Кольцо Крулля

В коммутативной алгебре кольцо Крулля или область Крулля — это коммутативное кольцо с хорошо организованной теорией простой факторизации. Их представил Вольфганг Крулль в 1931 году. ^[1] Они представляют собой многомерное обобщение областей Дедекинда , которые в точности являются областями Крулла размерностью не более 1.

В этой статье кольцо коммутативно и имеет единицу.

Формальное определение

Позволять $A$ — область целостности и пусть $P$ — множество всех простых идеалов $A$ высоты один , то есть множество всех простых идеалов, не содержащее ни одного ненулевого простого идеала. Затем $A$ является кольцом Крулля, если

$A_{\mathfrak {p}}$ является кольцом дискретного нормирования для всех ${\mathfrak {p}}\in P$ ,
$A$ является пересечением этих колец дискретного нормирования (рассматриваемых как подкольца поля частных $A$ ),
любой ненулевой элемент $A$ содержится только в конечном числе простых идеалов высоты 1.

Кольца Крулля также можно охарактеризовать только с помощью оценок: ^[2]

Целый домен $A$ является кольцом Крулля, если существует семейство $\{v_{i}\}_{i\in I}$ дискретных оценок на поле дробей $K$ из $A$ такой, что:

для любого $x\in K\setminus \{0\}$ и все $i$ , за исключением, возможно, конечного числа из них, $v_{i}(x)=0$ ,
для любого $x\in K\setminus \{0\}$ , $x$ принадлежит $A$ тогда и только тогда, когда $v_{i}(x)\geq 0$ для всех $i\in I$ .

оценки $v_{i}$ называются существенными оценками $A$ .

Связь между двумя определениями такова: для каждого ${\mathfrak {p}}\in P$ , можно связать уникальную нормализованную оценку $v_{\mathfrak {p}}$ из $K$ чье оценочное кольцо $A_{\mathfrak {p}}$ . ^[3] Тогда набор ${\mathcal {V}}=\{v_{\mathfrak {p}}\}$ удовлетворяет условиям эквивалентного определения. И наоборот, если набор ${\mathcal {V}}'=\{v_{i}\}$ как указано выше, и $v_{i}$ были нормализованы, то ${\mathcal {V}}'$ может быть больше, чем ${\mathcal {V}}$ , но он должен содержать ${\mathcal {V}}$ . Другими словами, ${\mathcal {V}}$ — минимальный набор нормализованных оценок, удовлетворяющих эквивалентному определению.

Характеристики

С учетом сделанных выше обозначений пусть $v_{\mathfrak {p}}$ обозначим нормализованное нормирование, соответствующее кольцу нормирования $A_{\mathfrak {p}}$ , $U$ обозначают множество единиц $A$ , и $K$ его факторполе.

Элемент $x\in K$ принадлежит $U$ тогда и только тогда, когда $v_{\mathfrak {p}}(x)=0$ для каждого ${\mathfrak {p}}\in P$ . Действительно, в этом случае $x\not \in A_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ для каждого ${\mathfrak {p}}\in P$ , следовательно $x^{-1}\in A_{\mathfrak {p}}$ ; по свойству пересечения, $x^{-1}\in A$ . И наоборот, если $x$ и $x^{-1}$ находятся в $A$ , затем $v_{\mathfrak {p}}(xx^{-1})=v_{\mathfrak {p}}(1)=0=v_{\mathfrak {p}}(x)+v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})$ , следовательно $v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})=0$ , поскольку оба числа должны быть $\geq 0$ .
Элемент $x\in A$ определяется однозначно, с точностью до единицы $A$ , по значениям $v_{\mathfrak {p}}(x)$ , ${\mathfrak {p}}\in P$ . Действительно, если $v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(y)$ для каждого ${\mathfrak {p}}\in P$ , затем $v_{\mathfrak {p}}(xy^{-1})=0$ , следовательно $xy^{-1}\in U$ вышеуказанным свойством (qed). Это показывает, что приложение $x\ {\rm {mod}}\ U\mapsto \left(v_{\mathfrak {p}}(x)\right)_{{\mathfrak {p}}\in P}$ четко определено, и поскольку $v_{\mathfrak {p}}(x)\not =0$ только для конечного числа ${\mathfrak {p}}$ , это вложение $A^{\times }/U$ в свободную абелеву группу, порожденную элементами $P$ . Таким образом, используя мультипликативную запись " $\cdot$ «для более поздней группы справедливо для каждого $x\in A^{\times }$ , $x=1\cdot {\mathfrak {p}}_{1}^{\alpha _{1}}\cdot {\mathfrak {p}}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}^{\alpha _{n}}\ {\rm {mod}}\ U$ , где ${\mathfrak {p}}_{i}$ являются элементами $P$ содержащий $x$ , и $\alpha _{i}=v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x)$ .
оценки $v_{\mathfrak {p}}$ попарно независимы. ^[4] Как следствие, имеет место так называемая теорема слабой аппроксимации : ^[5] гомолог китайской теоремы об остатках: если ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots {\mathfrak {p}}_{n}$ являются отдельными элементами $P$ , $x_{1},\ldots x_{n}$ принадлежать $K$ (соответственно $A_{\mathfrak {p}}$ ), и $a_{1},\ldots a_{n}$ являются $n$ натуральные числа, то существуют $x\in K$ (соответственно $x\in A_{\mathfrak {p}}$ ) такой, что $v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x-x_{i})=n_{i}$ для каждого $i$ .
Следствием теоремы о слабой аппроксимации является характеристика того, когда кольца Крулля нётеровы; а именно кольцо Крулля $A$ нётерово тогда и только тогда, когда все его частные $A/{\mathfrak {p}}$ по высоте 1 простые числа нётеровы.
Два элемента $x$ и $y$ из $A$ взаимнопросты , если $v_{\mathfrak {p}}(x)$ и $v_{\mathfrak {p}}(y)$ не оба $>0$ для каждого ${\mathfrak {p}}\in P$ . Из основных свойств оценок следует, что хорошая теория взаимно простоты справедлива в $A$ .
Каждый первичный идеал $A$ содержит элемент $P$ . ^[6]
Любое конечное пересечение областей Крулла, чьи поля фактор-полей одинаковы, снова является областью Крулла. ^[7]
Если $L$ является подполем $K$ , затем $A\cap L$ это домен Крулла. ^[8]
Если $S\subset A$ — мультипликативно замкнутое множество, не содержащее 0, кольцо частных $S^{-1}A$ снова является доменом Крулла. Фактически, основные оценки $S^{-1}A$ это оценка $v_{\mathfrak {p}}$ (из $K$ ) для чего ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ . ^[9]
Если $L$ является конечным алгебраическим расширением $K$ , и $B$ является интегральным замыканием $A$ в $L$ , затем $B$ это домен Крулла. ^[10]

Примеры

Любой уникальный домен факторизации является доменом Крулла. И наоборот, область Крулла является уникальной областью факторизации, если (и только если) каждый простой идеал высоты один является главным. ^[11]^[12]
Всякая целозамкнутая нётерова область является областью Крулля. ^[13] В частности, домены Дедекинда являются доменами Крулла. И наоборот, области Крулла целозамкнуты, поэтому нетерова область является Круллом тогда и только тогда, когда она целозамкнута.
Если $A$ является областью Крулля, то и кольцо многочленов $A[x]$ и кольцо формальных степенных рядов $A[[x]]$ . ^[14]
Полиномиальное кольцо $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ в бесконечном числе переменных в уникальной области факторизации $R$ является областью Крулла, которая не является нетеровой.
Позволять $A$ быть нётеровой областью с полем частных $K$ , и $L$ быть конечным алгебраическим расширением $K$ . Тогда замыкание интегральное $A$ в $L$ является областью Крулля ( теорема Мори–Нагаты ). ^[15]
Позволять $A$ быть кольцом Зариского (например, локальным нетеровым кольцом). Если завершение ${\widehat {A}}$ является доменом Крулла, то $A$ является доменом Крулла (Мори). ^[16]^[17]
Позволять $A$ быть доменом Крулла, и $V$ — мультипликативно замкнутое множество, состоящее из степеней простого элемента $p\in A$ . Затем $S^{-1}A$ является доменом Крулла (Нагата). ^[18]

Группа классов дивизоров кольца Крулля

Предположим, что $A$ является доменом Крулла и $K$ является его частным полем.Простой делитель $A$ является простым идеалом высоты 1 $A$ . Множество простых делителей $A$ будет обозначен $P(A)$ в продолжении. (Вейля Делитель ) $A$ является формальной целой линейной комбинацией простых делителей. Они образуют абелеву группу, отмеченный $D(A)$ . Делитель формы $div(x)=\sum _{p\in P}v_{p}(x)\cdot p$ , для некоторого ненулевого $x$ в $K$ , называется главным делителем. Главные делители $A$ образуют подгруппу группы дивизоров (выше было показано, что эта группа изоморфна $A^{\times }/U$ , где $U$ представляет собой группу единств $A$ ). Фактор группы дивизоров по подгруппе главных делителей называется группой классов дивизоров . $A$ ; обычно это обозначается $C(A)$ .

Предположим, что $B$ представляет собой домен Крулла, содержащий $A$ . Как обычно, мы говорим, что простой идеал ${\mathfrak {P}}$ из $B$ лежит выше простого идеала ${\mathfrak {p}}$ из $A$ если ${\mathfrak {P}}\cap A={\mathfrak {p}}$ ; это сокращенно ${\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}}$ .

Обозначим индекс ветвления $v_{\mathfrak {P}}$ над $v_{\mathfrak {p}}$ к $e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}})$ и по $P(B)$ множество простых делителей $B$ . Определите приложение $P(A)\to D(B)$ к

j({\mathfrak {p}})=\sum _{{\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {P}}\in P(B)}e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}}){\mathfrak {P}}

(приведенная выше сумма конечна, поскольку каждый $x\in {\mathfrak {p}}$ содержится не более чем в конечном числе элементов $P(B)$ ).Позвольте расширить приложение $j$ по линейности для линейного приложения $D(A)\to D(B)$ .Теперь можно спросить, в каких случаях $j$ индуцирует морфизм ${\bar {j}}:C(A)\to C(B)$ . Это приводит к нескольким результатам. ^[19] Например, следующее обобщает теорему Гаусса:

Приложение ${\bar {j}}:C(A)\to C(A[X])$ является биективным. В частности, если $A$ является уникальной областью факторизации, то также $A[X]$ . ^[20]

Группа классов дивизоров колец Крулла также используется для настройки мощных методов спуска , в частности спуска Галуа. ^[21]

Делитель Картье

Дивизор Картье кольца Крулля является локально главным дивизором (Вейля). Дивизоры Картье образуют подгруппу группы дивизоров, содержащую главные делители. Фактор дивизоров Картье по главным дивизорам является подгруппой группы классов дивизоров, изоморфной группе Пикара обратимых пучков на Spec( A ).

Пример: в кольце k [ x , y , z ]/( xy – z ²) группа классов дивизоров имеет порядок 2, порожденный дивизором y = z , но подгруппа Пикара является тривиальной группой. ^[22]

Ссылки

^ Вольфганг Крулль ( 1931 ).
^ П. Сэмюэл, Лекции по уникальной области факторизации , Теорема 3.5.
^ Дискретная оценка $v$ называется нормированным, если $v(O_{v})=\mathbb {N}$ , где $O_{v}$ это оценочное кольцо $v$ . Итак, каждый класс эквивалентных дискретных нормирований содержит единственное нормализованное нормирование.
^ Если $v_{{\mathfrak {p}}_{1}}$ и $v_{{\mathfrak {p}}_{2}}$ оба были лучше обычной оценки $w$ из $K$ , идеалы $A_{{\mathfrak {p}}_{1}}{\mathfrak {p}}_{1}$ и $A_{{\mathfrak {p}}_{2}}{\mathfrak {p}}_{2}$ соответствующих им колец нормирования содержали бы собственно простой идеал ${\mathfrak {p}}_{w}=\{x\in K:\ w(x)>0\},$ следовательно ${\mathfrak {p}}_{1}$ и ${\mathfrak {p}}_{2}$ содержал бы главный идеал ${\mathfrak {p}}_{w}\cap A$ из $A$ , что запрещено по определению.
^ См. Моше Жарден, Пересечения локальных алгебраических расширений гильбертова поля , в книге А. Барлотти и др., Генераторы и отношения в группах и геометрии, Дордрехт, Клювер, сборник, НАТО ASI Series C (№ 333), 1991, стр. . 343-405. Читать онлайн: архив , с. 17, предложения 4.4, 4.5 и ПМК 4.6.
^ П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , Лемма 3.3.
^ То же, предложение 4.1 и следствие (а).
^ То же, предложение 4.1 и следствие (b).
^ То же, Оп. 4.2.
^ То же, предложение 4.5.
^ П. Сэмюэл, Лекции по факториальным кольцам , Thm. 5.3.
^ «Кольцо Крулля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994] , получено 14 апреля 2016 г.
^ П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , Теорема 3.2.
^ То же, предложения 4.3 и 4.4.
^ Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (12 октября 2006 г.). Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521688604 .
^ Бурбаки, 7.1, № 10, Предложение 16.
^ П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , Thm. 6.5.
^ П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , Thm. 6.3.
^ П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , с. 14-25.
^ Я иду, Тэм. 6.4.
^ См. П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , стр. 45–64.
^ Хартсхорн, GTM52, пример 6.5.2, стр. 133 и пример 6.11.3, стр. 142.

Н. Бурбаки. Коммутативная алгебра .
«Кольцо Крулля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Крулль, Вольфганг (1931), «Общая теория оценки» , Дж. Рейн Ангью. Math , 167 : 160–196, заархивировано из оригинала 6 января 2013 г.
Хидеюки Мацумура, Коммутативная алгебра . Второе издание. Серия лекций по математике, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Ридинг, Массачусетс, 1980. xv+313 стр. ISBN 0-8053-7026-9
Хидеюки Мацумура, Коммутативная теория колец . Перевод с японского М. Рида. Кембриджские исследования по высшей математике, 8. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1986. xiv+320 стр. ISBN 0-521-25916-9
Сэмюэл, Пьер (1964), Мурти, М. Павман (редактор), Лекции по уникальным областям факторизации , Лекции по математике Института фундаментальных исследований Таты, том. 30, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR 0214579

[1] Вольфганг Крулль ( 1931 ).

[2] П. Сэмюэл, Лекции по уникальной области факторизации , Теорема 3.5.

[3] Дискретная оценка $v$ называется нормированным, если $v(O_{v})=\mathbb {N}$ , где $O_{v}$ это оценочное кольцо $v$ . Итак, каждый класс эквивалентных дискретных нормирований содержит единственное нормализованное нормирование.

[4] Если $v_{{\mathfrak {p}}_{1}}$ и $v_{{\mathfrak {p}}_{2}}$ оба были лучше обычной оценки $w$ из $K$ , идеалы $A_{{\mathfrak {p}}_{1}}{\mathfrak {p}}_{1}$ и $A_{{\mathfrak {p}}_{2}}{\mathfrak {p}}_{2}$ соответствующих им колец нормирования содержали бы собственно простой идеал ${\mathfrak {p}}_{w}=\{x\in K:\ w(x)>0\},$ следовательно ${\mathfrak {p}}_{1}$ и ${\mathfrak {p}}_{2}$ содержал бы главный идеал ${\mathfrak {p}}_{w}\cap A$ из $A$ , что запрещено по определению.

[5] См. Моше Жарден, Пересечения локальных алгебраических расширений гильбертова поля , в книге А. Барлотти и др., Генераторы и отношения в группах и геометрии, Дордрехт, Клювер, сборник, НАТО ASI Series C (№ 333), 1991, стр. . 343-405. Читать онлайн: архив , с. 17, предложения 4.4, 4.5 и ПМК 4.6.

[6] П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , Лемма 3.3.

[7] То же, предложение 4.1 и следствие (а).

[8] То же, предложение 4.1 и следствие (b).

[9] То же, Оп. 4.2.

[10] То же, предложение 4.5.

[11] П. Сэмюэл, Лекции по факториальным кольцам , Thm. 5.3.

[12] «Кольцо Крулля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994] , получено 14 апреля 2016 г.

[13] П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , Теорема 3.2.

[14] То же, предложения 4.3 и 4.4.

[15] Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (12 октября 2006 г.). Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521688604 .

[16] Бурбаки, 7.1, № 10, Предложение 16.

[17] П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , Thm. 6.5.

[18] П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , Thm. 6.3.

[19] П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , с. 14-25.

[20] Я иду, Тэм. 6.4.

[21] См. П. Сэмюэл, Лекции по уникальным областям факторизации , стр. 45–64.

[22] Хартсхорн, GTM52, пример 6.5.2, стр. 133 и пример 6.11.3, стр. 142.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]