Интегрально закрытая область

В коммутативной алгебре A целозамкнутая область — это область целостности которой , целостным замыканием в своем поле частных является A. сама Вкратце это означает, что если x является элементом поля частных A , который является корнем монического многочлена с коэффициентами из A, то x сам является элементом A. Многие хорошо изученные области являются целозамкнутыми, как показано следующей цепочкой включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Явным примером является кольцо целых чисел Z , евклидова область. Все регулярные локальные кольца также целозамкнуты.

Кольцо, локализациями которого во всех простых идеалах являются целозамкнутые области, является нормальным кольцом .

Основные свойства [ править ]

Пусть A — целозамкнутая область с полем K и L — расширение поля K. частных Тогда x ∈ L целочислен тогда и только тогда , над A когда он алгебраичен над K и его минимальный многочлен над K имеет коэффициенты из A . ^[1] В частности, это означает, что любой элемент L , интеграл по A, является корнем монического многочлена в A [ X ], который неприводим в K [ X ].

Если A — область, содержащаяся в поле K, мы можем рассмотреть целостное замыкание A , в K (т.е. набор всех элементов K которые являются целыми над A ). Это целостное замыкание представляет собой целозамкнутую область.

Интегрально замкнутые области также играют роль в гипотезе теоремы спуска . Теорема утверждает, что если A ⊆ B — целое расширение областей и A — целозамкнутая область, то выполняется свойство спуска для расширения A ⊆ B .

Примеры [ править ]

Ниже приведены целозамкнутые области.

Область главного идеала (в частности: целые числа и любое поле).
Уникальная область факторизации (в частности, любое кольцо многочленов над полем, над целыми числами или над любой уникальной областью факторизации).
( Домен GCD в частности, любой домен Безу или домен оценки ).
Дедекинда Домен .
Симметричная алгебра над полем (поскольку каждая симметрическая алгебра изоморфна кольцу многочленов от нескольких переменных над полем).
Позволять $k$ быть полем характеристики не 2 и $S=k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ полиномиальное кольцо над ним. Если $f$ представляет собой бесквадратный непостоянный полином от $S$ , затем $S[y]/(y^{2}-f)$ является целозамкнутой областью. ^[2] В частности, $k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})$ является целозамкнутой областью, если $r\geq 2$ . ^[3]

Чтобы привести не пример, ^[4] пусть k — поле и $A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]$ , подалгебра, порожденная t ² и т ³. Тогда А не целозамкнуто: оно имеет поле частных $k(t)$ и монический полином $X^{2}-t^{2}$ в переменной X имеет корень t , который находится в области дробей, а не в A. Это связано с тем, что плоская кривая $Y^{2}=X^{3}$ имеет особенность в начале координат.

Другая область, которая не является целозамкнутой, — это $A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$ ; его поле дробей содержит элемент ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ , которого нет в A , но удовлетворяет моническому многочлену $X^{2}-X-1=0$ .

Нётерова целозамкнутая область [ править ]

Для нетеровой локальной области A размерности один следующие утверждения эквивалентны.

А является целозамкнутым.
Максимальный идеал A является главным.
A — кольцо дискретного нормирования (что эквивалентно A — дедекиндово).
A — обычное локальное кольцо.

Пусть A — нётерова область целостности. Тогда A целозамкнут тогда и только тогда, когда (i) A является пересечением всех локализаций $A_{\mathfrak {p}}$ над главными идеалами ${\mathfrak {p}}$ высоты 1 и (ii) локализации $A_{\mathfrak {p}}$ в идеальном состоянии ${\mathfrak {p}}$ высоты 1 является кольцом дискретного нормирования.

Нётерово кольцо является областью Крулля тогда и только тогда, когда оно является целозамкнутой областью.

В ненетеровом случае имеет место следующее: область целостности целозамкнута тогда и только тогда, когда она является пересечением всех содержащих ее колец нормирования .

Обычные кольца [ править ]

Авторы, в том числе Серр , Гротендик и Мацумура, определяют нормальное кольцо как кольцо, локализация которого в простых идеалах является целозамкнутой областью. Такое кольцо обязательно является приведенным кольцом , ^[5]и это иногда включается в определение. В общем, если A — нётерово кольцо, локализациями которого в максимальных идеалах являются все области, то A — конечное произведение областей. ^[6] В частности, если A — нётерово нормальное кольцо, то области в произведении являются целозамкнутыми областями. ^[7]И наоборот, любое конечное произведение целозамкнутых областей является нормальным. В частности, если $\operatorname {Spec} (A)$ нётерова, нормальна и связна, то A — целозамкнутая область. (ср. гладкая разновидность )

Пусть А — нётерово кольцо. Тогда ( критерий Серра ) A нормален тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему: для любого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ ,

Если ${\mathfrak {p}}$ имеет высоту $\leq 1$ , затем $A_{\mathfrak {p}}$ является регулярным (т.е. $A_{\mathfrak {p}}$ является кольцом дискретного нормирования .)
Если ${\mathfrak {p}}$ имеет высоту $\geq 2$ , затем $A_{\mathfrak {p}}$ имеет глубину $\geq 2$ . ^[8]

Пункт (i) часто формулируется как «регулярный в коразмерности 1». Примечание (i) подразумевает, что множество ассоциированных простых чисел $Ass(A)$ не имеет вложенных простых чисел , и, когда (i) имеет место, (ii) означает, что $Ass(A/fA)$ не имеет встроенного простого числа для любого ненолевого делителя f . В частности, кольцо Коэна-Маколея удовлетворяет (ii). Геометрически мы имеем следующее: если X — локальное полное пересечение в неособом многообразии; ^[9]например, X само по себе неособо, тогда X принадлежит Коэну-Маколею; то есть стебли ${\mathcal {O}}_{p}$ структурного пучка являются Коэном-Маколеем для всех простых идеалов p. Тогда мы можем сказать: X нормально коразмерности (т. е. все стебли его структурного пучка нормальны) тогда и только тогда, когда оно регулярно в 1 .

Полностью закрытые домены [ править ]

Пусть A — область, а K — поле частных. Элемент x в K называется почти целым над A, если подкольцо A [ x ] кольца K , порожденное A и x, является дробным идеалом кольца A ; то есть, если существует ненулевое $d\in A$ такой, что $dx^{n}\in A$ для всех $n\geq 0$ . Тогда A называется вполне целозамкнутым, если каждый почти целый элемент из K содержится в A . Полностью целозамкнутая область является целозамкнутой. И наоборот, нетерова целозамкнутая область вполне целозамкнута.

Предположим, что A полностью целозамкнута. формальных степенных рядов Тогда кольцо $A[[X]]$ полностью закрыта. ^[10]Это важно, поскольку аналог неверен для целозамкнутой области: пусть R — область нормирования высотой не менее 2 (которая целозамкнута). Затем $R[[X]]$ не является целостно замкнутым. ^[11]Пусть L — поле расширения K . Тогда целое замыкание A в L вполне целозамкнуто. ^[12]

Область целостности вполне целозамкнута тогда и только тогда, когда моноид дивизоров A является группой. ^[13]

«Целостно закрытый» строящийся [ править ]

Следующие условия эквивалентны для области целостности A :

А целозамкнут;
Ap ₍ локализация A относительно p ) целозамкнута для любого простого идеала p ;
A _m целозамкнуто для любого максимального идеала m .

1 → 2 непосредственно следует из сохранения целого замыкания при локализации; 2 → 3 тривиально; 3 → 1 является результатом сохранения целого замыкания при локализации, точности локализации и того свойства, что A -модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда его локализация относительно каждого максимального идеала равна нулю.

Напротив, «цельнозамкнутый» не пропускает частное, поскольку Z [t]/(t ²+4) не является цельнозакрытым.

Локализация вполне целозамкнутой области не обязательно должна быть полностью целозамкнутой. ^[14]

Прямым пределом целозамкнутой области является целозамкнутая область.

Модули в целостно закрытой области [ править ]

Пусть А — нётерова целозамкнутая область.

Идеал I группы A является дивизориальным тогда и только тогда, когда каждое ассоциированное с ним простое число A / I имеет высоту единицу. ^[15]

Обозначим через P множество всех простых идеалов в A высоты один. Если T — конечно порожденный модуль кручения, можно положить:

\chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p

,

что имеет смысл как формальная сумма; то есть делитель. Мы пишем $c(d)$ для класса делителей d . Если $F,F'$ являются максимальными подмодулями модуля M , то $c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))$ ^[16] и $c(\chi (M/F))$ обозначается (у Бурбаки) через $c(M)$ .

См. также [ править ]

Одноветвевое локальное кольцо

Цитаты [ править ]

^ Мацумура, Теорема 9.2
^ Хартсхорн 1977 , гл. II, упражнение 6.4.
^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 6.5. (а)
^ Взято из Мацумуры.
^ Если все локализации в максимальных идеалах коммутативного кольца R являются приведенными кольцами (например, областями), то R приведено. Доказательство . Предположим, что x не равен нулю в R и x ²=0. Аннулятор ann ( x ) содержится в некотором максимальном идеале ${\mathfrak {m}}$ . Теперь образ x отличен от нуля в локализации R в точке ${\mathfrak {m}}$ с $x=0$ в ${\mathfrak {m}}$ означает $xs=0$ для некоторых $s\not \in {\mathfrak {m}}$ но потом $s$ находится в аннуляторе x , противоречие. Это показывает, что R локализован в ${\mathfrak {m}}$ не снижается.
^ Капланский, Теорема 168, стр. 119.
^ Мацумура 1989, стр. 64.
^ Мацумура, Коммутативная алгебра, стр. 125. Для области эта теорема принадлежит Круллю (1931). Общий случай принадлежит Серру.
^ над алгебраически замкнутым полем
^ Упражнения в Мацумуре.
^ Мацумура, Упражнение 10.4.
^ Учения в Бурбаки.
^ Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 1, н. 2, Теорема 1
^ Учения в Бурбаки.
^ Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 1, н. 6. Предложение 10.
^ Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 4, н. 7

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра . Париж: Германн.
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Каплански, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-42454-5 .
Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6 .
Мацумура, Хидеюки (1970 ISBN . ) 0-8053-7026-9 .

[1] Мацумура, Теорема 9.2

[2] Хартсхорн 1977 , гл. II, упражнение 6.4.

[3] Хартсхорн 1977 , гл. II, Упражнение 6.5. (а)

[4] Взято из Мацумуры.

[5] Если все локализации в максимальных идеалах коммутативного кольца R являются приведенными кольцами (например, областями), то R приведено. Доказательство . Предположим, что x не равен нулю в R и x ²=0. Аннулятор ann ( x ) содержится в некотором максимальном идеале ${\mathfrak {m}}$ . Теперь образ x отличен от нуля в локализации R в точке ${\mathfrak {m}}$ с $x=0$ в ${\mathfrak {m}}$ означает $xs=0$ для некоторых $s\not \in {\mathfrak {m}}$ но потом $s$ находится в аннуляторе x , противоречие. Это показывает, что R локализован в ${\mathfrak {m}}$ не снижается.

[6] Капланский, Теорема 168, стр. 119.

[7] Мацумура 1989, стр. 64.

[8] Мацумура, Коммутативная алгебра, стр. 125. Для области эта теорема принадлежит Круллю (1931). Общий случай принадлежит Серру.

[9] над алгебраически замкнутым полем

[10] Упражнения в Мацумуре.

[11] Мацумура, Упражнение 10.4.

[12] Учения в Бурбаки.

[13] Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 1, н. 2, Теорема 1

[14] Учения в Бурбаки.

[15] Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 1, н. 6. Предложение 10.

[16] Бурбаки 1972 , Гл. VII, § 4, н. 7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]