Непреодолимый идеал

В математике идеал собственный если коммутативного кольца называется неприводимым, его нельзя записать как пересечение двух строго больших идеалов.

Примеры

• Каждый простой идеал неприводим. Позволять $J$ и $K$ — идеалы коммутативного кольца $R$, ни одно из которых не содержится в другом. Тогда существуют $a\in J\setminus K$ и $b\in K\setminus J$, где нет ни того, ни другого $J\cap K$ но товар есть. Это доказывает, что приводимый идеал не является простым. Конкретным примером этого являются идеалы $2\mathbb {Z}$ и $3\mathbb {Z}$ содержится в $\mathbb {Z}$. Пересечение $6\mathbb {Z}$, и $6\mathbb {Z}$ не является главным идеалом.
• Каждый неприводимый идеал нётерова кольца является примарным идеалом . и, следовательно, для нётеровых колец неприводимое разложение является примарным разложением .
• Каждый первичный идеал области главных идеалов является неприводимым идеалом.
• Каждый нередуцируемый идеал первичен .

Характеристики

Элемент области целостности является простым тогда и только тогда, когда идеал порожденный им является ненулевым простым идеалом. Это неверно для нередуцируемых идеалов; неприводимый идеал может быть порожден элементом, который не является неприводимым элементом , как это имеет место в случае $\mathbb {Z}$ для идеала $4\mathbb {Z}$ поскольку это не пересечение двух строго больших идеалов.

В алгебраической геометрии , если идеал $I$ кольца $R$ неприводима, то $V(I)$ является неприводимым подмножеством в топологии Зарисского на спектре $\operatorname {Spec} R$. Обратное неверно ; например идеал $(x^{2},xy,y^{2})$ в $\mathbb {C} [x,y]$ определяет неприводимое многообразие, состоящее только из начала координат, но оно не является неприводимым идеалом, как $(x^{2},xy,y^{2})=(x^{2},y)\cap (x,y^{2})$.

См. также

• Неприводимый модуль
• Несокращаемое пространство
• Ласкерианское кольцо