Неприводимое кольцо
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( август 2023 г. ) |
В математике , особенно в области теории колец , термин «неприводимое кольцо» используется в нескольких различных значениях.
- ( Встреча- )неприводимое кольцо — это кольцо , в котором пересечение двух ненулевых идеалов всегда ненулевое.
- — Прямо неприводимое кольцо это кольцо, которое нельзя записать в виде прямой суммы двух ненулевых колец.
- — Подпрямо неприводимое кольцо это кольцо с единственным ненулевым минимальным двусторонним идеалом.
- Кольцо с неприводимым спектром — это кольцо, спектр которого как топологическое неприводим пространство.
Кольца «Meet-неприводимые» называются в коммутативной алгебре «неприводимыми кольцами» . В этой статье используется термин «встретиться-неприводимый», чтобы различать несколько обсуждаемых типов.
Встречающиеся-неприводимые кольца играют важную роль в коммутативной алгебре, а прямо неприводимые и подпрямо неприводимые кольца играют роль в общей теории структуры колец. Подпрямо неприводимые алгебры нашли применение и в теории чисел .
Эта статья следует соглашению, согласно которому кольца обладают мультипликативной идентичностью , но не обязательно являются коммутативными .
Определения
[ редактировать ]Термины «сводимо к встрече», «непосредственно приводимое» и «подпрямо приводимое» используются, когда кольцо не является неприводимым к встрече, или не является непосредственно неприводимым, или не является подпрямо неприводимым соответственно.
Следующие условия эквивалентны для коммутативного кольца R :
- R является неприводимым;
- нулевой идеал в , т R неприводим . е. пересечение двух ненулевых идеалов в A всегда ненулевое.
Следующие условия эквивалентны для кольца R :
- R непосредственно неприводим;
- R не имеет центральных идемпотентов, кроме 0 и 1.
Следующие условия эквивалентны для кольца R :
- R подпрямо неприводим;
- когда R записано как подпрямое произведение колец, то одна из проекций R на кольцо в подпрямом произведении является изоморфизмом ;
- Пересечение всех ненулевых идеалов R ненулевое.
Следующие условия эквивалентны для коммутативного кольца R : [1]
- спектр R неприводим .
- R обладает ровно одним минимальным простым идеалом (этот простой идеал может быть нулевым идеалом);
Примеры и свойства
[ редактировать ]Если R подпрямо неприводимо или несократимо, то оно также прямо неприводимо, но обратное неверно.
- Все области целостности неприводимы, но не все области целостности подпрямо неприводимы (например, Z ). Фактически, коммутативное кольцо является областью тогда и только тогда, когда оно одновременно неприводимо и приведено .
- Коммутативное кольцо является областью тогда и только тогда, когда его спектр неприводим и приведен . [2] [3] [4]
- Факторкольцо — Z /4 Z это кольцо, имеющее все три смысла неприводимости, но не являющееся областью определения. Его единственный собственный идеал — это 2 Z /4 Z , который является максимальным и, следовательно, простым. Идеал также минимален .
- двух Прямое произведение ненулевых колец никогда не является неприводимым напрямую и, следовательно, никогда не является несократимым или подпрямо неприводимым. Например, в Z × Z пересечение ненулевых идеалов {0} × Z и Z × {0} равно нулевому идеалу {0} × {0}.
- Коммутативные прямо неприводимые кольца — связные кольца ; то есть их единственные идемпотентные элементы — 0 и 1.
Обобщения
[ редактировать ]Коммутативные встречно-неприводимые кольца играют элементарную роль в алгебраической геометрии , где это понятие обобщается до понятия неприводимой схемы . [ нужна ссылка ]