Модуль (алгебраическая теория чисел)

В математике , в области алгебраической теории чисел , модуль (множественное число модулей ) (или цикл , ^[1] или расширенный идеал ^[2]) является формальным произведением мест глобального поля (т.е. поля алгебраических чисел или поля глобальных функций ). Он используется для кодирования ветвления данных абелевых расширений глобального поля.

Определение

Пусть K глобальное поле с кольцом целых чисел R. — Модуль - это формальное произведение ^[3]^[4]

\mathbf {m} =\prod _{\mathbf {p} }\mathbf {p} ^{\nu (\mathbf {p} )},\,\,\nu (\mathbf {p} )\geq 0

где p пробегает все места K ) равны нулю , , конечные или бесконечные , показатели ν( p за исключением конечного числа p . Если K — числовое поле, ν( p ) = 0 или 1 для вещественных позиций и ν( p ) = 0 для комплексных позиций. Если K — функциональное поле, ν( p ) = 0 для всех бесконечных мест.

В случае функционального поля модуль — это то же самое, что и эффективный делитель . ^[5] а в случае числового поля модуль можно рассматривать как специальную форму делителя Аракелова . ^[6]

Понятие конгруэнтности можно распространить на настройку модулей. Если a и b — элементы K ^×, определение a ≡ ^∗б (против п ^н) зависит от того, какой тип простого числа p : ^[7]^[8]

если оно конечно, то

a\equiv ^{\ast }\!b\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {p} ^{\nu })\Leftrightarrow \mathrm {ord} _{\mathbf {p} }\left({\frac {a}{b}}-1\right)\geq \nu

где ord _p — нормализованная оценка, связанная с p ;

если это действительное место (числового поля) и ν = 1, то

a\equiv ^{\ast }\!b\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {p} )\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}>0

при реальном вложении, связанном с p .

если это любое другое бесконечное место, то условия нет.

Тогда, учитывая модуль m , a ≡ ^∗b (mod m ), если a ≡ ^∗б (против п ^{п( п )}) для всех p таких, что ν( p ) > 0.

Группа Рэя

Луч по модулю m равен ^[9]^[10]^[11]

K_{\mathbf {m} ,1}=\left\{a\in K^{\times }:a\equiv ^{\ast }\!1\,(\mathrm {mod} \,\mathbf {m} )\right\}.

Модуль m можно разбить на две части: m _f и m _∞ , произведение по конечным и бесконечным местам соответственно. Позвольте мне ^м быть одним из следующих:

если K — числовое поле, подгруппа группы дробных идеалов, порожденная идеалами, взаимно простыми с m _f ; ^[12]
если K — функциональное поле алгебраической кривой над k , группа дивизоров, рациональных над k , с носителем вне m . ^[13]

В обоих случаях существует групповой гомоморфизм i : K _{m ,1} → I ^м получается путем отправки a в главный идеал (соответственно делитель ) ( a ).

Группа классов лучей по модулю m — это фактор C _m = I ^м / i( К _{м ,1} ). ^[14]^[15] Смежный класс i( Km _{) ,1} называется классом лучей по модулю m .

, данное Эрихом Хекке, Исходное определение характеров Гекке можно интерпретировать в терминах характеров группы классов лучей относительно некоторого модуля m . ^[16]

Характеристики

Когда K — числовое поле, выполняются следующие свойства. ^[17]

Когда m = 1, группа классов лучей является просто идеальной группой классов .
Группа классов лучей конечна. Его порядок — это номер класса луча .
Номер класса луча делится на класса номер K .

Примечания

^ Ланг 1994 , §VI.1
^ Кон 1985 , определение 7.2.1.
^ Януш 1996 , §IV.1
^ Теплица 1988 , §III.1
^ Теплица 1988 , §III.1
^ Нойкирх 1999 , §III.1
^ Януш 1996 , §IV.1
^ Теплица 1988 , §III.1
^ Милн 2008 , §V.1
^ Януш 1996 , §IV.1
^ Теплица 1988 , §VI.6
^ Януш 1996 , §IV.1
^ Теплица 1988 , §V.1
^ Януш 1996 , §IV.1
^ Теплица 1988 , §VI.6
^ Нойкирх 1999 , §VII.6
^ Януш 1996 , §4.1

Ссылки

Кон, Харви (1985), Введение в построение полей классов , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 6, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-24762-7
Януш, Джеральд Дж. (1996), Поля алгебраических чисел , Аспирантура по математике , том. 7, Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0429-2
Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для аспирантов по математике , вып. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94225-4 , МР 1282723
Милн, Джеймс (2008), Теория полей классов (изд. v4.0) , получено 22 февраля 2010 г.
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .
Серр, Жан-Пьер (1988), Алгебраические группы и поля классов , Тексты для выпускников по математике , том. 117, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-96648-9

[1] Ланг 1994 , §VI.1

[2] Кон 1985 , определение 7.2.1.

[3] Януш 1996 , §IV.1

[4] Теплица 1988 , §III.1

[5] Теплица 1988 , §III.1

[6] Нойкирх 1999 , §III.1

[7] Януш 1996 , §IV.1

[8] Теплица 1988 , §III.1

[9] Милн 2008 , §V.1

[10] Януш 1996 , §IV.1

[11] Теплица 1988 , §VI.6

[12] Януш 1996 , §IV.1

[13] Теплица 1988 , §V.1

[14] Януш 1996 , §IV.1

[15] Теплица 1988 , §VI.6

[16] Нойкирх 1999 , §VII.6

[17] Януш 1996 , §4.1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]