Поле класса Гильберта

В алгебраической теории чисел E поле классов Гильберта числового поля K является максимальным абелевым неразветвленным расширением K. поля Его степень над K равна номеру класса K , а группа Галуа E над K канонически изоморфна группе классов идеалов K с использованием элементов Фробениуса для простых идеалов в K .

В этом контексте поле классов Гильберта K не только неразветвлено в конечных точках (классическая теоретико-идеальная интерпретация), но также и в бесконечных позициях K . То есть каждое вещественное вложение распространяется K на вещественное вложение E (а не на комплексное вложение E ).

Примеры [ править ]

Если кольцо целых чисел K является единственной областью факторизации , в частности, если $K=\mathbb {Q}$ , то K — собственное поле гильбертового класса.
Позволять $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-15}})$ дискриминанта $-15$ . Поле $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}},{\sqrt {5}})$ имеет дискриминант $225=(-15)^{2}$ и поэтому является всюду неразветвленным расширением K и абелевым. Используя оценку Минковского , можно показать, что K имеет номер класса 2. Следовательно, его поле класса Гильберта равно $L$ . Неглавным идеалом K является (2,(1+ √ −15 )/2), а в L он становится главным идеалом ((1+ √ 5 )/2).
Поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})$ имеет номер класса 3. Его поле класса Гильберта может быть образовано присоединением корня x ³ - x - 1, который имеет дискриминант -23.
Чтобы понять, почему необходимо учитывать ветвление в простых архимедовых числах, рассмотрим вещественное квадратичное поле K, полученное присоединением квадратного корня из 3 к Q . Это поле имеет номер класса 1 и дискриминант 12, но расширение K ( i )/ K дискриминанта 9=3. ² неразветвлен во всех простых идеалах из K , поэтому K допускает конечные абелевы расширения степени больше 1, в которых все конечные простые числа K неразветвлены. Это не противоречит тому, что поле классов Гильберта K само по себе является K : каждое собственное конечное абелево расширение K должно разветвляться в каком-то месте, а в расширении K ( i )/ K есть ветвление в архимедовых местах: действительные вложения K распространяется на сложные (а не действительные) вложения K ( i ).
По теории комплексного умножения поле классов Гильберта мнимого квадратичного поля порождается значением эллиптической модулярной функции в генераторе кольца целых чисел (как Z -модуля).

История [ править ]

Существование (узкого) поля классов Гильберта для данного числового поля K было высказано Дэвидом Гильбертом ( 1902 ) и доказано Филиппом Фуртвенглером . ^[1] Существование поля классов Гильберта является ценным инструментом в изучении структуры идеальной группы классов данного поля.

Дополнительные свойства [ править ]

Поле класса Гильберта E также удовлетворяет следующему:

E — конечное расширение Галуа K и [ E : K ] = K _, где h _K — класса номер K. h
Группа классов K изоморфна группе Галуа E над K . идеалов
Каждый идеал из OK ₎ продолжается до главного идеала кольцевого расширения O _E ( теорема о главном идеале .
Каждый простой идеал P группы OK _[ разлагается в произведение hK _f / простых идеалов в OE _, где f — порядок идеалов P ] в группе классов OK _группы .

Фактически, E — единственное поле, удовлетворяющее первому, второму и четвертому свойствам.

Явные конструкции [ править ]

Если K — мнимая квадратичная кривая, а A — эллиптическая кривая с комплексным умножением на кольцо целых чисел , K то присоединение j-инварианта A к K дает поле класса Гильберта. ^[2]

Обобщения [ править ]

В теории поля классов изучается поле классов лучей относительно заданного модуля , которое является формальным произведением простых идеалов (в том числе, возможно, архимедовых). Поле классов лучей — это максимальное абелево расширение, неразветвленное вне простых чисел, делящих модуль, и удовлетворяющее определенному условию ветвления в простых числах, делящих модуль. Поле класса Гильберта тогда является полем класса лучей относительно тривиального модуля 1 .

Узкое поле классов — это поле классов лучей по модулю, состоящему из всех бесконечных простых чисел. Например, приведенный выше аргумент показывает, что $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}},i)$ это узкое классовое поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ .

Примечания [ править ]

^ Фуртвенглер 1906 г.
^ Теорема II.4.1 Сильвермана 1994 г.

Ссылки [ править ]

Чилдресс, Нэнси (2009), Теория поля классов , Нью-Йорк: Springer , doi : 10.1007/978-0-387-72490-4 , ISBN 978-0-387-72489-8 , МР 2462595
Фуртвенглер, Филипп (1906), «Общее доказательство существования поля классов произвольного поля алгебраических чисел» , Mathematical Annals , 63 (1): 1–37, doi : 10.1007/BF01448421 , JFM 37.0243.02 , MR 1511392 , получено 21 августа 2009 г.
Гильберт, Дэвид (1902) [1898], «К теории относительных абелевых числовых полей», Acta Mathematica , 26 (1): 99–131, doi : 10.1007/BF02415486
Дж. С. Милн, Теория полей классов (курсовые примечания доступны по адресу http://www.jmilne.org/math/ ). См. главу «Введение» примечаний, особенно стр. 4.
Сильверман, Джозеф Х. (1994), Расширенные темы арифметики эллиптических кривых , Тексты для выпускников по математике , том. 151, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94325-1
Гра, Жорж (2005), Теория поля классов: от теории к практике , Нью-Йорк: Springer.

Эта статья включает в себя материал из поля класса «Существование Гильберта» на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Фуртвенглер 1906 г.

[2] Теорема II.4.1 Сильвермана 1994 г.

[1]

[2]