Куча (математика)
В абстрактной алгебре полукуча состоящая — это алгебраическая структура, из непустого множества H с тернарной операцией, обозначаемой который удовлетворяет измененному свойству ассоциативности: [1] : 56
Биунитарный элемент h полукучи удовлетворяет условию [ h , h , k ] = = [ k , h , h ] для каждого k в H. k [1] : 75, 6
Куча — это полукуча , в которой каждый элемент биунитарен. [1] : 80 Ее можно рассматривать как группу , элемент идентичности которой «забыт».
Термин «куча» происходит от слова «груда», что по-русски означает «куча», «куча» или «стопка». Антон Сушкевич использовал этот термин в своей «Теории обобщенных групп » (1937), которая оказала влияние на Виктора Вагнера , пропагандиста полукучек, куч и обобщенных куч. [1] : 11 Груда противопоставляется группе ( группе ), которая была принята в русский язык транслитерацией. кучу называют groud . Действительно, в английском тексте [2] )
Примеры [ править ]
Двухэлементная куча [ править ]
Повернуть в циклическую группу , определив идентификационный элемент и . Затем он создает следующую кучу:
Определение как элемент идентичности и отдал бы такую же кучу.
Куча целых чисел [ править ]
Если являются целыми числами, мы можем установить чтобы создать кучу. Затем мы можем выбрать любое целое число быть идентификатором новой группы на множестве целых чисел с помощью операции
и обратный
- .
Куча группы [ править ]
Предыдущие два примера можно обобщить на любую группу G, определив тернарное отношение как используя умножение и обратное G .
Куча группоида с двумя объектами [ править ]
Куча группы может быть снова обобщена на случай группоида , который имеет два объекта A и B, если рассматривать его как категорию . Элементы кучи можно идентифицировать с морфизмами от A до B, так что три морфизма x , y , z определяют операцию с кучей согласно
Это сводится к куче группы, если в качестве тождества выбран конкретный морфизм между двумя объектами. Это интуитивно связывает описание изоморфизмов между двумя объектами в виде кучи и описание изоморфизмов между несколькими объектами в виде группоида.
Гетерогенные отношения [ править ]
Пусть A и B — разные множества и совокупность разнородных отношений между ними. Для определить тернарный оператор где q Т является отношением q . обратным Результат этой композиции также находится в таким образом, математическая структура была сформирована тройной операцией. [3] Виктор Вагнер был мотивирован на создание этой кучи своим исследованием карт переходов в атласе , которые являются частичными функциями . [4] Таким образом, куча — это больше, чем просто модификация группы: это общая концепция, включающая группу в качестве тривиального случая.
Теоремы [ править ]
Теорема : Полукуча с биунитарным элементом e может рассматриваться как инволютивная полугруппа с операцией, заданной ab = [ a , e , b ] и инволюцией a. –1 знак равно [ е , а , е ]. [1] : 76
Когда приведенная выше конструкция применяется к куче, результатом фактически является группа. [1] : 143 Обратите внимание, что идентификатор e группы может быть выбран в качестве любого элемента кучи.
Теорема : Любая полукуча может быть вложена в инволютивную полугруппу . [1] : 78
Как и при изучении полугрупп , структура полукучек описывается в терминах идеалов , при этом «i-простая полукуча» не имеет собственных идеалов. Мустафаева перевела отношения Грина теории полугрупп на полукучи и определила класс ρ как те элементы, которые порождают один и тот же принцип двустороннего идеала. Затем он доказал, что ни одна i-простая полукуча не может иметь более двух ρ классов. [5]
Он также описал классы регулярности полукучи S :
- где n и m имеют одинаковую четность , а троичная операция полукучи применяется слева от строки из S .
Он доказывает, что S может иметь не более пяти классов регулярности. Мустафаев называет идеал Б «изолированным», когда Затем он доказывает, что когда S = D(2,2), каждый идеал изолирован, и наоборот. [6]
Изучая полукучку Z( A, B ) гетерогенных отношений между множествами A и B , в 1974 г. К. А. Зарецкий, следуя примеру Мустафаева, описал идеальную эквивалентность, классы регулярности и идеальные факторы полукучи. [7]
[ править ]
- Псевдокуча псевдогруд или . удовлетворяет частичному параассоциативному условию [4]
- [ сомнительно – обсудить ]
- Операция Мальцева удовлетворяет закону тождества, но не обязательно параассоциативному закону. [8] то есть тернарная операция на съемочной площадке удовлетворение личности .
- Полукуча полугруда или . должны удовлетворять только параассоциативному закону, но не обязательно подчиняться закону тождества [9]
- является M — матриц фиксированного кольцо Примером полугруппы, которая вообще не является группой , размера с где • обозначает умножение матрицы , а T обозначает транспонирование матрицы . [9]
- является M — матриц фиксированного кольцо Примером полугруппы, которая вообще не является группой , размера с
- Идемпотентная полукуча – это полукуча, в которой для всех а .
- или Обобщенная куча обобщенная груда — это идемпотентная полукуча, в которой идля всех а и б .
Полугруппа является обобщенной группой, если отношение → определяется формулой
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Jump up to: а б с д и ж г CD Hollings & MV Lawson (2017) Теория обобщенных куч Вагнера , книги Springer ISBN 978-3-319-63620-7 МР 3729305
- ^ Шейн (1979), стр. 101–102: сноска (о)
- ^ Кристофер Холлингс (2014) Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп , страницы 264,5, История математики 41, Американское математическое общество ISBN 978-1-4704-1493-1
- ^ Jump up to: а б Vagner (1968)
- ^ Л.Г. Мустафаев (1966) "Идеальные эквивалентности полукучек" MR 0202892
- ^ Л.Г. Мустафаев (1965) "Классы регулярности полукучек" MR 0209386
- ^ К. А. Зарецкий (1974) "Полукучи бинарных отношений" MR 0364526
- ^ Борсо, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, Протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-1961-6 .
- ^ Jump up to: а б Молдавская, З.Я. «Линейные полукучи». После воскресенья. Наук Украины . РСР сер. А. 1971 : 888–890, 957. МР 0297918 .
- ^ Шам (1979) стр.104
Ссылки [ править ]
- Антон Сушкевич (1929) «Об обобщении ассоциативного закона», Труды Американского математического общества 31 (1): 204–14. два : 10.1090/S0002-9947-1929-1501476-0 MR 1501476
- Шейн, Борис (1979). «Инверсные полугруппы и обобщенные группы». В А.Ф. Лаврике (ред.). Двенадцать статей по логике и алгебре . амер. Математика. Соц. Перевод Том. 113. Американское математическое общество . стр. 89–182. ISBN 0-8218-3063-5 .
- Вагнер, В.В. (1968). «К алгебраической теории координатных атласов, II». Труди Сем. Вектор. Тензор. Анальный. (на русском языке). 14 : 229–281. МР 0253970 .