Подпрямо неприводимая алгебра

В разделе математики, известном как универсальная алгебра (и в ее приложениях), подпрямо неприводимая алгебра — это алгебра , которую нельзя рассматривать как подпрямое произведение «более простых» алгебр. Подпрямо неприводимые алгебры играют в алгебре роль, аналогичную простым числам в теории чисел .

Определение

Универсальная алгебра A называется подпрямо неприводимой, если имеет более одного элемента и когда любое подпрямое представление A изоморфную включает (в качестве фактора) алгебру, A , A причем изоморфизм задается отображением проекции.

Примеры

Двухэлементная цепочка , как булева алгебра , алгебра Гейтинга , решетка ^[1]^: 56, или полурешетка , подпрямо неприводима. Фактически двухэлементная цепь является единственной подпрямо неприводимой дистрибутивной решеткой . ^[1]^: 56
Любая конечная цепь с двумя или более элементами, как алгебра Гейтинга , подпрямо неприводима. (Это не относится к цепочкам из трех или более элементов в виде решеток или полурешеток, которые подпрямо сводятся к двухэлементной цепочке. Отличие от алгебр Гейтинга состоит в том, что a → b не обязательно должно быть сравнимо с a в порядке решетки . даже когда b .)
Любая конечная циклическая группа порядка степени простого числа (т. е. любая конечная p -группа ) подпрямо неприводима. ^[1]^: 56 (Один из недостатков аналогии между подпрямыми неприводимыми числами и простыми числами состоит в том, что целые числа подпрямо представимы любым бесконечным семейством неизоморфных циклических групп простой степени, например, только теми, которые имеют порядок простого числа Мерсенна, предполагая, что их бесконечно много.) Фактически, абелева группа подпрямо неприводима тогда и только тогда, когда она изоморфна конечной p -группе или изоморфна группе Прюфера (бесконечная, но счетная p -группа, которая является прямым пределом ее конечных p -подгрупп). ^[1]^: 61
Векторное пространство является подпрямо неприводимым тогда и только тогда, когда оно имеет размерность единица.

Характеристики

Теорема о подпрямом представлении универсальной алгебры утверждает, что каждая алгебра подпрямо представима своими подпрямо неприводимыми факторами . Таким образом, эквивалентным определением «подпрямой неприводимой» является любая алгебра A , которая не подпрямо представима теми своими факторами, которые не изоморфны A . (Это не совсем то же самое, что «по своим собственным факторам», потому что собственный фактор A может быть изоморфен A , например фактор полурешетки ( Z , $min$ ), полученный путем идентификации только двух элементов 3 и 4. )

Непосредственным следствием является то, что любое многообразие как класс, замкнутый относительно гомоморфизмов , подалгебр и прямых произведений , определяется своими подпрямо неприводимыми членами, поскольку каждая алгебра А в многообразии может быть построена как подалгебра подходящего прямого произведения подпрямо неприводимых членов. неприводимые частные A , все из которых принадлежат многообразию, потому что A принадлежит. По этой причине часто изучают не само многообразие, а только его подпрямые неприводимые.

Алгебра A является подпрямо неприводимой тогда и только тогда, когда она содержит два элемента, которые отождествляются каждым собственным фактором, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда ее решетка A имеет Con сравнений наименьший неединичный элемент. То есть любая подпрямая неприводимая должна содержать определенную пару элементов, таким образом свидетельствующих о ее неприводимости. Учитывая такое свидетельство ( a , b ) подпрямой неприводимости, мы говорим, что подпрямая неприводимая является ( a , b )-неприводимой.

Для любого класса C подобных алгебр лемма Йонссона (из-за Бьярни Йонссона ) утверждает, что если многообразие HSP( C ), порожденное C , является конгруэнц-дистрибутивным , его подпрямые неприводимые находятся в HSP _U ( C ), то есть они являются факторами подалгебр ультрапроизведений членов C . (Если C — конечное множество конечных алгебр, операция ультрапроизведения избыточна.)

Приложения

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы гейтинговая алгебра была подпрямо неприводимой, является наличие наибольшего элемента строго ниже 1. Свидетельствующей парой является этот элемент и 1, и идентификация любой другой пары a , b элементов идентифицирует как a → b , так и b → a с 1, тем самым сводя все, что выше этих двух импликаций, к 1. Следовательно, каждая конечная цепочка из двух или более элементов как алгебра Гейтинга подпрямо неприводима.

По лемме Йонссона подпрямо неприводимые алгебры конгруэнц-дистрибутивного многообразия, порожденные конечным набором конечных алгебр, не больше, чем порождающие алгебры, поскольку факторы и подалгебры алгебры A никогда не больше, чем A. сама Например, подпрямые неприводимые в многообразии, порожденном конечной линейно упорядоченной алгеброй Гейтинга H, должны быть просто невырожденными факторами H , а именно всеми меньшими линейно упорядоченными невырожденными алгебрами Гейтинга. Условия, вообще говоря, нельзя отбросить: например, многообразие всех гейтинговых алгебр порождается множеством ее конечных подпрямо неприводимых алгебр, но существуют подпрямо неприводимые гейтинговые алгебры произвольной (бесконечной) мощности . Существует также единственная конечная алгебра, порождающая (неконгруэнц-дистрибутивное) многообразие со сколь угодно большими подпрямыми неприводимыми. ^[2]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6 .
^ Р. Маккензи, Остаточные границы конечных алгебр , Int. Дж. Алгебра Компьютер. 6 (1996), 1–29.

Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра . Спрингер. ISBN 978-0-387-71567-4 .

[Bergman-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6 .

[2] Р. Маккензи, Остаточные границы конечных алгебр , Int. Дж. Алгебра Компьютер. 6 (1996), 1–29.

[1]

[2]