Главный идеал

В математике , особенно в теории колец , главным идеалом является идеал. $I$ в ринге $R$ который генерируется одним элементом $a$ из $R$ путем умножения на каждый элемент $R.$ Этот термин также имеет другое, похожее значение в теории порядка , где он относится к идеалу (порядка) в частично упорядоченном множестве. $P$ созданный одним элементом $x\in P,$ то есть набор всех элементов, меньших или равных $x$ в $P.$

Оставшаяся часть статьи посвящена концепции теории колец.

Определения

• левый главный идеал $R$ является подмножеством ​ $R$ данный $Ra=\{ra:r\in R\}$ для какого-то элемента $a,$
• правильный главный идеал $R$ является подмножеством $R$ данный $aR=\{ar:r\in R\}$ для какого-то элемента $a,$
• двусторонний главный идеал $R$ является подмножеством $R$ данный $RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}$ для какого-то элемента $a,$ а именно, множество всех конечных сумм элементов вида $ras.$

Хотя это определение двустороннего главного идеала может показаться более сложным, чем другие, необходимо обеспечить, чтобы идеал оставался закрытым при сложении.

Если $R$является коммутативным кольцом с единицей, то все три приведенных выше понятия совпадают. В этом случае принято писать идеал, порожденный $a$ как $\langle a\rangle$ или $(a).$

неглавного

Не все идеалы являются главными. Например, рассмотрим коммутативное кольцо $\mathbb {C} [x,y]$ всех многочленов от двух переменных $x$ и $y,$со сложными коэффициентами. Идеал $\langle x,y\rangle$ Сгенерированно с помощью $x$ и $y,$ который состоит из всех полиномов из $\mathbb {C} [x,y]$которые имеют нуль для постоянного члена , не является главным. Чтобы увидеть это, предположим, что $p$ были генератором для $\langle x,y\rangle .$ Затем $x$ и $y$ оба будут делиться на $p,$ что невозможно, если $p$является ненулевой константой. Но ноль — единственная константа в $\langle x,y\rangle ,$ итак, мы имеем противоречие .

На ринге $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},$ цифры, где $a+b$является даже формой неглавного идеала. Этот идеал образует правильную шестиугольную решетку на комплексной плоскости. Учитывать $(a,b)=(2,0)$ и $(1,1).$ Эти числа являются элементами этого идеала с одной и той же нормой (два), но поскольку единственными единицами в кольце являются $1$ и $-1,$ они не соратники.

Связанные определения

Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главным или кольцом главных идеалов . Область главных идеалов (PID) — это целая область , в которой каждый идеал является главным. Любой PID является уникальной областью факторизации ; нормальное доказательство уникальной факторизации целых чисел (так называемая фундаментальная теорема арифметики ) справедливо для любого PID.

главного

Главные идеалы в $\mathbb {Z}$ имеют форму $\langle n\rangle =n\mathbb {Z} .$ Фактически, $\mathbb {Z}$является областью главного идеала, что можно показать следующим образом. Предполагать $I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle$ где $n_{1}\neq 0,$ и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы $\mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .$ С $\mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle$ конечно, для достаточно больших $k$ у нас есть $\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .$ Таким образом $I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,$ что подразумевает $I$всегда конечно порождено. Поскольку идеал $\langle a,b\rangle$ генерируется любыми целыми числами $a$ и $b$ это точно $\langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,$ индукцией по числу образующих следует, что $I$ является основным.

Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеал $\langle x\rangle$ является главным идеалом $\mathbb {C} [x,y],$ и $\langle {\sqrt {-3}}\rangle$ является главным идеалом $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].$ Фактически, $\{0\}=\langle 0\rangle$ и $R=\langle 1\rangle$ являются главными идеалами любого кольца $R.$

Свойства

Любой евклидов домен является PID ; Алгоритм, используемый для вычисления наибольших общих делителей, можно использовать для поиска генератора любого идеала. В более общем смысле любые два главных идеала в коммутативном кольце имеют наибольший общий делитель в смысле идеального умножения. В областях главных идеалов это позволяет вычислять наибольшие общие делители элементов кольца с точностью до умножения на единицу ; мы определяем $\gcd(a,b)$ быть генератором идеала $\langle a,b\rangle .$

Для домена Дедекинда $R,$ мы также можем спросить, учитывая неглавный идеал $I$ из $R,$ есть ли какое-то расширение $S$ из $R$ такой, что идеал $S$ Сгенерированно с помощью $I$ является основным (говоря более свободно, $I$ становится главным в $S$). Этот вопрос возник в связи с изучением колец целых алгебраических чисел (которые являются примерами дедекиндовых областей) в теории чисел и привел к развитию теории полей классов Тейджи Такаги , Эмилем Артином , Дэвидом Гильбертом и многими другими.

Основная теорема об идеале теории полей классов гласит, что каждое целочисленное кольцо $R$ (т.е. кольцо целых чисел некоторого числового поля ) содержится в большем целочисленном кольце $S$ которое обладает тем свойством, что всякий идеал $R$ становится главным идеалом $S.$ В этой теореме мы можем взять $S$ быть кольцом целых чисел классов Гильберта поля $R$; то есть максимальное неразветвленное абелевое расширение (то есть расширение Галуа, которого Галуа абелева группа ) поля частных $R,$ и это однозначно определяется $R.$

Основная теорема Крулла об идеале гласит, что если $R$ является нётеровым кольцом и $I$ есть главный, собственный идеал $R,$ затем $I$ имеет высоту не более единицы.

См. также

• Условие восходящей цепи для главных идеалов

Ссылки

• Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Cengage Обучение. ISBN  978-1-305-65796-0 .