Основное однородное пространство

В математике главное однородное пространство , ^[1] или torsor для группы G — однородное пространство X для G , в котором подгруппа стабилизатора каждой точки тривиальна. Эквивалентно, главное однородное пространство для группы G — это непустое множество X , на котором G действует свободно и транзитивно (это означает, что для любых x , y в X существует единственный g в G такой, что x · g = y , где · обозначает (правое) действие группы G на X ).Аналогичное определение справедливо и для других категорий , где, например,

G — топологическая группа , X — топологическое пространство , действие непрерывно ,
G — группа Ли , X — гладкое многообразие , действие гладкое ,
G — алгебраическая группа , X — алгебраическое многообразие и действие регулярно .

Определение [ править ]

Если G неабелева , то следует различать левый и правый торсоры в зависимости от того, происходит ли действие слева или справа. В этой статье мы будем использовать правильные действия.

Чтобы сформулировать определение более явно, X является G -торсором или G -главным однородным пространством, если X непусто и снабжено отображением (в соответствующей категории) X × G → X таким, что

х ·1 = х

Икс ·( gh ) = ( Икс · грамм )· час

для всех x ∈ X и всех g , h ∈ G и таких, что отображение X × G → X × X, заданное формулой

(x,g)\mapsto (x,x\cdot g)

является изоморфизмом (множеств, или топологических пространств, или..., в зависимости от обстоятельств, т.е. в рассматриваемой категории).

Обратите внимание, что это означает, что X и G изоморфны (в рассматриваемой категории, а не как группы: см. ниже). не существует предпочтительной точки «идентичности» Однако — и это существенный момент — в X . То есть X выглядит точно так же, как G, за исключением того, что было забыто, какая точка является тождественной. (Эта концепция часто используется в математике как способ перехода к более внутренней точке зрения под заголовком «отбросить начало координат».)

Поскольку X не является группой, мы не можем умножать элементы; однако мы можем взять их «частное». То есть существует отображение X × X → G , которое переводит ( x , y ) в единственный элемент g = x \ y ∈ G такой, что y = x · g .

Однако композиция последней операции с действием правой группы дает тернарную операцию X × ( X × X ) → X , которая служит аффинным обобщением группового умножения и которой достаточно как для алгебраической характеристики главного однородного пространства, так и для характеризует группу, с которой он связан. Если мы обозначим $x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)$ результат этой тройной операции, то следующие тождества

x/y\cdot y=x=y/y\cdot x

v/w\cdot (x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z

будет достаточно для определения главного однородного пространства, а дополнительного свойства

x/y\cdot z=z/y\cdot x

идентифицирует те пространства, которые связаны с абелевыми группами. Группу можно определить как формальные факторы $x\backslash y$ подчиняется отношению эквивалентности

x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y

,

с групповым произведением, единицей и обратным, определяемыми соответственно формулами

(x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v

,

e=x\backslash x

,

(x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,

и групповое действие

x\cdot (y\backslash z)=x/y\cdot z.

Примеры [ править ]

Каждую группу G можно рассматривать как левый или правый G -торсор под естественным действием левого или правого умножения.

Другим примером является концепция аффинного пространства : идею аффинного пространства A, лежащего в основе векторного пространства V, можно кратко выразить, сказав, что A является основным однородным пространством для V, действующим как аддитивная группа переводов.

Флаги образуют любого правильного многогранника торсор его группы симметрии.

Учитывая векторное пространство V, мы можем взять G за линейную группу GL( V ), а X за множество всех (упорядоченных баз V. общую ) Тогда G действует на X так же, как он действует на векторы из V ; и он действует транзитивно, поскольку любой базис можно преобразовать через G в любой другой. Более того, линейное преобразование, фиксирующее каждый вектор базиса, зафиксирует все v в V и, следовательно, станет нейтральным элементом общей линейной группы GL( V ): так что X действительно является главным однородным пространством. Один из способов проследить зависимость от базиса в линейной алгебры — отслеживать переменные x в X. аргументах Аналогично пространство ортонормированных базисов ( многообразие Штифеля $V_{n}(\mathbf {R} ^{n})$ n ) является -шкал главным однородным пространством ортогональной группы .

В теории категорий , если два объекта X и Y изоморфны, то изоморфизмы между ними Iso( X , Y ) образуют торсор для группы автоморфизмов X ), а , Aut( X также для Aut( Y ); выбор изоморфизма между объектами приводит к изоморфизму между этими группами и отождествляет торсор с этими двумя группами, придавая торсору групповую структуру (поскольку теперь он имеет базовую точку ).

Приложения [ править ]

Концепция главного однородного пространства является частным случаем концепции главного расслоения : она означает главное расслоение с основанием в одной точке. Другими словами, локальная теория главных расслоений — это теория семейства главных однородных пространств, зависящих от некоторых параметров базы. «Начало» может быть предоставлено частью пакета — обычно предполагается, что такие разделы существуют локально в базе — пакет локально тривиален , так что локальная структура представляет собой структуру декартова произведения . Но разделы часто не существуют глобально. Например, дифференциальное многообразие M имеет главный пучок фреймов , связанный с его касательным расслоением . Глобальная секция будет существовать (по определению) только тогда, когда , что M распараллеливаема подразумевает сильные топологические ограничения.

В теории чисел есть (на первый взгляд другая) причина рассматривать главные однородные пространства для эллиптических кривых E, определенных над полем K (и более общих абелевых многообразий ). Как только это было понято, под заголовком были собраны различные другие примеры для других алгебраических групп : квадратичные формы для ортогональных групп и многообразия Севери–Брауэра для проективных линейных групп, равных двум.

Причина интереса к диофантовым уравнениям в случае эллиптической кривой состоит в том, что K не может быть алгебраически замкнутым . Могут существовать кривые C, у которых нет точки, определенной над K , и которые становятся изоморфными в большем поле E , которое по определению имеет точку над K, которая служит единичным элементом для его закона сложения. То есть в этом случае мы должны отличать C , имеющие род 1, от эллиптических кривых E , имеющих K -точку (или, другими словами, предоставить диофантово уравнение, имеющее решение в K ). Кривые С оказываются торсорами над Е и образуют множество, несущее богатую структуру в случае, когда К — числовое поле (теория группы Сельмера ). Фактически типичная плоская кубическая кривая C над Q не имеет особых оснований иметь рациональную точку ; стандартная модель Вейерштрасса всегда так делает, а именно точка на бесконечности, но вам нужна точка над K, чтобы привести C в эту форму над K .

Эта теория была разработана с большим вниманием к локальному анализу , что привело к определению группы Тейта-Шафаревича . В общем, подход, основанный на теории торсора, простой для алгебраически замкнутого поля , и попытке вернуться «вниз» к меньшему полю, является аспектом спуска . Это сразу приводит к вопросам когомологий Галуа , поскольку торсоры представляют классы групповых когомологий H ¹.

Другое использование [ править ]

Понятие главного однородного пространства также можно глобализировать следующим образом. Пусть X — «пространство» ( схема / многообразие / топологическое пространство и т. д.), и пусть G — группа над X , т. е. групповой объект в категории пространств X. над В этом случае (скажем, правый) G -торсор E на X — это пространство E (того же типа) над X с (правым) G действием такое, что морфизм

E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E

данный

(x,g)\mapsto (x,xg)

является изоморфизмом в соответствующей категории и таким, что E локально тривиален на X , в том, что → X приобретает сечение локально на X. E Классы изоморфизма торсоров в этом смысле соответствуют классам когомологий группы H ¹( Икс , Г ).

гладких многообразий Когда мы находимся в категории , тогда G -торсор (для ) G группы Ли является в точности главным G - расслоением , как определено выше.

Пример: если G — компактная группа Ли (скажем), то $EG$ является G -торсором над классифицирующим пространством $BG$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Серж Ланг и Джон Тейт (1958). «Главное однородное пространство над абелевыми многообразиями». Американский журнал математики . 80 (3): 659–684. дои : 10.2307/2372778 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа . Серия университетских лекций. Том. 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3287-5 . Збл 1159.12311 .
Скоробогатов, А. (2001). Торсоры и рациональные точки . Кембриджские трактаты по математике. Том. 144. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-80237-7 . Збл 0972.14015 .

Внешние ссылки [ править ]

Торсоры стали проще, Джон Баэз

[1] Серж Ланг и Джон Тейт (1958). «Главное однородное пространство над абелевыми многообразиями». Американский журнал математики . 80 (3): 659–684. дои : 10.2307/2372778 .

[1]