Интегральная область

В математике областью целостности называется ненулевое коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю . ^[1]^[2]Целочисленные области являются обобщением кольца целых чисел и обеспечивают естественную основу для изучения делимости . В области целостности каждый ненулевой элемент a обладает свойством отмены , то есть, если a ≠ 0 , равенство ab = ac влечет за собой b = c .

«Интегральная область» определяется почти повсеместно, как указано выше, но есть некоторые вариации. Эта статья следует соглашению о том, что кольца имеют мультипликативную идентичность , обычно обозначаемую 1, но некоторые авторы не следуют этому соглашению, не требуя, чтобы целые области имели мультипликативную идентичность. ^[3]^[4] Иногда допускаются некоммутативные области целостности. ^[5] Эта статья, однако, следует гораздо более обычному соглашению о резервировании термина «область целостности» для коммутативного случая и использовании термина « домен » для общего случая, включая некоммутативные кольца.

Некоторые источники, особенно Ланг , используют термин « все кольцо» для обозначения области целостности. ^[6]

Некоторые конкретные виды областей целостности даны со следующей цепочкой включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение [ править ]

— Область целостности это ненулевое коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю. Эквивалентно:

Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо, не имеющее ненулевых делителей нуля .
Область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым идеалом .
Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо, для которого каждый ненулевой элемент сокращаем при умножении.
Область целостности — это кольцо, для которого множество ненулевых элементов является коммутативным моноидом относительно умножения (поскольку моноид должен быть замкнутым относительно умножения).
Область целостности — это ненулевое коммутативное кольцо, в котором для каждого ненулевого элемента r функция, отображающая каждый элемент x кольца в произведение xr, является инъективной . Элементы r с этим свойством называются регулярными , поэтому это эквивалентно требованию, чтобы каждый ненулевой элемент кольца был регулярным.
это кольцо изоморфное подкольцу , поля Область целостности — . (При наличии целой области ее можно встроить в ее поле дробей .)

Примеры [ править ]

Архетипический пример – кольцо. $\mathbb {Z}$ всех целых чисел .
Каждое поле является целостной областью. Например, поле $\mathbb {R}$ всех действительных чисел является областью целочисленности. И наоборот, каждая артинова область целостности является полем. В частности, все конечные области целостности являются конечными полями (в более общем смысле, по малой теореме Веддерберна , конечные области являются конечными полями ). Кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ представляет собой пример неартиновой бесконечной области целостности, которая не является полем и обладает бесконечными нисходящими последовательностями идеалов, таких как:
$\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots$
Кольца многочленов являются областью целостности, если коэффициенты происходят из области целостности. Например, кольцо $\mathbb {Z} [x]$ всех многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами является областью целостности; как и кольцо $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ всех многочленов от n -переменных с комплексными коэффициентами.
Предыдущий пример можно использовать дальше, взяв частное от простых идеалов. Например, кольцо $\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$ соответствующая плоской эллиптической кривой , является областью целостности. Целостность можно проверить, показав $y^{2}-x(x-1)(x-2)$ является неприводимым многочленом .
Кольцо $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ является областью целостности для любого неквадратного целого числа $n$ . Если $n>0$ , то это кольцо всегда является подкольцом $\mathbb {R}$ , в противном случае это подкольцо $\mathbb {C} .$
Кольцо p -адических целых чисел $\mathbb {Z} _{p}$ является целостной областью.
Кольцо формальных степенных рядов области целостности является областью целостности.
Если $U$ является связным открытым подмножеством комплексной плоскости $\mathbb {C}$ , затем кольцо ${\mathcal {H}}(U)$ состоящая из всех голоморфных функций , является областью целостности. То же справедливо и для колец аналитических функций на связных открытых подмножествах аналитических многообразий .
Регулярное локальное кольцо является областью целостности. По сути, обычное локальное кольцо — это УФД . ^[7]^[8]

Непримеры [ править ]

Следующие кольца не являются областью целостности.

Нулевое кольцо (кольцо, в котором $0=1$ ).
Фактор -кольцо $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ когда m — составное число . Действительно, выберите правильную факторизацию $m=xy$ (означающий, что $x$ и $y$ не равны $1$ или $m$ ). Затем $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ и $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$ , но $xy\equiv 0{\bmod {m}}$ .
Произведение двух ненулевых коммутативных колец. В таком продукте $R\times S$ , надо $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ .
Фактор -кольцо $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})$ для любого $n\in \mathbb {Z}$ . Изображения $x+n$ и $x-n$ отличны от нуля, а их произведение в этом кольце равно 0.
Кольцо матриц размера n × n при над любым ненулевым кольцом n ≥ 2. Если $M$ и $N$ матрицы такие, что образ $N$ содержится в ядре $M$ , затем $MN=0$ . Например, это происходит для $M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})$ .
Фактор-кольцо $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)$ для любой сферы $k$ и любые непостоянные полиномы $f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ . Образы $f$ и $g$ в этом факторкольце являются ненулевыми элементами, произведение которых равно 0. Этот аргумент эквивалентно показывает, что $(fg)$ не является основным идеалом . Геометрическая интерпретация этого результата состоит в том, что нули fg $,$ образуют аффинное алгебраическое множество , не является неприводимым (т. е. не является алгебраическим многообразием которое, вообще говоря ). Единственный случай, когда этот алгебраический набор может быть неприводимым, - это когда $fg$ является степенью неприводимого многочлена , который определяет тот же алгебраический набор.
Кольцо непрерывных функций на единичном интервале . Рассмотрим функции
$f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$

Ни один

f

ни

g

везде равен нулю, но

fg

является.

Тензорное произведение $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ . Это кольцо имеет два нетривиальных идемпотента : $e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ и $e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ . Они ортогональны, то есть $e_{1}e_{2}=0$ , и поэтому $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ это не домен. На самом деле существует изоморфизм $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ определяется $(z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}$ . Его инверсия определяется формулой $z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})$ . Этот пример показывает, что расслоенное произведение неприводимых аффинных схем не обязательно должно быть неприводимым.

Делимость, простые элементы и неприводимые элементы [ править ]

В этом разделе R представляет собой область целостности.

Учитывая элементы a и b из R , говорят, что делит b , или что a является делителем b что , или что b кратно a a , если существует элемент x в R такой, ax = b .

Единицы ; R — это элементы, которые делят 1 это именно обратимые элементы в R . Единицы разделяют все остальные элементы.

Если a делит b и b делит a , то a и b являются ассоциированными элементами или ассоциированными элементами . ^[9] Эквивалентно, a и b являются ассоциированными, если a = ub для некоторой единицы u .

— Неприводимый элемент это ненулевая неединица, которую нельзя записать в виде произведения двух неединиц.

Ненулевой неединичный элемент p является простым элементом , если всякий раз, когда p делит произведение ab , тогда p делит a или p делит b . Эквивалентно, элемент p является простым тогда и только тогда, когда главный идеал ( p ) является ненулевым простым идеалом .

Оба понятия неприводимых элементов и простых элементов обобщают обычное определение простых чисел в кольце. $\mathbb {Z} ,$ если считать простыми отрицательные простые числа.

Каждый простой элемент неприводим. Обратное неверно, вообще говоря: например, в квадратичном целочисленном кольце $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ элемент 3 неприводим (если бы он факторизовался нетривиально, каждый фактор должен был бы иметь норму 3, но элементов нормы 3 не существует, поскольку $a^{2}+5b^{2}=3$ не имеет целочисленных решений), но не является простым (поскольку 3 делит $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$ без деления любого из коэффициентов). В уникальной области факторизации (или, в более общем смысле, области НОД ) неприводимый элемент является простым элементом.

Хотя уникальная факторизация не выдерживает $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ существует уникальная факторизация идеалов . См. теорему Ласкера–Нётер .

Свойства [ править ]

Коммутативное кольцо R является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал (0) кольца R является простым идеалом.
Если R — коммутативное кольцо и P — идеал в R , то факторкольцо R/P является областью целостности тогда и только тогда, когда P — простой идеал .
Пусть R — область целостности. Тогда кольца многочленов над R (от любого числа неопределенных) являются областями целостности. Это, в частности, имеет место, если R является полем .
Свойство отмены справедливо в любой области целостности: для любых a , b и c в области целостности, если a ≠ 0 и ab = ac , то b = c . Другой способ утверждать это состоит в том, что функция x ↦ ax инъективна для любого ненулевого a в области определения.
Свойство отмены справедливо для идеалов в любой области целостности: если xI = xJ , то либо x равен нулю, I = J. либо
Область целостности равна пересечению ее локализаций в максимальных идеалах.
Индуктивный предел областей целостности — это область целостности.
Если A , B — области целостности над алгебраически замкнутым полем k , то A ⊗ _k B — область целостности. Это следствие nullstellensatz Гильберта , ^[а] а в алгебраической геометрии это означает утверждение, что координатное кольцо произведения двух аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем снова является областью целостности.

Поле дробей [ править ]

Поле дробей K области целостности R представляет собой множество дробей a / b с a и b в R и b ≠ 0 по модулю соответствующего отношения эквивалентности, снабженное обычными операциями сложения и умножения. Это «наименьшее поле, содержащее R » в том смысле, что существует инъективный гомоморфизм колец R → K такой, что любой инъективный гомоморфизм колец из R в поле факторизуется через K . Поле дробей кольца целых чисел $\mathbb {Z}$ это поле рациональных чисел $\mathbb {Q} .$ Поле дробей поля изоморфно самому полю.

Алгебраическая геометрия [ править ]

Целочисленные области характеризуются условием их редуцированности ( т.е. x ²= 0 влечет x = 0 ) и неприводимый (то есть существует только один минимальный простой идеал ). Первое условие гарантирует, что нильрадикал кольца равен нулю, так что пересечение всех минимальных простых чисел кольца равно нулю. Последнее условие состоит в том, что в кольце имеется только одно минимальное простое число. Отсюда следует, что единственный минимальный простой идеал приведенного и неприводимого кольца является нулевым идеалом, поэтому такие кольца являются областью целостности. Обратное очевидно: область целостности не имеет ненулевых нильпотентных элементов, а нулевой идеал является единственным минимальным простым идеалом.

В алгебраической геометрии это означает, что координатное кольцо аффинного алгебраического множества является областью целостности тогда и только тогда, когда алгебраическое множество является алгебраическим многообразием .

В более общем смысле, коммутативное кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр является целочисленной аффинной схемой .

Характеристика и гомоморфизмы [ править ]

Характеристикой простое области целостности является либо 0, либо число .

Если R — область целостности простой характеристики p , то эндоморфизм Фробениуса x ↦ x ^п является инъективным .

См. также [ править ]

Норма Дедекинда – Хассе - дополнительная структура, необходимая для того, чтобы область целостности была главной.
Свойство нулевого продукта

Примечания [ править ]

^ Доказательство: сначала предположим, что A конечно порождена как k -алгебра, и выберите k -базис. $g_{i}$ Б. Предполагать ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ (только конечное число $f_{i},h_{j}$ ненулевые). Для каждого максимального идеала ${\mathfrak {m}}$ A , рассмотрим гомоморфизм колец $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ . Тогда изображение ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ и таким образом либо ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ или ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ и, в силу линейной независимости, ${\overline {f_{i}}}=0$ для всех $i$ или ${\overline {h_{i}}}=0$ для всех $i$ . С ${\mathfrak {m}}$ произвольно, мы имеем ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ пересечение всех максимальных идеалов $=(0)$ где последнее равенство соответствует Nullstellensatz. С $(0)$ является простым идеалом, это означает либо ${\textstyle \sum f_{i}A}$ или ${\textstyle \sum h_{i}A}$ – нулевой идеал; то есть либо $f_{i}$ все равны нулю или $h_{i}$ все равны нулю. Наконец, A является индуктивным пределом конечно порожденных k -алгебр, которые являются областью целостности, и, следовательно, используя предыдущее свойство, $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ является целостной областью. $\square$

Цитаты [ править ]

^ Бурбаки 1998 , с. 116
^ Даммит и Фут 2004 , с. 228
^ ван дер Варден 1966 , с. 36
^ Херштейн 1964 , стр. 88–90.
^ МакКоннелл и Робсон
^ Ланг 1993 , стр. 91–92
^ Ауслендер и Бухсбаум, 1959 г.
^ Нагата 1958
^ Дурбин 1993 , с. 224: «Элементы a и b [области целостности] называются ассоциированными, если a | b и b | a ».

Ссылки [ править ]

Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. ISBN 0-05-002192-3 .
Бурбаки, Николя (1998). Алгебра, главы 1–3 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-3-540-64243-5 .
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли . ISBN 978-0-471-43334-7 .
Дурбин, Джон Р. (1993). Современная алгебра: Введение (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-51001-7 .
Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Лондон: издательство Blaisdell Publishing Company.
Хангерфорд, Томас В. (2013). Абстрактная алгебра: Введение (3-е изд.). Cengage Обучение. ISBN 978-1-111-56962-4 .
Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0 , Збл 0848.13001
Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 211. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4 . МР 1878556 .
Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1967). Алгебра . Macmillan Co. Нью-Йорк: ISBN 1-56881-068-7 . МР 0214415 .
МакКоннелл, Джей Си; Робсон, Дж. К., Некоммутативные нётеровы кольца , Аспирантура по математике , вып. 30, АМС
Милиес, Цезарь Польчино; Сегал, Сударшан К. (2002). Введение в групповые кольца . Спрингер. ISBN 1-4020-0238-6 .
Лански, Чарльз (2005). Понятия и абстрактная алгебра . Книжный магазин АМС. ISBN 0-534-42323-Х .
Роуэн, Луи Галле (1994). Алгебра: группы, кольца и поля . АК Петерс . ISBN 1-56881-028-8 .
Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-33718-6 .
ван дер Варден, Бартель Леендерт (1966), Алгебра , том. 1, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag
Ауслендер, М; Бухсбаум, Д.А. (1959). «Уникальная факторизация в регулярных локальных кольцах» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 45 (5) (опубликовано в мае 1959 г.): 733–4. Бибкод : 1959ПНАС...45..733А . дои : 10.1073/PNAS.45.5.733 . ISSN 0027-8424 . ПМК 222624 . ПМИД 16590434 . Збл 0084.26504 . Викиданные Q24655880 .
Нагата, Масаеши (1958). «Общая теория алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями, II: раздельно порожденные расширения и регулярные локальные кольца». Американский журнал математики . 80 (2) (опубликовано в апреле 1958 г.): 382. doi : 10.2307/2372791 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2372791 . Збл 0089.26501 . Викиданные Q56049883 .

Внешние ссылки [ править ]

«Откуда взялся термин «интегральная область»?» .

[10] Доказательство: сначала предположим, что A конечно порождена как k -алгебра, и выберите k -базис. $g_{i}$ Б. Предполагать ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ (только конечное число $f_{i},h_{j}$ ненулевые). Для каждого максимального идеала ${\mathfrak {m}}$ A , рассмотрим гомоморфизм колец $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ . Тогда изображение ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ и таким образом либо ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ или ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ и, в силу линейной независимости, ${\overline {f_{i}}}=0$ для всех $i$ или ${\overline {h_{i}}}=0$ для всех $i$ . С ${\mathfrak {m}}$ произвольно, мы имеем ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ пересечение всех максимальных идеалов $=(0)$ где последнее равенство соответствует Nullstellensatz. С $(0)$ является простым идеалом, это означает либо ${\textstyle \sum f_{i}A}$ или ${\textstyle \sum h_{i}A}$ – нулевой идеал; то есть либо $f_{i}$ все равны нулю или $h_{i}$ все равны нулю. Наконец, A является индуктивным пределом конечно порожденных k -алгебр, которые являются областью целостности, и, следовательно, используя предыдущее свойство, $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ является целостной областью. $\square$

[FOOTNOTEBourbaki1998116-1] Бурбаки 1998 , с. 116

[FOOTNOTEDummitFoote2004228-2] Даммит и Фут 2004 , с. 228

[FOOTNOTEvan_der_Waerden196636-3] ван дер Варден 1966 , с. 36

[FOOTNOTEHerstein196488–90-4] Херштейн 1964 , стр. 88–90.

[FOOTNOTEMcConnellRobson-5] МакКоннелл и Робсон

[FOOTNOTELang199391–92-6] Ланг 1993 , стр. 91–92

[FOOTNOTEAuslanderBuchsbaum1959-7] Ауслендер и Бухсбаум, 1959 г.

[FOOTNOTENagata1958-8] Нагата 1958

[FOOTNOTEDurbin1993p._224,_"Elements_''a''_and_''b''_of_[an_integral_domain]_are_called_''associates''_if_''a''_|_''b''_and_''b''_|_''a''."-9] Дурбин 1993 , с. 224: «Элементы a и b [области целостности] называются ассоциированными, если a | b и b | a ».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[а]