Полугруппа Манна

В математике Манна полугруппа — это обратная полугруппа изоморфизмов главных идеалов полурешетки ( коммутативная полугруппа идемпотентов). Полугруппы Манна названы в честь шотландского математика Уолтера Дугласа Манна (1929–2008).

Этапы строительства

Позволять $E$ быть полурешеткой.

1) Для всех e в E определим Ee : = { i ∈ E : i ⩽ e , который является главным идеалом E } .

Для всех e , f из E определим T _{e , f} как множество изоморфизмов Ee 2 ) на Ef .

3) Полугруппа Манна полурешетки E определяется как: T _E := $\bigcup _{e,f\in E}$ { Т _{е , ж} : ( е , ж ) ∈ U }.

Операция полугруппы представляет собой композицию частичных отображений . Фактически, мы можем заметить, что T _E ⊆ I _E , где I _E — симметричная инверсная полугруппа , поскольку все изоморфизмы являются частичными однозначными отображениями подмножеств E на подмножества E .

Идемпотентами Ee полугруппы Манна являются тождественные отображения ₁ .

Теорема

Для каждой полурешетки $E$, полурешетка идемпотентов $T_{E}$ изоморфен E.

Пример

Позволять $E=\{0,1,2,...\}$. Затем $E$ является полурешеткой при обычном порядке натуральных чисел ( $0<1<2<...$).Главные идеалы $E$ тогда $En=\{0,1,2,...,n\}$ для всех $n$. Итак, главные идеалы $Em$ и $En$ изоморфны тогда и только тогда, когда $m=n$.

Таким образом $T_{n,n}$ = { $1_{En}$} где $1_{En}$ - это тождественная карта En в себя, и $T_{m,n}=\emptyset$ если $m\not =n$. Полугрупповое произведение $1_{Em}$ и $1_{En}$ является $1_{E\operatorname {min} \{m,n\}}$.В этом примере $T_{E}=\{1_{E0},1_{E1},1_{E2},\ldots \}\cong E.$

Ссылки

• Хоуи, Джон М. (1995), Введение в теорию полугрупп , Оксфорд: Оксфордское научное издание .
• Митчелл, Джеймс Д. (2011), Полугруппы Манна полурешеток размером не более 7 .