Диадический рациональный

Двоичные рациональные числа в интервале от 0 до 1

В математике двоично-рациональное или двоично-рациональное число — это число, которое можно выразить в виде дроби которого , знаменатель равен степени двойки . Например, 1/2, 3/2 и 3/8 являются двоичными рациональными числами, а 1/3 – нет. Эти числа важны в информатике , поскольку только они имеют конечное двоичное представление . Диадическое рациональное мышление также находит применение в измерениях и весах, музыкальных размерах и раннем математическом образовании. Они могут точно аппроксимировать любое действительное число .

Сумма, разность или произведение любых двух двоично-рациональных чисел — это еще одно двоично-рациональное число, заданное простой формулой. Однако деление одного двоично-рационального числа на другое не всегда дает двоично-рациональный результат. Математически это означает, что двоичные рациональные числа образуют кольцо , лежащее между кольцом целых чисел и полем рациональных чисел . Это кольцо можно обозначить $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$.

В высшей математике двоичные рациональные числа занимают центральное место в конструкциях двоичного соленоида , функции вопросительного знака Минковского , вейвлетов Добеши , группы Томпсона , 2-группы Прюфера , сюрреалистических чисел и плавких чисел . Эти числа по порядку изоморфны рациональным числам; они образуют подсистему 2-адических чисел , а также действительных чисел и могут представлять дробные части 2-адических чисел. Функции от натуральных чисел до двоично-рациональных чисел использовались для формализации математического анализа в обратной математике .

Приложения

В измерении

Кухонные гири, измеряющие двоичные доли фунта от 2 фунтов до 1/64 фунта (1/4 унции)

Многие традиционные системы мер и весов основаны на идее повторяющегося деления пополам, что приводит к получению двоичных рациональных чисел при измерении дробных количеств единиц. Дюймы обычно делятся на двоичные рациональные числа , а не на десятичные. Обычное деление галлона на полгаллона, кварту , пинту и чашку также является диадическим. Древние египтяне использовали для измерения диадические рациональные числа со знаменателями до 64. Точно так же системы весов цивилизации долины Инда по большей части основаны на многократном делении пополам; антрополог Хизер М.-Л. Миллер пишет, что «деление пополам — относительно простая операция с весами, и, вероятно, поэтому во многих системах весов того периода времени использовались двоичные системы».

В вычислительной технике

Диадические рациональные числа занимают центральное место в информатике как тип дробных чисел, которыми многие компьютеры могут напрямую манипулировать. В частности, как тип данных, используемый компьютерами, числа с плавающей запятой часто определяются как целые числа, умноженные на положительную или отрицательную степень двойки. Числа, которые могут быть точно представлены в формате с плавающей запятой, например типы данных с плавающей запятой IEEE , называются представимыми числами. Для большинства представлений с плавающей запятой представимые числа являются подмножеством диадических рациональных чисел. То же самое справедливо и для типов данных с фиксированной точкой , которые в большинстве случаев также неявно используют степени двойки. Из-за простоты вычислений с двоичными рациональными числами они также используются для точных реальных вычислений с использованием интервальной арифметики . и являются центральными в некоторых теоретических моделях вычислимых чисел .

Генерация случайной величины из случайных битов за фиксированный промежуток времени возможна только в том случае, если переменная имеет конечное число результатов, вероятности которых все являются двоично-рациональными числами. Для случайных величин, вероятности которых не являются двоичными, необходимо либо аппроксимировать их вероятности двоично-рациональными числами, либо использовать процесс случайной генерации, время которого само по себе случайно и неограниченно.

В музыке

Пять тактов из Игоря Стравинского оперы «Весна священная»
показ тактовых размеров ³
₁₆ , ²
₁₆ , ³
₁₆ и ²
₈

Тактовые размеры в западной нотной записи традиционно записываются в форме, напоминающей дроби (например: ²
₂ , ⁴
₄ или ⁶
₈ ), хотя горизонтальная линия нотного нотоносца, разделяющая верхнюю и нижнюю цифру, обычно опускается при написании подписи отдельно от нотоносца. Как дроби они обычно диадические, хотя недиадические размеры . также использовались Числовое значение подписи, интерпретируемое как дробь, описывает длину такта как долю целой ноты . Его числитель описывает количество долей на такт, а знаменатель описывает длину каждой доли.

В математическом образовании

В теориях детского развития понятия дроби, основанных на работах Жана Пиаже , дробные числа, возникающие в результате деления пополам и повторного деления пополам, являются одними из самых ранних форм развития дробей. Этот этап развития понятия дробей получил название «алгоритмическое сокращение пополам». Сложение и вычитание этих чисел можно выполнять поэтапно, включая удвоение, деление пополам, сложение и вычитание целых чисел. Напротив, сложение и вычитание более общих дробей включает в себя целочисленное умножение и факторизацию для достижения общего знаменателя. Таким образом, учащимся легче вычислять двоичные дроби, чем более общие дроби.

Определения и арифметика

Диадические числа — это рациональные числа , которые получаются в результате деления целого числа на степень двойки . Рациональное число $p/q$ Проще говоря, является двоично-рациональным, когда $q$ это степень двойки. Другой эквивалентный способ определения двоичных рациональных чисел состоит в том, что они представляют собой действительные числа , имеющие завершающее двоичное представление .

Сложение , вычитание и умножение любых двух двоичных рациональных чисел дает другое двоичное рациональное число в соответствии со следующими формулами:

${\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}$

Однако результат деления одного двоичного рационального на другой не обязательно является двоично-рациональным. Например, 1 и 3 — двоично-рациональные числа, а 1/3 — нет.

Дополнительные свойства

Диадические рациональные аппроксимации квадратного корня из 2 ( ${\sqrt {2}}\approx 1.4142$), найденный округлением до ближайшего меньшего целого числа, кратного $1/2^{i}$ для $i=0,1,2,\dots$ Высота розовой области над каждым приближением является его ошибкой.

Действительные числа без необычайно точных двоично-рациональных приближений. Красные кружки окружают числа, аппроксимированные с точностью до ошибки. ${\tfrac {1}{6}}/2^{i}$ к $n/2^{i}$. Для чисел во фрактальном множестве Кантора вне кругов все двоично-рациональные приближения имеют большие ошибки.

Каждое целое число и каждое полуцелое число являются двоично-рациональными. Оба они соответствуют определению целого числа, разделенного на степень двойки: каждое целое число — это целое число, разделенное на единицу (нулевая степень двойки), а каждое полуцелое число — это целое число, разделенное на два.

Каждое действительное число может быть сколь угодно близко аппроксимировано двоичными рациональными числами. В частности, для действительного числа $x$, рассмотрим двоично-рациональные числа вида ${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$, где $i$ может быть любым целым числом и $\lfloor \dots \rfloor$ обозначает функцию пола , которая округляет свой аргумент до целого числа. Эти цифры приблизительны $x$ снизу с точностью до ошибки $1/2^{i}$, которую можно сделать сколь угодно малой, выбрав $i$ быть сколь угодно большим. Для фрактального подмножества действительных чисел эта граница ошибки находится в пределах постоянного коэффициента оптимальности: для этих чисел не существует аппроксимации. $n/2^{i}$ с ошибкой меньше постоянного раза $1/2^{i}$. Существование точных двоичных приближений можно выразить, сказав, что множество всех двоичных рациональных чисел плотно в действительной прямой . Более строго, это множество равномерно плотно в том смысле, что двоично-рациональные числа со знаменателем $2^{i}$ расположены равномерно на реальной прямой.

Двоичные рациональные числа — это именно те числа, которые обладают конечными двоичными разложениями . Их двоичные расширения не уникальны; существует одно конечное и одно бесконечное представление каждого двоично-рационального, отличного от 0 (игнорируя терминальные 0). Например, 0.11 ₂ = 0.10111... ₂ , что дает два разных представления для 3/4. Двоичные рациональные числа — единственные числа, двоичные представления которых не уникальны.

По высшей математике

Алгебраическая структура

Поскольку двоичные рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления, они представляют собой кольцо , а не поле . Кольцо двоичных рациональных чисел можно обозначить $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$, что означает, что его можно сгенерировать путем оценки полиномов с целыми коэффициентами с аргументом 1/2. Как кольцо, двоичные рациональные числа представляют собой подкольцо рациональных чисел и надкольцо целых чисел. Алгебраически это кольцо представляет собой локализацию целых чисел относительно множества степеней двойки .

Диадические рациональные числа не только образуют подкольцо действительных чисел , но и образуют подкольцо 2-адических чисел — систему чисел, которая может быть определена из двоичных представлений, которые конечны справа от двоичной точки, но могут расширяться бесконечно. далеко слева. К 2-адическим числам относятся все рациональные числа, а не только двоично-рациональные. Встраивание двоичных рациональных чисел в 2-адические числа не меняет арифметику двоичных рациональных чисел, но придает им топологическую структуру, отличную от той, которую они имеют в качестве подкольца действительных чисел. Как и в реальных числах, двоично-рациональные числа образуют плотное подмножество 2-адических чисел, и являются множеством 2-адических чисел с конечными двоичными разложениями. Каждое 2-адическое число можно разложить в сумму 2-адического целого числа и двоично-рационального числа; в этом смысле двоичные рациональные числа могут представлять дробные части 2-адических чисел, но это разложение не уникально.

Сложение двоичных рациональных чисел по модулю 1 ( фактор-группа $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z}$ двоичных рациональных чисел целыми числами) образует 2-группу Прюфера .

Двойной соленоид

Рассмотрение только операций сложения и вычитания двоичных рациональных чисел дает им структуру аддитивной абелевой группы . Двойственность Понтрягина — это метод понимания абелевых групп путем построения двойственных групп, элементы которых являются характерами исходной группы, групповых гомоморфизмов мультипликативной группы комплексных чисел с поточечным умножением в качестве операции двойственной группы. Построенную таким образом двойственную группу аддитивных диадических рациональных чисел также можно рассматривать как топологическую группу . Он называется диадическим соленоидом и изоморфен топологическому произведению действительных чисел и 2-адических чисел, факторизованному диагональным вложением двоично-рациональных чисел в это произведение. Это пример протора , соленоида и неразложимого континуума .

с диадическими рациональными числами в качестве

Функция вопросительного знака Минковского отображает рациональные числа в двоично-рациональные числа.

Вейвлет Добеши , показывающий точки негладкости в диадических рациональных числах.

Поскольку они представляют собой плотное подмножество действительных чисел, диадические рациональные числа с их числовым порядком образуют плотный порядок . Как и в случае любых двух неограниченных счетных плотных линейных порядков, по теореме Кантора об изоморфизме , двоичные рациональные числа по порядку изоморфны рациональным числам. В этом случае функция вопросительного знака Минковского обеспечивает сохраняющую порядок биекцию между множеством всех рациональных чисел и множеством двоичных рациональных чисел.

Диадические рациональные числа играют ключевую роль в анализе вейвлетов Добеши как набора точек, в которых функция масштабирования этих вейвлетов не является гладкой. Точно так же двоичные рациональные числа параметризуют разрывы на границе между стабильными и неустойчивыми точками в пространстве параметров отображения Энона .

Набор кусочно-линейных гомеоморфизмов из единичного интервала в себя, которые имеют наклоны степени 2 и двоично-рациональные точки излома, образует группу при операции композиции функций . Это группа Томпсона , первый известный пример бесконечной, но конечно представленной простой группы . Эту же группу можно представить действием над корневыми двоичными деревьями: или действием на двоичные рациональные числа в пределах единичного интервала.

Другие родственные конструкции

В обратной математике один из способов построения действительных чисел состоит в том, чтобы представить их как функции от унарных чисел до двоичных рациональных чисел, где значение одной из этих функций для аргумента $i$ является двоично-рациональным числом со знаменателем $2^{i}$ которое приближает данное действительное число. Такое определение действительных чисел позволяет многие основные результаты математического анализа доказать в рамках ограниченной теории арифметики второго порядка, называемой «выполнимый анализ» (BTFA).

Сюрреалистические числа генерируются по повторяющемуся принципу построения, который начинается с генерации всех конечных двоичных рациональных чисел, а затем переходит к созданию новых и странных видов бесконечных, бесконечно малых и других чисел. Эта система счисления является основой комбинаторной теории игр , и двоичные рациональные числа естественным образом возникают в этой теории как набор значений определенных комбинаторных игр.

Плавкие числа - это подмножество двоично-рациональных чисел, замыкание множества $\{0\}$ под операцией $x,y\mapsto (x+y+1)/2$, ограничено парами $x,y$ с $|x-y|<1$. Они хорошо упорядочены , тип порядка равен числу эпсилон. $\varepsilon _{0}$. Для каждого целого числа $n$ наименьшее плавкое число, большее $n$ имеет форму $n+1/2^{k}$. Существование $k$ для каждого $n$ невозможно доказать с помощью арифметики Пеано , и $k$ растет так быстро в зависимости от $n$ это для $n=3$ оно (в обозначениях Кнута со стрелкой вверх для больших чисел) уже больше, чем $2\uparrow ^{9}16$.

Обычное доказательство леммы Урысона использует двоичные дроби для построения разделяющей функции из леммы.