Главный идеал

В алгебре простой идеал — это подмножество кольца , которое разделяет многие важные свойства простого числа в кольце целых чисел . ^[1]^[2] Простые идеалы целых чисел — это множества, которые содержат все кратные данному простому числу вместе с нулевым идеалом .

Примитивные идеалы являются простыми, а простые идеалы являются как первичными , так и полупервичными .

коммутативных колец Простые идеалы

Определение [ править ]

Идеал если $P$ коммутативного кольца $R$ является простым, он обладает следующими двумя свойствами:

Если $a$ и $b$ — два элемента $R$ такие, что их произведение $ab$ является элементом $P$ , то $a$ находится в $P$ или $b$ находится в $P$ ,
$P$ — это не все $R.$ кольцо

Это обобщает следующее свойство простых чисел, известное как лемма Евклида : если $p$ — простое число и если $p$ делит произведение $ab$ двух целых чисел , то $p$ делит $a$ или $p$ делит $b$ . Поэтому мы можем сказать

Целое положительное число

n

является простым числом тогда и только тогда, когда

n\mathbb {Z}

является главным идеалом в

\mathbb {Z} .

Примеры [ править ]

Простой пример: На ринге. $R=\mathbb {Z} ,$ подмножество четных чисел является простым идеалом.
Учитывая целую область $R$ , любой простой элемент $p\in R$ порождает главный простой идеал $(p)$ . Критерий Эйзенштейна для областей целостности (следовательно, UFD ли элемент в кольце многочленов ) является эффективным инструментом для определения того, является неприводимым . Например, возьмем неприводимый многочлен $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ в кольце полиномов $\mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ над каким-то полем $\mathbb {F}$ .
Если $R$ обозначает кольцо $\mathbb {C} [X,Y]$ многочленов , то идеал , от двух переменных с комплексными коэффициентами порождаемый многочленом $Y 2 - Х 3 - X - 1$ — простой идеал (см. эллиптическую кривую ).
На ринге $\mathbb {Z} [X]$ из всех многочленов с целыми коэффициентами идеал, порожденный $2$ и $X$ , является простым идеалом. Он состоит из всех тех многочленов, постоянный коэффициент которых четный.
В любом кольце $R$ максимальным идеалом является идеал $M$ который является максимальным в множестве всех собственных идеалов R $,$ , т. е. $содержится$ ровно в двух идеалах $R$ , а именно $в самом M$ и во всем кольце $R.$ M Каждый максимальный идеал на самом деле является простым. В области главных идеалов каждый ненулевой простой идеал является максимальным, но, вообще говоря, это неверно. Для УФО $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ , Nullstellensatz Гильберта утверждает, что каждый максимальный идеал имеет вид $(x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).$
Если $M$ — гладкое многообразие , $R$ — кольцо гладких вещественных функций на $M$ , а $x$ — точка в $M$ , то множество всех гладких функций $f$ с $f (x) = 0$ образует простой идеал (даже максимальный идеал ) $Р.$ в

Непримеры [ править ]

Рассмотрим состав следующих двух частных

\mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}

Хотя первые два кольца являются доменами целостности (фактически первое является УФД), последнее не является областью целостности, поскольку изоморфно оно

{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C}

показывая, что идеал

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

не является простым. (См. первое свойство, указанное ниже.)

Еще один не пример — идеал $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ поскольку у нас есть

x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)

но ни

x-1

ни

x+1

являются элементами идеала.

Свойства [ править ]

Идеал $I$ в кольце $R$ (с единицей ) является простым тогда и только тогда, когда фактор-кольцо $R / I$ является областью целостности . В частности, коммутативное кольцо (с единицей) является областью целостности тогда и только тогда, когда $(0)$ — простой идеал. (Обратите внимание, что нулевое кольцо не имеет простых идеалов, поскольку идеал (0) — это все кольцо.)
Идеал $I$ является простым тогда и только тогда, когда его теоретико-множественное дополнение замкнуто мультипликативно . ^[3]
Каждое ненулевое кольцо содержит хотя бы один простой идеал (фактически оно содержит хотя бы один максимальный идеал), что является прямым следствием теоремы Крулла .
В более общем смысле, если $S$ — любое мультипликативно замкнутое множество в $R$ , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал $R$ , максимальный относительно того, чтобы быть непересекающимся с $S$ , и, более того, идеал должен быть простым. Это можно далее обобщить на некоммутативные кольца (см. ниже). ^[4] случае ${S} = {1}$ мы имеем теорему Крулла , и это восстанавливает максимальные идеалы $R.$ В Другой прототип m-системы — это набор ${x, x 2, Икс 3, Икс 4, ...}$ всех положительных степеней ненильпотентного элемента .
Прообраз гомоморфизме простого идеала при колец является простым идеалом. Аналогичный факт не всегда верен для максимальных идеалов , что является одной из причин, по которой алгебраические геометры определяют спектр кольца как набор его простых, а не максимальных идеалов; хочется, чтобы гомоморфизм колец давал отображение между их спектрами.
Множество всех простых идеалов (называемое спектром кольца ) содержит минимальные элементы (называемые минимальными простыми идеалами ). Геометрически они соответствуют неприводимым компонентам спектра.
Сумма двух простых идеалов не обязательно является простой. В качестве примера рассмотрим кольцо $\mathbb {C} [x,y]$ с простыми идеалами $P = (x 2 + и 2 - 1)$ и $Q = (x)$ (идеалы, порожденные $x 2 + и 2 - 1$ и $x$ соответственно). Их сумма $P + Q = (x 2 + и 2 - 1, x) = (y 2 - 1, x)$ , однако не является простым: $y 2 - 1 = (y - 1)(y + 1) \in P + Q$ , но два его множителя — нет. Альтернативно, факторкольцо имеет делители нуля , поэтому оно не является областью целостности и, следовательно, $P + Q$ не может быть простым.
Не всякий идеал, который нельзя разложить на два идеала, является первичным идеалом; например $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ не может быть факторизовано, но не является простым.
В коммутативном кольце $R$ , состоящем не менее чем из двух элементов, если каждый собственный идеал прост, то кольцо является полем. (Если идеал $(0)$ простой, то кольцо $R$ является областью целостности. Если $q$ — любой ненулевой элемент $R$ и идеал $(q 2)$ является простым, то оно содержит $q$ и тогда $q$ обратимо . )
Ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом . В UFD каждый ненулевой простой идеал содержит простой элемент.

Использует [ править ]

Одно из применений простых идеалов встречается в алгебраической геометрии , где многообразия определяются как нулевые множества идеалов в кольцах полиномов. Оказывается, неприводимые многообразия соответствуют простым идеалам. В современном абстрактном подходе мы начинаем с произвольного коммутативного кольца и превращаем множество его простых идеалов, также называемое его спектром , в топологическое пространство и, таким образом, можем определить обобщения многообразий, называемых схемами , которые находят приложения не только в геометрии , но и в геометрии. также в теории чисел .

Введение простых идеалов в теорию алгебраических чисел было большим шагом вперед: стало понятно, что важное свойство уникальной факторизации, выраженное в фундаментальной теореме арифметики, справедливо не для каждого кольца алгебраических целых чисел , но замена была найдена, когда Ричард Дедекинд заменили элементы идеалами, а простые элементы — простыми идеалами; Дедекинда см. домен .

идеалы для колец Простые некоммутативных

Понятие простого идеала можно обобщить на некоммутативные кольца, используя коммутативное определение «идеально». Вольфганг Крулль выдвинул эту идею в 1928 году. ^[5] Следующий контент можно найти в таких текстах, как Goodearl's ^[6] и Лама. ^[7] Если $R$ — кольцо (возможно, некоммутативное) и $P$ — собственный идеал кольца $R$ , мы говорим, что $P$ простое , если для любых двух идеалов $A$ и $B$ кольца $R$ :

Если произведение идеалов $AB$ содержится в $P$ , то хотя бы один из идеалов $и$ B $содержится$ в $P.$ A

Можно показать, что это определение эквивалентно коммутативному в коммутативных кольцах. Легко проверить, что если идеал некоммутативного кольца $R$ удовлетворяет коммутативному определению простого числа, то он также удовлетворяет некоммутативной версии. Идеал $P,$ удовлетворяющий коммутативному определению простого числа, иногда называют полностью простым идеалом, чтобы отличить его от других просто простых идеалов в кольце. Вполне простые идеалы — это простые идеалы, но обратное неверно. Например, нулевой идеал в кольце $размера n \times n$ матриц над полем является простым идеалом, но не является полностью простым.

Это близко исторической точке зрения на идеалы как идеальные числа , что касается кольца $\mathbb {Z}$ « $А$ содержится в $Р$ » — это еще один способ сказать: « $Р$ делит $А$ », а идеал единицы $R$ представляет собой единство.

Эквивалентные формулировки простого идеала $P \neq R$ включают следующие свойства:

Для всех $a$ и $b$ в $R$ из $(a)(b) \subseteq P$ следует, $a \in P$ или $b \in P.$ что
любых правых идеалов $R$ P $AB \subseteq P$ влечет $A \subseteq P.$ или $B \subseteq двух$ Для
Для любых двух левых идеалов $R$ кольца $AB \subseteq P$ следует $A \subseteq P$ или $B \subseteq P.$ из
Для любых элементов $a$ и $b$ из $R$ если $aRb \subseteq P$ , то $a \in P$ или $b \in P.$ ,

Первичные идеалы в коммутативных кольцах характеризуются наличием мультипликативно замкнутых дополнений в $R$ , и с небольшими изменениями аналогичную характеристику можно сформулировать для простых идеалов в некоммутативных кольцах. подмножество Непустое , $S \subseteq R$ называется m-системой если для любых $a$ и $b$ из $S$ существует $r$ в $R$ такой, что $находится$ в $S.$ arb ^[8] Затем к приведенному выше списку эквивалентных условий можно добавить следующий пункт:

Дополнение $R ∖ P$ является m-системой.

Примеры [ править ]

Любой примитивный идеал прост.
Как и в случае с коммутативными кольцами, максимальные идеалы являются простыми, а также простые идеалы содержат минимальные простые идеалы.
Кольцо является первичным кольцом тогда и только тогда, когда нулевой идеал является простым идеалом, и, более того, кольцо является областью тогда и только тогда, когда нулевой идеал является вполне первичным идеалом.
Другой факт из коммутативной теории, отраженный в некоммутативной теории, заключается в том, что если $A$ — ненулевой $R$ - модуль , а $P$ — максимальный элемент в частично упорядоченном множестве идеалов- аннуляторов подмодулей $A$ , то $P$ — простое число.

Важные факты [ править ]

Лемма о простом избегании . Если $R$ — коммутативное кольцо, $A$ — подкольцо (возможно, без единицы) и $I 1, ..., I n$ — набор идеалов $R$ , в котором не более двух членов не являются простыми, то если $A$ не содержится в любой $I j$ , он также не содержится в объединении I $1, ..., I n$ . ^[9] В частности, $A$ может быть идеалом $R$ .
Если $S$ — любая m-система в $R$ , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал $I$ в $R$ , максимальный относительно того, чтобы быть непересекающимся с $S$ , и, более того, идеал $I$ должен быть простым (простота $I$ может быть доказана следующим образом: если $a,b\not \in I$ , то существуют элементы $s,t\in S$ такой, что $s\in I+(a),t\in I+(b)$ по максимальному свойству $I$ . Сейчас если $(a)(b)\subset I$ , затем $st\in (I+(a))(I+(b))\subset I+(a)(b)\subset I$ , что является противоречием). ^[4] случае ${S} = {1}$ мы имеем теорему Крулла , и это восстанавливает максимальные идеалы $R.$ В Другой прототип m-системы — это набор ${x, x 2, Икс 3, Икс 4, ...}$ всех положительных степеней ненильпотентного элемента .
Для простого идеала $P$ дополнение $R ∖ P$ обладает еще одним свойством, помимо того, что оно является m-системой. Если xy находится в $R ∖ P$ , то и $x$ , и $y$ должны находиться в $R ∖ P$ , поскольку $P$ — идеал. Множество, содержащее делители своих элементов, называется насыщенным .
Для коммутативного кольца $R$ существует своего рода обратное к предыдущему утверждению: если $S$ — любое непустое насыщенное и мультипликативно замкнутое подмножество кольца $R$ , то дополнение $R ∖ S$ является объединением простых идеалов $R.$ кольца ^[10]
Пересечение . членов нисходящей цепочки простых идеалов является простым идеалом, а в коммутативном кольце объединение членов восходящей цепи простых идеалов является простым идеалом С учетом леммы Цорна из этих наблюдений следует, что ЧУУ простых идеалов коммутативного кольца (частично упорядоченного по включению) имеет максимальные и минимальные элементы.

Подключение к максимальности [ править ]

Простые идеалы часто могут быть созданы как максимальные элементы определенных наборов идеалов. Например:

Идеал, максимальный относительно пустого пересечения с фиксированной m-системой, является простым.
Идеал, максимальный среди аннуляторов подмодулей фиксированного $R$ -модуля $M,$ является простым.
В коммутативном кольце максимальный относительно неглавности идеал является простым. ^[11]
В коммутативном кольце максимальный относительно несчетно порожденный идеал является простым. ^[12]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .
^ Рид, Майлз (1996). Бакалавриат по коммутативной алгебре . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-45889-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Первый курс Лама по некоммутативным кольцам , с. 156
^ Крулль, Вольфганг, Первичные идеальные цепи в общих кольцевых областях , отчеты о собраниях в Гейдельберге. Академическая наука (1928), 7-й трактат, 3-14.
^ Гудерл, Введение в некоммутативные нётеровы кольца
^ Лам, Первый курс некоммутативных колец
^ Очевидно, что мультипликативно замкнутые множества являются m-системами.
^ Джейкобсона Основная алгебра II , с. 390
^ Капланский Коммутативные кольца , с. 2
^ Капланский Коммутативные кольца , с. 10, Пример 10.
^ Капланский Коммутативные кольца , с. 10, Пример 11.

Дальнейшее чтение [ править ]

Гудерл, КР; Уорфилд, Р.Б. младший (2004), Введение в некоммутативные нетеровы кольца , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 61 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xxiv+344, doi : 10.1017/CBO9780511841699 , ISBN 0-521-54537-4 , МР 2080008
Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. 100–100. XVIII+686, ISBN 0-7167-1933-9 , МР 1009787
Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR 0254021.
Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Publishers, стр. 131–131. хх+385, номер домена : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0 , МР 1838439 , Збл 0980.16001
Лам, Тайвань ; Рейес, Мануэль Л. (2008), «Принцип простого идеала в коммутативной алгебре», J. Algebra , 319 (7): 3006–3027, doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.07.016 , ISSN 0021-8693 , MR 2397420 , Збл 1168.13002
«Простой идеал» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .

[2] Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .

[3] Рид, Майлз (1996). Бакалавриат по коммутативной алгебре . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-45889-7 .

[Lam-4] Перейти обратно: ^а ^б Первый курс Лама по некоммутативным кольцам , с. 156

[5] Крулль, Вольфганг, Первичные идеальные цепи в общих кольцевых областях , отчеты о собраниях в Гейдельберге. Академическая наука (1928), 7-й трактат, 3-14.

[6] Гудерл, Введение в некоммутативные нётеровы кольца

[7] Лам, Первый курс некоммутативных колец

[8] Очевидно, что мультипликативно замкнутые множества являются m-системами.

[9] Джейкобсона Основная алгебра II , с. 390

[10] Капланский Коммутативные кольца , с. 2

[11] Капланский Коммутативные кольца , с. 10, Пример 10.

[12] Капланский Коммутативные кольца , с. 10, Пример 11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]