Полугруппа Манна
В математике Манна полугруппа — это обратная полугруппа изоморфизмов главных идеалов полурешетки ( коммутативная полугруппа идемпотентов). Полугруппы Манна названы в честь шотландского математика Уолтера Дугласа Манна (1929–2008). [1]
Этапы строительства
[ редактировать ]Позволять быть полурешеткой.
1) Для всех e в E определим Ee : = { i ∈ E : i ⩽ e , который является главным идеалом E } .
Для всех e , f из E определим T e , f как множество изоморфизмов Ee 2 ) на Ef .
3) Полугруппа Манна полурешетки E определяется как: T E := { Т е , ж : ( е , ж ) ∈ U }.
Операция полугруппы представляет собой композицию частичных отображений . Фактически, мы можем заметить, что T E ⊆ I E , где I E — симметричная инверсная полугруппа , поскольку все изоморфизмы являются частичными однозначными отображениями подмножеств E на подмножества E .
Идемпотентами Ee полугруппы Манна являются тождественные отображения 1 .
Теорема
[ редактировать ]Для каждой полурешетки , полурешетка идемпотентов изоморфен E.
Пример
[ редактировать ]Позволять . Затем является полурешеткой при обычном порядке натуральных чисел ( ).Главные идеалы тогда для всех . Итак, главные идеалы и изоморфны тогда и только тогда, когда .
Таким образом = { } где - это тождественная карта En в себя, и если . Полугрупповое произведение и является .В этом примере
Ссылки
[ редактировать ]- ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Уолтер Дуглас Манн» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- Хоуи, Джон М. (1995), Введение в теорию полугрупп , Оксфорд: Оксфордское научное издание .
- Митчелл, Джеймс Д. (2011), Полугруппы Манна полурешеток размером не более 7 .