Дробный идеал

В математике , в частности в коммутативной алгебре , понятие дробного идеала вводится в контексте областей целостности и особенно плодотворно при изучении областей Дедекинда . В некотором смысле дробные идеалы целой области подобны идеалам , в которых знаменатели разрешены . В контекстах, где дробные идеалы, так и обычные кольцевые идеалы обсуждаются как иногда называют целыми идеалами , последние для ясности .

Определение и основные результаты

Позволять $R$ — область целостности , и пусть $K=\operatorname {Frac} R$ быть его полем дробей .

Дробный идеал ​ $R$ это $R$- субмодуль $I$ из $K$ такое, что существует ненулевое $r\in R$ такой, что $rI\subseteq R$. Элемент $r$ можно рассматривать как вычеркивание знаменателей в $I$отсюда и название дробный идеал.

Главными дробными идеалами являются те, $R$-субмодули $K$ сгенерированный одним ненулевым элементом $K$. Дробный идеал $I$ содержится в $R$ тогда и только тогда, когда это (целый) идеал $R$.

Дробный идеал $I$ называется обратимым, если существует другой дробный идеал $J$ такой, что

$IJ=R$

где

$IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}$

является произведением двух дробных идеалов.

В этом случае дробный идеал $J$ однозначно определяется и равен обобщенному идеальному фактору

$(R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$

Набор обратимых дробных идеалов образует абелеву группу относительно указанного выше произведения, где единица является единичным идеалом. $(1)=R$ сам. Эта группа называется группой дробных идеалов $R$. Главные дробные идеалы образуют подгруппу . (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективен как $R$- модуль . Геометрически это означает, что обратимый дробный идеал можно интерпретировать как векторное расслоение ранга 1 по аффинной схеме. ${\text{Spec}}(R)$.

Каждый конечно порожденный R -подмодуль модуля K является дробным идеалом, и если $R$ нётерово , это все дробные идеалы $R$.

Дедекинд домены

В дедекиндовских доменах ситуация гораздо проще. В частности, каждый ненулевой дробный идеал обратим. Фактически это свойство характеризует дедекиндовские домены:

Область целостности является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда каждый ненулевой дробный идеал обратим.

Множество дробных идеалов в дедекиндовой области $R$ обозначается ${\text{Div}}(R)$.

Его факторгруппа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом дедекиндовой области, называемой группой классов идеалов .

Числовые поля

Для частного случая числовых полей $K$ (такой как $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$) существует ассоциированное кольцо , обозначаемое ${\mathcal {O}}_{K}$ называется кольцом целых чисел $K$. Например, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]$ для $d$ квадратов и конгруэнтный свободный от $2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)$. Главное свойство этих колец ${\mathcal {O}}_{K}$ это домены Дедекинда. Следовательно, теорию дробных идеалов можно описать для колец целых числовых полей. Фактически теория полей классов — это изучение таких групп колец классов.

Связанные структуры

Для кольца целых чисел ^{стр. 2} ${\mathcal {O}}_{K}$ числового поля группа дробных идеалов образует группу, обозначаемую ${\mathcal {I}}_{K}$ а подгруппу главных дробных идеалов обозначим ${\mathcal {P}}_{K}$. Группа идеальных классов - это группа дробных идеалов по модулю главных дробных идеалов, поэтому

${\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}$

и номер его класса $h_{K}$ это порядок группы, $h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|$. В некотором смысле номер класса является мерой того, насколько «далеко» кольцо целых чисел. ${\mathcal {O}}_{K}$ это уникальный домен факторизации (UFD). Это потому, что $h_{K}=1$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {O}}_{K}$ это УФО.

Точная последовательность для идеальных групп классов

Есть точная последовательность

$0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0$

связанное с каждым числовым полем.

Структурная теорема для дробных идеалов

Одна из важных структурных теорем дробных идеалов числового поля гласит, что каждый дробный идеал $I$ разлагается однозначно с точностью до порядка

$I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}$

за главные идеалы

${\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$.

в спектре ​ ${\mathcal {O}}_{K}$. Например,

${\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}$ факторы как $(1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}$

Кроме того, поскольку все дробные идеалы в числовом поле порождены конечно, мы можем очистить знаменатели, умножив их на некоторое число. $\alpha$ чтобы получить идеал $J$. Следовательно

$I={\frac {1}{\alpha }}J$

Еще одна полезная структурная теорема заключается в том, что целочисленные дробные идеалы порождаются максимум двумя элементами. Мы называем дробным идеалом, который является подмножеством ${\mathcal {O}}_{K}$ интеграл .

Примеры

• ${\frac {5}{4}}\mathbb {Z}$ является дробным идеалом над $\mathbb {Z}$
• Для $K=\mathbb {Q} (i)$ идеал $(5)$ распадается на ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]$ как $(2-i)(2+i)$
• Для $K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}$ у нас есть факторизация $(3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}$. Это потому, что если мы умножим это, мы получим

  ${\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}$

С $\zeta _{3}$ удовлетворяет $\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1$, наша факторизация имеет смысл.

• Для $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})$ мы можем умножить дробные идеалы

$I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})$ и $J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})$

чтобы получить идеал

$IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).$

Дивизиальный идеал

Позволять ${\tilde {I}}$ обозначают пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал $I$.

Эквивалентно,

${\tilde {I}}=(R:(R:I)),$

где как указано выше

$(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$

Если ${\tilde {I}}=I$ тогда I называется дивизориальным . Другими словами, дивизориальный идеал — это ненулевое пересечение некоторого непустого множества дробных главных идеалов.

Если I дивизориален, а J — ненулевой дробный идеал, то ( I : J ) дивизориален.

Пусть R — локальная область Крулля (например, нётерова целозамкнутая локальная область). Тогда R — кольцо дискретного нормирования тогда и только тогда, когда максимальный идеал кольца R дивизориален.

Область целостности, удовлетворяющая условиям возрастающей цепи на дивизориальных идеалах, называется областью Мори .

См. также

• Дивизионная связка
• Теорема Дедекинда-Куммера

Ссылки

• Баруччи, Валентина (2000), «Домены Мори» , в Глазе, Сара ; Чепмен, Скотт Т. (ред.), Ненетерова коммутативная теория колец , Математика и ее приложения, том. 520, Дордрехт: Клювер Акад. Публикация, стр. 57–73, ISBN.  978-0-7923-6492-4 , МР   1858157
• Стейн, Уильям, Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF)
• Глава 9 Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1994), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Глава VII.1 Бурбаки, Николя (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag , ISBN  3-540-64239-0
• Глава 11 Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-36764-6 , МР   1011461