Jump to content

Куча (математика)

В абстрактной алгебре полукуча состоящая — это алгебраическая структура, из непустого множества H с тернарной операцией, обозначаемой который удовлетворяет измененному свойству ассоциативности: [1] : 56 

Биунитарный элемент h полукучи удовлетворяет условию [ h , h , k ] = = [ k , h , h ] для каждого k в H. k [1] : 75, 6 

Куча — это полукуча , в которой каждый элемент биунитарен. [1] : 80  Ее можно рассматривать как группу , элемент идентичности которой «забыт».

Термин «куча» происходит от слова «груда», что по-русски означает «куча», «куча» или «стопка». Антон Сушкевич использовал этот термин в своей «Теории обобщенных групп » (1937), которая оказала влияние на Виктора Вагнера , пропагандиста полукучек, куч и обобщенных куч. [1] : 11  Груда противопоставляется группе ( группе ), которая была принята в русский язык транслитерацией. кучу называют groud . Действительно, в английском тексте [2] )

Примеры [ править ]

Двухэлементная куча [ править ]

Повернуть в циклическую группу , определив идентификационный элемент и . Затем он создает следующую кучу:

Определение как элемент идентичности и отдал бы такую ​​же кучу.

Куча целых чисел [ править ]

Если являются целыми числами, мы можем установить чтобы создать кучу. Затем мы можем выбрать любое целое число быть идентификатором новой группы на множестве целых чисел с помощью операции

и обратный

.

Куча группы [ править ]

Предыдущие два примера можно обобщить на любую группу G, определив тернарное отношение как используя умножение и обратное G .

Куча группоида с двумя объектами [ править ]

Куча группы может быть снова обобщена на случай группоида , который имеет два объекта A и B, если рассматривать его как категорию . Элементы кучи можно идентифицировать с морфизмами от A до B, так что три морфизма x , y , z определяют операцию с кучей согласно

Это сводится к куче группы, если в качестве тождества выбран конкретный морфизм между двумя объектами. Это интуитивно связывает описание изоморфизмов между двумя объектами в виде кучи и описание изоморфизмов между несколькими объектами в виде группоида.

Гетерогенные отношения [ править ]

Пусть A и B — разные множества и совокупность разнородных отношений между ними. Для определить тернарный оператор где q Т является отношением q . обратным Результат этой композиции также находится в таким образом, математическая структура была сформирована тройной операцией. [3] Виктор Вагнер был мотивирован на создание этой кучи своим исследованием карт переходов в атласе , которые являются частичными функциями . [4] Таким образом, куча — это больше, чем просто модификация группы: это общая концепция, включающая группу в качестве тривиального случая.

Теоремы [ править ]

Теорема : Полукуча с биунитарным элементом e может рассматриваться как инволютивная полугруппа с операцией, заданной ab = [ a , e , b ] и инволюцией a. –1 знак равно [ е , а , е ]. [1] : 76 

Когда приведенная выше конструкция применяется к куче, результатом фактически является группа. [1] : 143  Обратите внимание, что идентификатор e группы может быть выбран в качестве любого элемента кучи.

Теорема : Любая полукуча может быть вложена в инволютивную полугруппу . [1] : 78 

Как и при изучении полугрупп , структура полукучек описывается в терминах идеалов , при этом «i-простая полукуча» не имеет собственных идеалов. Мустафаева перевела отношения Грина теории полугрупп на полукучи и определила класс ρ как те элементы, которые порождают один и тот же принцип двустороннего идеала. Затем он доказал, что ни одна i-простая полукуча не может иметь более двух ρ классов. [5]

Он также описал классы регулярности полукучи S :

где n и m имеют одинаковую четность , а троичная операция полукучи применяется слева от строки из S .

Он доказывает, что S может иметь не более пяти классов регулярности. Мустафаев называет идеал Б «изолированным», когда Затем он доказывает, что когда S = D(2,2), каждый идеал изолирован, и наоборот. [6]

Изучая полукучку Z( A, B ) гетерогенных отношений между множествами A и B , в 1974 г. К. А. Зарецкий, следуя примеру Мустафаева, описал идеальную эквивалентность, классы регулярности и идеальные факторы полукучи. [7]

Обобщения и родственные понятия [ править ]

  • Псевдокуча псевдогруд или . удовлетворяет частичному параассоциативному условию [4]
    [ сомнительно обсудить ]
  • Операция Мальцева удовлетворяет закону тождества, но не обязательно параассоциативному закону. [8] то есть тернарная операция на съемочной площадке удовлетворение личности .
  • Полукуча полугруда или . должны удовлетворять только параассоциативному закону, но не обязательно подчиняться закону тождества [9]
    является M — матриц фиксированного кольцо Примером полугруппы, которая вообще не является группой , размера с
    где • обозначает умножение матрицы , а T обозначает транспонирование матрицы . [9]
  • Идемпотентная полукуча – это полукуча, в которой для всех а .
  • или Обобщенная куча обобщенная груда — это идемпотентная полукуча, в которой
    и
    для всех а и б .

Полугруппа является обобщенной группой, если отношение → определяется формулой

рефлексивна антисимметрична ) и ( идемпотентность . В обобщенной группе → является отношением порядка . [10]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Jump up to: а б с д и ж г CD Hollings & MV Lawson (2017) Теория обобщенных куч Вагнера , книги Springer ISBN   978-3-319-63620-7 МР 3729305
  2. ^ Шейн (1979), стр. 101–102: сноска (о)
  3. ^ Кристофер Холлингс (2014) Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп , страницы 264,5, История математики 41, Американское математическое общество ISBN   978-1-4704-1493-1
  4. ^ Jump up to: а б Vagner (1968)
  5. ^ Л.Г. Мустафаев (1966) "Идеальные эквивалентности полукучек" MR 0202892
  6. ^ Л.Г. Мустафаев (1965) "Классы регулярности полукучек" MR 0209386
  7. ^ К. А. Зарецкий (1974) "Полукучи бинарных отношений" MR 0364526
  8. ^ Борсо, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, Протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4020-1961-6 .
  9. ^ Jump up to: а б Молдавская, З.Я. «Линейные полукучи». После воскресенья. Наук Украины . РСР сер. А. 1971 : 888–890, 957. МР   0297918 .
  10. ^ Шам (1979) стр.104

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6b8d063565a6c6dd68270735d070c9bc__1704762600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6b/bc/6b8d063565a6c6dd68270735d070c9bc.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Heap (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)