тетраэдр, адаптированный к поверхности, в которую встроена кривая.

В терминах этого триэдра структурные уравнения имеют вид

$\mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}.$

Смена кадра

Предположим, что любой другой адаптированный трехгранник

( п , е ₁ , е ₂ , е ₃ )

дано для вложенной кривой. Поскольку по определению P остается той же точкой на кривой, что и для трехгранника Дарбу, а e3 _{— единичная нормаль, то} = u этот новый трехгранник связан с трехгранником Дарбу поворотом вида

${\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}$

где θ = θ( s ) является функцией s . Взяв дифференциал и применив уравнение Дарбу, получаем

${\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\omega ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}$

где (ω ^я ,ω _я ^дж ) являются функциями s , удовлетворяющими

${\begin{aligned}\omega ^{1}&=\cos \theta \,\mathrm {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^{i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3}&=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{aligned}}$

Структурные уравнения

Лемма Пуанкаре , примененная к каждому двойному дифференциалу dd P , dd e _i , дает следующие структурные уравнения Картана . Из dd P = 0,

${\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}$

Поскольку dd e _i = 0,

${\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}$

Последние представляют собой уравнения Гаусса–Кодацци для поверхности, выраженные на языке дифференциальных форм.

Основные кривые

Рассмотрим фундаментальную форму S . вторую Это симметричная 2-форма на S, заданная формулой

$\mathrm {I\!I} =-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}&\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.$

По спектральной теореме существует некоторый выбор системы отсчета ( ei ₎ , в которой ( ii _ij ) является диагональной матрицей . представляют Собственные значения собой главные кривизны поверхности. Диагонализующая рамка a ₁ , a ₂ , a ₃ состоит из вектора нормали a ₃ и двух главных направлений a ₁ и a ₂ . На первый взгляд это называется рамкой Дарбу. Система отсчета канонически определена (например, путем упорядочения собственных значений) вдали от пуповины поверхности.

Перемещение кадров

Кадр Дарбу является примером естественной движущейся системы координат, заданной на поверхности. С небольшими изменениями понятие движущейся системы отсчета можно обобщить на гиперповерхность в n -мерном евклидовом пространстве или на любое вложенное подмногообразие . Это обобщение является одним из многих вкладов Эли Картана в метод движущихся систем отсчета.

Рамки на евклидовом пространстве

(Евклидова) рамка в евклидовом пространстве E ^н является многомерным аналогом трехгранника. Он определяется как ( n + 1)-кортеж векторов, взятых из E ^н , ( v ; f ₁ , ..., f _n ), где:

• v выбор происхождения E — ^н , и
• ( f ₁ , ..., f _n ) — ортонормированный базис векторного пространства, основанный на v .

Пусть F ( n ) — ансамбль всех евклидовых систем отсчета. Евклидова группа действует на F ( n ) следующим образом. Пусть φ ∈ Euc( n ) — элемент евклидовой группы, распадающийся как

$\phi (x)=Ax+x_{0}$

где A — ортогональное преобразование , а x ₀ — сдвиг. Затем в кадре

$\phi (v;f_{1},\dots ,f_{n}):=(\phi (v);Af_{1},\dots ,Af_{n}).$

Геометрически аффинная группа перемещает начало координат обычным способом и действует посредством вращения ортогональных базисных векторов, поскольку они «привязаны» к конкретному выбору начала координат. Это эффективное и транзитивное групповое действие , поэтому F ( n ) — главное однородное пространство Euc( n ).

Структурные уравнения

Определим следующую систему функций F ( n ) → E ^н :

${\begin{aligned}P(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=v\\e_{i}(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}$

Оператор проектирования P имеет особое значение. Прообраз точки P ⁻¹ ( v ) состоит из всех ортонормированных базисов с базовой точкой в ​​v . В частности, P : F ( n ) → E ^н представляет F ( n ) как главное расслоение , структурной группой которого является ортогональная группа O ( n ). (На самом деле это главное расслоение представляет собой тавтологическое расслоение однородного пространства F ( n ) → F ( n )/O( n ) = E ^н .)

Внешняя производная P векторнозначная (рассматриваемая как дифференциальная форма ) однозначно разлагается как

$\mathrm {d} P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i},\,$

для некоторой системы скалярнозначных одноформ ω ^я . Аналогично существует n × n матрица одноформ (ω _i ^дж ) такой, что

$\mathrm {d} e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.$

Поскольку e _i ортонормированы относительно скалярного произведения евклидова пространства, матрица 1-форм ω _i ^дж является кососимметричным . В частности, оно однозначно определяется своей верхнетреугольной частью (ω _j ^я | я < j ). Система n ( n + 1)/2 одноформ (ω ^я , ω _j ^я ( i < j ) дает абсолютный параллелизм F ) ( n ), поскольку каждый дифференциал координат может быть выражен через них. Под действием евклидовой группы эти формы преобразуются следующим образом. Пусть φ — евклидово преобразование, состоящее из трансляции v ^я и матрица вращения ( A _j ^я ). Тогда следующие утверждения легко проверяются по инвариантности внешней производной относительно обратного хода :

$\phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}\omega ^{j}$

$\phi ^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.$

Кроме того, по лемме Пуанкаре имеют место следующие структурные уравнения

$\mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}$

$\mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.$

Адаптированные системы координат и уравнения Гаусса – Кодацци.

Пусть φ : M → E ^н — вложение p -мерного гладкого многообразия в евклидово пространство. Пространство адаптированных фреймов на M обозначенное здесь как Fφ _{) ,} ( M собой совокупность кортежей ( x ; f1 _{представляет} ,..., fn _, ), где x ∈ M , а fi _{образуют} ортонормированный базис E ^н такие, что f ₁ ,..., f _p касаются φ( M ) в точке φ( x ).

Уже рассмотрено несколько примеров адаптированных фреймов. Первый вектор T системы Френе-Серре ( T , N , B ) касается кривой, и все три вектора взаимно ортонормированы. Точно так же система Дарбу на поверхности представляет собой ортонормированную систему координат, первые два вектора которой касаются поверхности. Адаптированные фреймы полезны, поскольку инвариантные формы (ω ^я ,ω _j ^я ) откат вдоль φ, при этом структурные уравнения сохраняются. Следовательно, результирующая система форм дает структурную информацию о том, как M расположено внутри евклидова пространства. В случае системы Френе-Серре структурные уравнения представляют собой в точности формулы Френе-Серре, и они служат для классификации кривых полностью с точностью до евклидовых движений. Общий случай аналогичен: структурные уравнения адаптированной системы реперов классифицируют произвольные вложенные подмногообразия с точностью до евклидова движения.

Подробно, проекция π : F ( M ) → M, заданная формулой π( x ; fi ₎ = x , дает F ( M ) структуру главного расслоения на M (структурная группа для расслоения равна O( p ) × O( n − p ).) Это главное расслоение вкладывается в расслоение евклидовых шкал F ( n ) по формуле φ( v ; fi ₎ := (φ( v ); fi ₎ ∈ F ( n ). Следовательно, можно определить образы инвариантных форм из F ( n ):

$\theta ^{i}=\phi ^{*}\omega ^{i},\quad \theta _{j}^{i}=\phi ^{*}\omega _{j}^{i}.$

Поскольку внешняя производная эквивариантна относительно откатов, справедливы следующие структурные уравнения

$\mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta _{j}^{i}\wedge \theta ^{j},\quad \mathrm {d} \theta _{j}^{i}=-\theta _{k}^{i}\wedge \theta _{j}^{k}.$

Более того, поскольку некоторые из векторов системы отсчета f ₁ ... f _p касаются M , а другие нормальны, структурные уравнения естественным образом разделяются на их касательные и нормальные вклады. Пусть строчные латинские индексы a , b , c варьируются от 1 до p (т. е. тангенциальные индексы), а греческие индексы μ, γ — от p +1 до n (т. е. нормальные индексы). Первое наблюдение заключается в том, что

$\theta ^{\mu }=0,\quad \mu =p+1,\dots ,n$

поскольку эти формы порождают подмногообразие φ( M ) (в смысле теоремы интегрирования Фробениуса ).

Теперь первый набор структурных уравнений становится

$\left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)$

Из них последнее следует по лемме Картана , что

$\theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}$

где с ^м _ab симметричен относительно a b и M ( вторые фундаментальные формы φ( ) ). Следовательно, уравнения (1) являются формулами Гаусса (см. уравнения Гаусса–Кодацци ). В частности, θ _b ^а — форма связности Леви -Чивита на M .

Вторые структурные уравнения также распадаются на следующие

$\left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)$

Первое уравнение — это уравнение Гаусса , которое выражает форму кривизны Ω M через вторую фундаментальную форму. Второе — это уравнение Кодацци–Майнарди , которое выражает ковариантные производные второй фундаментальной формы через нормальную связь. Третье — уравнение Риччи .

См. также

• Производная Дарбу
• Форма Маурера – Картана

Ссылки

• Картан, Эли (1937). Теория конечных и непрерывных групп и дифференциальная геометрия, рассматриваемая методом подвижной рамки . Готье-Виллар.
• Картан, Э; Германн, Р. (1983). Геометрия римановых пространств . Math Sci Press, Массачусетс.
• Дарбу, Гастон (1896) [1887]. Уроки общей теории поверхностей (на французском языке). Полет. I–IV. Готье-Виллар.
  • —— (1887). Уроки общей теории поверхностей (на французском языке). Полет. I. Париж: Готье-Вилларс - из коллекции исторической математики Мичиганского университета.
  • —— (1915). Уроки общей теории поверхностей (на французском языке). Полет. II. Париж: Готье-Вилларс - из коллекции исторической математики Мичиганского университета.
  • —— (1894). Уроки общей теории поверхностей (на французском языке). Полет. III. Париж: Готье-Вилларс - из коллекции исторической математики Мичиганского университета.
  • —— (1896). Уроки общей теории поверхностей (на французском языке). Полет. IV. Париж: Готье-Вилларс - из коллекции исторической математики Мичиганского университета.
• Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия . Дувр. ISBN  0-486-63433-7 .
• Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 3) . Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-72-1 .
• Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 4) . Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-73-Х .
• Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис-Холл.