Jump to content

Отношение конгруэнтности

В абстрактной алгебре ( отношение конгруэнции или просто конгруэнтность ) — это отношение эквивалентности в алгебраической структуре (такой как группа , кольцо или векторное пространство ), которая совместима со структурой в том смысле, что алгебраические операции, выполненные с эквивалентными элементами, дадут результат. эквивалентные элементы. [1] Каждое отношение конгруэнтности имеет соответствующую факторструктуру , элементами которой являются классы эквивалентности (или классы конгруэнтности ) для этого отношения. [2]

Определение [ править ]

Определение сравнения зависит от типа алгебраической структуры рассматриваемой . Частные определения конгруэнтности могут быть даны для групп , колец , векторных пространств , модулей , полугрупп , решеток и т. д. Общая тема заключается в том, что конгруэнция — это отношение эквивалентности алгебраического объекта, совместимое с алгебраической структурой в том смысле, что операции четко определены в классах эквивалентности .

Общие [ править ]

Общее понятие отношения конгруэнтности может быть формально определено в контексте универсальной алгебры — области, которая изучает идеи, общие для всех алгебраических структур . В этой ситуации отношение на данной алгебраической структуре называется согласованным , если

для каждого и каждый -арная операция определено в структуре: всякий раз, когда и... и , затем .

Отношение конгруэнтности в структуре тогда определяется как отношение эквивалентности, которое также является совместимым. [3] [4]

Примеры [ править ]

Базовый пример [ править ]

Прототипическим примером отношения конгруэнтности является конгруэнтность по модулю. на множестве целых чисел . Для данного положительного целого числа , два целых числа и называются конгруэнтными по модулю , написано

если делится на (или эквивалентно, если и иметь одинаковый остаток при делении на ).

Например, и конгруэнтны по модулю ,

с кратно 10 или, что то же самое, поскольку оба и иметь остаток при делении на .

Сравнение по модулю (для фиксированного ) совместим как со сложением , так и с умножением целых чисел. То есть,

если

и

затем

и

Соответствующее сложение и умножение классов эквивалентности известно как модульная арифметика . С точки зрения абстрактной алгебры, сравнение по модулю является отношением сравнения в кольце целых чисел и арифметическим по модулю встречается на соответствующем факторкольце .

Пример: Группы [ изменить ]

Например, группа — это алгебраический объект, состоящий из множества вместе с одной бинарной операцией , удовлетворяющий определённым аксиомам. Если это группа с операцией , отношение конгруэнтности на является отношением эквивалентности по элементам удовлетворяющий

и

для всех . Для сравнения в группе класс эквивалентности, содержащий единичный элемент , всегда является нормальной подгруппой , а другие классы эквивалентности — другими смежными классами этой подгруппы. Вместе эти классы эквивалентности являются элементами факторгруппы .

Пример: Кольца [ править ]

Когда алгебраическая структура включает более одной операции, отношения сравнения должны быть совместимы с каждой операцией. Например, в кольце возможны как сложение, так и умножение, а отношение конгруэнтности на кольце должно удовлетворять

и

в любое время и . Для сравнения на кольце класс эквивалентности, содержащий 0, всегда является двусторонним идеалом , а две операции над множеством классов эквивалентности определяют соответствующее факторкольцо.

с гомоморфизмами Связь

Если является гомоморфизмом между двумя алгебраическими структурами (такими как гомоморфизм групп или линейное отображение между векторными пространствами ), то соотношение определяется

тогда и только тогда, когда

является отношением конгруэнтности на . По изоморфизме образ A об при первой теореме является подструктурой B , изоморфной фактору A по этому сравнению.

С другой стороны, соотношение конгруэнтности индуцирует единственный гомоморфизм данный

.

Таким образом, существует естественное соответствие между конгруэнциями и гомоморфизмами любой данной алгебраической структуры.

групп, нормальных подгрупп Сравнения и идеалов

В частном случае групп отношения конгруэнтности можно элементарно описать следующим образом:Если G — группа (с единичным элементом e и операцией *), а ~ — бинарное отношение на G , то ~ является сравнением всякий раз, когда:

  1. Для любого элемента a из G ; a ~ a ( рефлексивность )
  2. Для любых элементов a и b из G , если a ~ b , то b ~ a ( симметрия );
  3. Для любых элементов a , b и c из G , если a ~ b и b ~ c , то a ~ c ( транзитивность );
  4. Для любых элементов a , a ', b и b ' из G , если a ~ a ' и b ~ b ' , то a * b ~ a ' * b ' ;
  5. Для любых элементов a и a ′ из G , если a ~ a , то a −1 ~ а ' −1 (это подразумевается остальными четырьмя, [примечание 1] [ нужна ссылка ] так что это совершенно избыточно).

Условия 1, 2 и 3 говорят, что ~ является отношением эквивалентности .

Сравнение ~ целиком определяется множеством { a G | a ~ e } тех элементов группы G , которые конгруэнтны единичному элементу, и это множество является нормальной подгруппой .В частности, a ~ b тогда и только тогда, когда b −1 * а ~ е .Поэтому вместо того, чтобы говорить о конгруэнтности групп, люди обычно говорят о их нормальных подгруппах; на самом деле каждая конгруэнция однозначно соответствует некоторой нормальной подгруппе G .

Идеалы колец и общий случай [ править ]

Подобный прием позволяет говорить о ядрах в теории колец как об идеалах , а не об отношениях конгруэнтности, а в теории модулей — как о подмодулях , а не об отношениях конгруэнтности.

Более общая ситуация, когда этот трюк возможен, - это омега-группы (в общем смысле, допускающие операторы с множественной арностью). Но этого нельзя сделать, например, с моноидами , поэтому изучение отношений конгруэнтности играет более центральную роль в теории моноидов.

Универсальная алгебра [ править ]

Общее понятие сравнения особенно полезно в универсальной алгебре . Эквивалентная формулировка в этом контексте следующая: [4]

Отношение конгруэнтности на алгебре A это подмножество прямого произведения A × A которое одновременно является отношением эквивалентности на A и подалгеброй A × , A.

Ядро всегда является гомоморфизма конгруэнцией . Действительно, всякое сравнение возникает как ядро.Для данного сравнения ~ на A множеству A / ~ классов эквивалентности можно естественным образом придать структуру алгебры — фактор-алгебру .Функция, которая отображает каждый элемент А в его класс эквивалентности, является гомоморфизмом, и ядром этого гомоморфизма является ~.

Решетка ) всех Con ( A отношений сравнения на алгебре A является алгебраической .

Джон М. Хоуи описал, как теория полугрупп иллюстрирует отношения конгруэнтности в универсальной алгебре:

В группе сравнение определяется, если мы знаем один класс сравнения, в частности, если мы знаем нормальную подгруппу, которая является классом, содержащим тождество. Аналогично, в кольце сравнение определяется, если мы знаем идеал, который представляет собой класс сравнения, содержащий ноль. В полугруппах такого счастливого случая нет, и поэтому мы стоим перед необходимостью изучения сравнений как таковых. Более чем что-либо еще, именно эта необходимость придает теории полугрупп ее характерный оттенок. Полугруппы фактически являются первым и простейшим типом алгебры, к которому необходимо применить методы универсальной алгебры... [5]

См. также [ править ]

Пояснительные примечания [ править ]

  1. ^ Поскольку −1 = а −1 * а * а −1 ~ а ' −1 * а ′ * а −1 = а −1

Примечания [ править ]

  1. ^ Хангерфорд (1974) , с. 27
  2. ^ Хангерфорд (1974) , с. 26
  3. ^ Барендрегт (1990) , с. 338, Финал 3.1.1
  4. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Бергман (2011) , разд. 1.5 и упражнение 1(a) в наборе упражнений 1.26 (Бергман использует выражение, имеющее свойство подстановки для совместимости )
  5. ^ Хоуи (1975) , с. в

Ссылки [ править ]

  • Барендрегт, Хенк (1990). «Функциональное программирование и лямбда-исчисление». Ян ван Леувен (ред.). Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. Том. Б. Эльзевир. стр. 321–364. ISBN  0-444-88074-7 .
  • Бергман, Клиффорд (2011), Универсальная алгебра: основы и избранные темы , Тейлор и Фрэнсис
  • Рог; Джонсон (1985), Матричный анализ , Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-38632-2 (В разделе 4.5 обсуждается конгруэнтность матриц.)
  • Хоуи, Дж. М. (1975), Введение в теорию полугрупп , Academic Press
  • Хангерфорд, Томас В. (1974), Алгебра , Springer-Verlag
  • Розен, Кеннет Х (2012). Дискретная математика и ее приложения . Макгроу-Хилл Образование. ISBN  978-0077418939 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b6d9595959b1836e9521412cc915b130__1714766040
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b6/30/b6d9595959b1836e9521412cc915b130.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Congruence relation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)