Первичный идеал

В математике , особенно в коммутативной алгебре , собственный идеал Q коммутативного кольца A называется первичным , если всякий раз, когда xy является элементом Q , тогда x или y ^н также является элементом Q для некоторого n > 0. Например, в кольце целых Z , ( p ^н) — первичный идеал, если p — простое число .

Понятие первичных идеалов важно в коммутативной теории колец, потому что каждый идеал нётерова кольца имеет первичное разложение , то есть может быть записан как пересечение конечного числа первичных идеалов. Этот результат известен как теорема Ласкера–Нётер . Следовательно, ^[1] неприводимый идеал нетерова кольца примарен.

Существуют различные методы обобщения первичных идеалов на некоммутативные кольца. ^[2]но эта тема чаще всего изучается для коммутативных колец. Поэтому кольца в этой статье предполагаются коммутативными кольцами с единицей.

Примеры и свойства [ править ]

Это определение можно перефразировать более симметрично: собственный идеал ${\mathfrak {q}}$ является первичным, если, когда бы то ни было $xy\in {\mathfrak {q}}$ , у нас есть $x\in {\mathfrak {q}}$ или $y\in {\mathfrak {q}}$ или $x,y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}$ . (Здесь ${\sqrt {\mathfrak {q}}}$ обозначает радикал ${\mathfrak {q}}$ .)
Собственный идеал Q кольца R является примарным тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в R / Q нильпотентен. (Сравните это со случаем простых идеалов, где P является простым тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в R / P на самом деле равен нулю.)
Любой простой идеал является первичным, и, более того, идеал является простым тогда и только тогда, когда он примарный и полупервичный ( его также называют радикальным идеалом ). в коммутативном случае
Каждый первичный идеал первичен . ^[3]
Если Q первичный идеал, то радикал Q , обязательно является простым идеалом P и этот идеал называется ассоциированным простым Q. — идеалом В этой ситуации Q называется P -первичным .
- С другой стороны, идеал, радикал которого является простым, не обязательно является первичным: например, если $R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ $R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})$ , ${\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})$ ${\mathfrak {p}}=({\overline {x}}, {\overline {z}})$ , и ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}$ ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}$ , затем ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ является простым и ${\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}$ ${\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}$ , но у нас есть ${\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}$ ${\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}$ , ${\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}$ ${\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}$ , и ${\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}$ ${\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}$ для всех n > 0, поэтому ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ не является первичным. Первичное разложение ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {q}}$ является $({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})$ $({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2}, {\overline {x}}{\overline {z}}, {\overline {y}})$ ; здесь $({\overline {x}})$ $({\overline {x}})$ является ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ -первичный и $({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})$ $({\overline {x}}^{2}, {\overline {x}}{\overline {z}}, {\overline {y}})$ является $({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})$ $({\overline {x}}, {\overline {y}}, {\overline {z}})$ -начальный.
  - Однако идеал, радикал которого максимален , является первичным.
  - Каждый идеал $Q$ с радикалом $P$ содержится в наименьшем $P$ -примарном идеале: всех элементах $a$ таких, что $ax \in Q$ для некоторого $x \notin P$ . Наименьший $P$ -первичный идеал, содержащий $P н$ называется $n-$ й символьной степенью $P$ .
Если P — максимальный простой идеал, то любой идеал, содержащий степень P , является P -примарным. Не все P -первичные идеалы обязательно должны быть степенями P , но, по крайней мере, они содержат степень P; например идеал ( x , y ²) является P -примарным для идеала P = ( x , y ) в кольце k [ x , y ], но не является степенью P , однако содержит P².
Если A — нётерово кольцо , а P — простой идеал, то ядро $A\to A_{P}$ , отображение A в локализацию A -первичных в P , является пересечением всех P идеалов. ^[4]
Конечный непустой продукт ${\mathfrak {p}}$ -основные идеалы ${\mathfrak {p}}$ -первичный, но бесконечный продукт ${\mathfrak {p}}$ - первичных идеалов может не быть ${\mathfrak {p}}$ -начальный; так как, например, в нётеровом локальном кольце с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ , $\cap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0$ ( теорема Крулля о пересечении ) где каждый ${\mathfrak {m}}^{n}$ является ${\mathfrak {m}}$ -первичный, например, бесконечное произведение максимального (и, следовательно, простого и, следовательно, первичного) идеала. $m=\langle x,y\rangle$ местного кольца $K[x,y]/\langle x^{2},xy\rangle$ дает нулевой идеал, который в данном случае не является примарным (поскольку делитель нуля $y$ не нильпотентна). Действительно, в нётеровом кольце непустое произведение ${\mathfrak {p}}$ -первичные идеалы $Q_{i}$ является ${\mathfrak {p}}$ -primary тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число $n>0$ такой, что ${\mathfrak {p}}^{n}\subset \cap _{i}Q_{i}$ . ^[5]

Сноски [ править ]

^ Точнее, этот факт обычно используют для доказательства теоремы.
^ См. ссылки на Чаттерса-Хаджарнависа, Голдмана, Гортона-Хезерли и Лесье-Круасо.
↑ Доказательство второй части см. в статье Фукса.
^ Атья – Макдональд, следствие 10.21
^ Бурбаки , Гл. IV, § 2, Упражнение 3.

Ссылки [ править ]

Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, стр. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
Бурбаки, Коммутативная алгебра.
Чаттерс, AW; Хаярнавис, CR (1971), «Некоммутативные кольца с первичным разложением», Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 22 : 73–83, doi : 10.1093/qmath/22.1.73 , ISSN 0033-5606 , MR 0286822
Гольдман, Оскар (1969), «Кольца и модули частных», Журнал алгебры , 13 : 10–47, doi : 10.1016/0021-8693(69)90004-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0245608
Гортон, Кристина; Хизерли, Генри (2006), «Обобщенные первичные кольца и идеалы», Mathematica Pannonica , 17 (1): 17–28, ISSN 0865-2090 , MR 2215638
О первичных идеалах , Ладислас Фукс
Лесье, Л.; Круасо, Р. (1963), Некоммутативная нётерова алгебра (на французском языке), Mémor. наук. Матем., Fasc. КЛИВ. Gauthier-Villars & Cie, издатель-принтер-книготорговец, Париж, с. 119, МР 0155861

Внешние ссылки [ править ]

Первичный идеал в математической энциклопедии

[1] Точнее, этот факт обычно используют для доказательства теоремы.

[2] См. ссылки на Чаттерса-Хаджарнависа, Голдмана, Гортона-Хезерли и Лесье-Круасо.

[3] Доказательство второй части см. в статье Фукса.

[4] Атья – Макдональд, следствие 10.21

[5] Бурбаки , Гл. IV, § 2, Упражнение 3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]