Обратная полугруппа

В групп теории инверсная полугруппа (иногда называемая инверсионной полугруппой) ) S — полугруппа , в которой каждый элемент x в S имеет единственный обратный y в S в том смысле, что x = xyx и y = yxy , т.е. регулярная полугруппа , в которой каждый элемент имеет единственный обратный. Инверсные полугруппы появляются в различных контекстах; например, их можно использовать при изучении частичных симметрий .

(Соглашение, которому следуют в этой статье, будет заключаться в написании функции справа от ее аргумента, например, x   f, а не f ( x ), и составление функций слева направо — соглашение, часто наблюдаемое в теории полугрупп.)

Происхождение

Обратные полугруппы были введены независимо Виктором Владимировичем Вагнером. в Советском Союзе в 1952 году, и Гордоном Престоном в Соединенном Королевстве в 1954 году. Оба автора пришли к инверсным полугруппам посредством изучения частичных биекций множества α : частичное преобразование множества X представляет собой из A в B , где A и B — подмножества X. функцию Пусть α и β — частичные преобразования множества X ; α и β могут быть составлены (слева направо) в самой большой области , на которой «имеет смысл» их составлять:

$\operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,$

где α ⁻¹ обозначает прообраз при α . Частичные преобразования уже изучались в контексте псевдогрупп . Однако именно Вагнер был первым, кто заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем композиции бинарных отношений . Он также признал, что областью композиции двух частичных преобразований может быть пустое множество , поэтому он ввел пустое преобразование, чтобы принять это во внимание. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится всюду определенной ассоциативной бинарной операцией . Под этой композицией собрана коллекция ${\mathcal {I}}_{X}$ всех частичных преобразований один-один набора X образует обратную полугруппу, называемую симметричной обратной полугруппой (или моноидом) на X , с обратным функциональным обратным, определенным от образа к области определения (что эквивалентно обратному отношению ). Это «архетипическая» инверсная полугруппа, точно так же, как симметричная группа является архетипической группой . Например, так же, как каждая группа может быть вложена в симметричную группу , каждая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу (см. § Гомоморфизмы и представления инверсных полугрупп ниже).

Основы

Обратный элемент x обратной полугруппы S обычно обозначается x ⁻¹ . Инверсии в инверсной полугруппе обладают многими из тех же свойств, что и инверсии в группе , например ( ab ) ⁻¹ = б ⁻¹ а ⁻¹ . обратном моноиде xx В ⁻¹ и х ⁻¹ x не обязательно равны единице, но оба они идемпотентны . Обратный моноид S, в котором xx ⁻¹ = 1 = х ⁻¹ x для всех x в S ( унипотентный инверсный моноид), конечно, является группой .

Существует ряд эквивалентных характеристик инверсной полугруппы S :

• Каждый элемент S имеет уникальный обратный в указанном выше смысле.
• элемент S имеет хотя бы один обратный ( S — регулярная полугруппа ) и идемпотенты коммутируют (т. е. идемпотенты S Каждый образуют полурешетку ).
• Каждый ${\mathcal {L}}$-класс и все ${\mathcal {R}}$-класс содержит ровно один идемпотент , где ${\mathcal {L}}$ и ${\mathcal {R}}$ два отношения Грина .

Идемпотент . в ${\mathcal {L}}$-класс s равен s ⁻¹ s , в то время как идемпотент в ${\mathcal {R}}$-класс s — ss ⁻¹ . Поэтому существует простой характеристика отношений Грина в обратной полугруппе:

$a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}$

Если не указано иное, E(S) будет обозначать полурешетку идемпотентов обратной полугруппы S .

Примеры обратных полугрупп

• Частичные биекции на множестве X образуют инверсную полугруппу относительно композиции.
• Любая группа является инверсной полугруппой.
• Бициклическая полугруппа является обратной, с ( a , b ) ⁻¹ знак равно ( б , а ) .
• Любая полурешетка является инверсной.
• Полугруппа Брандта является инверсной.
• Полугруппа Манна является инверсной.

Пример таблицы умножения. Он ассоциативен, и каждый элемент имеет свой обратный согласно aba = a , bab = b . Оно не имеет идентичности и не коммутативно.

Обратная полугруппа

	а	б	с	д	и
а	а	а	а	а	а
б	а	б	с	а	а
с	а	а	а	б	с
д	а	д	и	а	а
и	а	а	а	д	и

Естественный частичный порядок

Обратная полугруппа S обладает естественным отношением частичного порядка ≤ (иногда обозначаемым через ω), который определяется следующим:

$a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,$

для некоторого идемпотента e в S . Эквивалентно,

$a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,$

для некоторого (вообще говоря, другого) идемпотента f в S . Фактически, e можно принять за аа ⁻¹ и f быть ​ ⁻¹ а .

Естественный частичный порядок совместим как с умножением, так и с инверсией, то есть

$a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd$

и

$a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.$

В группе этот частичный порядок является единица просто сводится к равенству, поскольку единственным идемпотентом . В симметричной обратной полугруппе частичный порядок сводится к ограничению отображений, т. е. α ⩽ β тогда и только тогда, когда область определения α содержится в области определения β и xα = xβ для всех x в области определения α .

Естественный частичный порядок в обратной полугруппе взаимодействует с соотношениями Грина следующим образом: если s ⩽ t и s $\,{\mathcal {L}}\,$т , тогда s = т . Аналогично, если s $\,{\mathcal {R}}\,$т .

На E ( S ) естественный частичный порядок становится:

$e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,$

Итак, поскольку идемпотенты образуют полурешетку при операции произведения, произведения на E ( S ) дают наименьшие верхние оценки относительно ≤.

Если E ( S ) конечна и образует цепочку т.е. E ( S ) полностью упорядочена по мере ≤), то S является объединением групп ( . Если E ( S ) — бесконечная цепь , то аналогичный результат можно получить при дополнительных гипотезах на S и E ( S ).

Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп

Гомоморфизм морфизм (или других ) инверсных полугрупп определяется точно так же, как и для любых полугруппа: для инверсных S и T функция полугрупп θ из S в T является морфизмом, если ( sθ )( tθ ) = ( st ) θ для всех s , t в S . Определение морфизм инверсных полугрупп можно дополнить включением условия ( sθ ) ⁻¹ = с ⁻¹ θ , однако в этом нет необходимости, поскольку это свойство следует из приведенного выше определения посредством следующей теоремы:

Теорема. Гомоморфный образ обратной полугруппы является обратной полугруппой; инверсия элемента всегда сопоставляется с инверсией изображения этого элемента.

Одним из первых доказанных результатов об инверсных полугруппах была теорема Вагнера-Престона , которая является аналогом теоремы Кэли для групп :

Теорема Вагнера–Престона. Если S — обратная полугруппа, то функция φ от С до ${\mathcal {I}}_{S}$, заданный

дом ( aφ ) = Sa ⁻¹ и x ( aφ ) = xa

является точным представлением S ​ .

Таким образом, любая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу, причем образ с замкнутым относительно обратной операции над частичными биекциями. Обратно, любая подполугруппа симметричной инверсной полугруппы, замкнутая относительно обратной операции, является обратной полугруппой. Следовательно, полугруппа S изоморфна подполугруппе симметричной инверсной полугруппы, замкнутой относительно инверсий, тогда и только тогда, когда S — инверсная полугруппа.

на

Конгруэнции определяются на инверсных полугруппах точно так же, как и для любой другой полугруппы: конгруэнция ρ — это отношение эквивалентности , совместимое с полугрупповым умножением, т. е.

$a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.$

Особый интерес представляет соотношение $\sigma$, определенный на обратной полугруппе S формулой

$a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow$ существует $c\in S$ с $c\leq a,b.$

Можно показать, что σ является конгруэнцией и, по сути, является групповой конгруэнцией , а это означает, что фактор-полугруппа S / σ является группой. В множестве всех конгруэнций групп на полугруппе S минимальный элемент (для частичного порядка, определяемого включением множеств) не обязательно должен быть наименьшим элементом. В конкретном случае, когда S является обратной полугруппой, σ является наименьшей конгруэнцией на S такой, что S / σ является группой, то есть, если τ является любой другой конгруэнцией на S с S / τ группой, то σ содержится в τ . Конгруэнция σ называется минимальной групповой конгруэнцией на S . Минимальная групповая конгруэнция может быть использована для характеристики E -унитарных инверсных полугрупп (см. ниже).

Конгруэнция ρ на обратной полугруппе S называется идемпотентно-чистой, если

$a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).$

E -унитарные обратные полугруппы

который интенсивно изучался на протяжении многих лет, является класс E -унитарных обратных полугрупп: инверсная полугруппа S (с полурешеткой E идемпотентов Одним из классов обратных полугрупп , ) является E - унитарной , если для всех e в E и всех s в S ,

$es\in E\Longrightarrow s\in E.$

Эквивалентно,

$se\in E\Rightarrow s\in E.$

Еще одна характеристика E -унитарной обратной полугруппы S состоит в следующем: если e находится в E и e ≤ s , для некоторого s из S тогда s находится в E. ,

Теорема. Пусть S — инверсная полугруппа с полурешеткой E идемпотентов и минимальной групповой конгруэнцией σ . Тогда следующие условия эквивалентны:

• S является E -унитарным;
• σ чисто идемпотент;
• $\sim$ = σ ,

где $\sim$ — отношение совместимости на S , определяемое формулой

$a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b$ являются идемпотентными.

Теорема о покрытии Макалистера. Каждая инверсная полугруппа S имеет E-унитарное накрытие; то есть существует идемпотент, отделяющий сюръективный гомоморфизм некоторой E-унитарной полугруппы T на S.

Центральное место в изучении E -унитарных инверсных полугрупп занимает следующая конструкция. Позволять ${\mathcal {X}}$ — частично упорядоченное множество с порядком ≤, и пусть ${\mathcal {Y}}$ быть подмножеством ​ ${\mathcal {X}}$ со свойствами, которые

• ${\mathcal {Y}}$ — нижняя полурешетка , то есть каждая пара элементов A , B в ${\mathcal {Y}}$ имеет максимальную нижнюю границу A $\wedge$ Б в ${\mathcal {Y}}$ (по отношению к ≤);
• ${\mathcal {Y}}$ является идеалом порядка ${\mathcal {X}}$, то есть для A , B в ${\mathcal {X}}$, если А находится в ${\mathcal {Y}}$ и B ≤ A , то B находится в ${\mathcal {Y}}$.

Пусть теперь G — группа действующая , на ${\mathcal {X}}$ (слева), такой, что

• для всех g в G и всех A , B в ${\mathcal {X}}$, gA = gB тогда и только тогда, когда A = B ;
• для каждого g в G и каждого B в ${\mathcal {X}}$, существует буква A в ${\mathcal {X}}$ такой, что gA = B ;
• для всех A , B в ${\mathcal {X}}$, A ⩽ B тогда и только тогда, когда gA ⩽ gB ;
• для всех g , h в G и всех A в ${\mathcal {X}}$, г ( час А ) знак равно ( г ) А .

тройка $(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ также предполагается, что он обладает следующими свойствами:

• для каждого X в ${\mathcal {X}}$, существует g в G и A в ${\mathcal {Y}}$ такой, что gA = X ;
• для всех g в G , g ${\mathcal {Y}}$ и ${\mathcal {Y}}$ имеют непустое пересечение.

Такая тройка $(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ называется тройкой Макалистера . Тройка Макалистера используется для определения следующего:

$P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}$

вместе с умножением

$(A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)$.

Затем $P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ является обратной полугруппой относительно этого умножения с ( A , g ) ⁻¹ = ( г ⁻¹ А , г ⁻¹ ) . Одним из основных результатов в изучении E -унитарных инверсных полугрупп является P-теорема Макалистера :

P-теорема Макалистера. Позволять $(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ быть тройкой Макалистера. Затем $P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ является E -унитарной инверсной полугруппой. Обратно, каждая E -унитарная инверсная полугруппа изоморфна полугруппе этого типа.

F -инверсные полугруппы

Обратная полугруппа называется F -инверсной, если каждый элемент имеет единственный максимальный элемент над ним в естественном частичном порядке, т.е. каждый σ -класс имеет максимальный элемент. Каждая F -инверсная полугруппа является E -унитарным моноидом. Теорема о покрытии Макалистера была уточнена М. В. Лоусоном следующим образом:

Теорема. Каждая инверсная полугруппа имеет F -инверсное накрытие.

-теорема Макалистера P использовалась для характеристики F также -инверсных полугрупп. Тройка Макалистера $(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ является F -инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда ${\mathcal {Y}}$ является главным идеалом ${\mathcal {X}}$ и ${\mathcal {X}}$ представляет собой полурешетку.

Свободные обратные полугруппы

конструкция, подобная свободной группе Для инверсных полугрупп возможна . Представление свободную свободной инверсной полугруппы на множестве X можно получить, рассматривая полугруппу с инволюцией , где инволюция - это взятие инверсии, а затем факторизуя по сравнению Вагнера

$\{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.$

Проблема слов для свободных инверсных полугрупп гораздо сложнее, чем для свободных групп. Знаменитый результат в этой области принадлежит У.Д. Манну , который показал, что элементы свободной инверсной полугруппы естественно рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет корреспондента на деревьях Манна , который по сути состоит из перекрывающихся общих частей деревьев. (более подробную информацию см. в Lawson 1998)

Любая свободная инверсная полугруппа является F -инверсной.

с

Приведенная выше композиция частичных преобразований множества порождает симметричную инверсную полугруппу. Существует другой способ составления частичных преобразований, который более ограничителен, чем использованный выше: два частичных преобразования α и β составляются тогда и только тогда, когда образ α равен области определения β ; в противном случае композиция αβ не определена. При этой альтернативной композиции совокупность всех частичных преобразований множества образует не обратную полугруппу, а индуктивный группоид в смысле теории категорий . Эта тесная связь между инверсными полугруппами и индуктивными группоидами воплощена в теореме Эресмана–Шейна–Намбурипада , которая утверждает, что индуктивный группоид всегда можно построить из инверсной полугруппы, и наоборот. Точнее, инверсная полугруппа - это в точности группоид в категории частично упорядоченных множеств, который является этальным группоидом относительно своей (двойственной) топологии Александрова и чьи частично упорядоченные объекты являются встречной полурешеткой.

Обобщения обратных полугрупп

Как отмечалось выше, инверсную полугруппу S можно определить условиями (1) S — регулярная полугруппа и (2) идемпотенты в S коммутируют; это привело к двум различным классам обобщений инверсной полугруппы: полугруппам, в которых (1) выполняется, а (2) нет, и наоборот.

Примерами регулярных обобщений обратной полугруппы являются:

• Регулярные полугруппы : полугруппа S является регулярной , если каждый элемент имеет хотя бы один обратный; эквивалентно, для каждого a в S существует x в S такой, что axa = a .
• Локально инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S является локально инверсной, если eSe — инверсная полугруппа, для каждого идемпотента e .
• Ортодоксальные полугруппы : регулярная полугруппа S является ортодоксальной , если ее подмножество идемпотентов образует подполугруппу.
• Обобщенные инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S называется обобщенной инверсной полугруппой , если ее идемпотенты образуют нормальную полосу, т. е. xyzx = xzyx , для всех идемпотентов x , y , z .

Класс обобщенных инверсных полугрупп является пересечением класса локально инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп.

Среди нерегулярных обобщений обратной полугруппы:

• (Левые, правые, двусторонние) адекватные полугруппы.
• (Левые, правые, двусторонние) обильные полугруппы.
• (Левые, правые, двусторонние) полуадекватные полугруппы.
• Слабо (лево, право, двусторонне) обильные полугруппы.

Обратная категория

Это понятие обратного также легко обобщается на категории . Обратная категория — это просто категория, в которой каждый морфизм f : X → Y имеет обобщенный обратный g : Y → X такой, что fgf = f и gfg = g . Обратная категория самодвойственна . категория множеств и частичных биекций . Ярким примером является

Обратные категории нашли различные применения в теоретической информатике .

См. также

• Православная полугруппа
• Биупорядоченный набор
• Псевдогруппа
• Частичные симметрии
• Регулярная полугруппа
• Полурешетка
• Отношения Грина
• Теория категорий
• Специальные классы полугрупп
• Слабая инверсия
• Порядок Намборипада

Ссылки

• Клиффорд, АХ; Престон, Великобритания (1967). Алгебраическая теория полугрупп . Математические обзоры Американского математического общества. Том. 7. ISBN  978-0-8218-0272-4 .
• Фонтан, Дж.Б. (1979). «Адекватные полугруппы» . Труды Эдинбургского математического общества . 22 (2): 113–125. дои : 10.1017/S0013091500016230 .
• Голаб, ул. (1939). «О понятии «псевдогруппы преобразований» ». Математические анналы (на немецком языке). 116 :768-780. дои : 10.1007/BF01597390 .
• Эксель, Р. (1998). «Частичные действия групп и действия обратных полугрупп». Труды Американского математического общества . 126 (12): 3481–4. arXiv : funct-an/9511003 . дои : 10.1090/S0002-9939-98-04575-4 .
• Гулд, В. «(Слабо) левые E-обильные полугруппы» . Архивировано из оригинала (Постскриптум) 26 августа 2005 г. Проверено 28 августа 2006 г.
• Хауи, Дж. М. (1995). Основы теории полугрупп . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN  0198511949 .
• Лоусон, М.В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. ISBN  9810233167 .
• Макалистер, Д.Б. (1974a). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы». Труды Американского математического общества . 192 : 227–244. дои : 10.2307/1996831 . JSTOR   1996831 .
• Макалистер, Д.Б. (1974b). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы II» . Труды Американского математического общества . 196 : 351–370. дои : 10.2307/1997032 . JSTOR   1997032 .
• Петрич, М. (1984). Инверсные полугруппы . Уайли. ISBN  0471875457 .
• Престон, Великобритания (1954a). «Обратные полугруппы». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 396–403. дои : 10.1112/jlms/s1-29.4.396 .
• Престон, Великобритания (1954b). «Обратные полугруппы с минимальными правыми идеалами». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 404–411. дои : 10.1112/jlms/s1-29.4.404 .
• Престон, Великобритания (1954c). «Представления обратных полугрупп». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 411–9. дои : 10.1112/jlms/s1-29.4.411 .
• Schein, B. M. (1981). "Obituary: Viktor Vladimirovich Vagner (1908–1981)" . Semigroup Forum . 28 : 189–200. doi : 10.1007/BF02676643 .
• Шейн, Б.М. (2002). «Рецензия на книгу: «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий» Марка В. Лоусона». Полугрупповой форум . 65 : 149–158. дои : 10.1007/s002330010132 .
• Вагнер, В.В. (1952). «Обобщенные группы». Известия Академии наук СССР (на русском языке). 84 : 1119–1122. Английский перевод (PDF)
• Вагнер, В.В. (1953). «Теория обобщенных груд и обобщенных групп». Математический сборник . Новая Серия (на русском языке). 32 (74): 545–632.

Дальнейшее чтение

• Краткое введение в инверсные полугруппы см. в Clifford & Preston 1967 , глава 7 или Howie 1995 , глава 5.
• Более подробные описания можно найти у Петрича, 1984 г. и Лоусона, 1998 г.
• Линкельманн, М. (2012). «Об обратных категориях и переходе в когомологиях» (PDF) . Труды Эдинбургского математического общества . 56 : 187. дои : 10.1017/S0013091512000211 . Препринт в открытом доступе