Факторная группа

Факторгруппа факторгруппа или , — это математическая группа полученная путем агрегирования аналогичных элементов более крупной группы с использованием отношения эквивалентности , которое сохраняет некоторую часть структуры группы (остальная часть структуры «выбрасывается» за скобки). Например, циклическую группу сложения по модулю n можно получить из складываемой группы целых чисел путем идентификации элементов, которые отличаются кратно $n$ и определение групповой структуры, которая работает с каждым таким классом (известным как класс конгруэнтности ) как с единым объектом. Это часть математической области, известной как теория групп .

Для отношения конгруэнции в группе класс эквивалентности единичного элемента всегда является нормальной подгруппой исходной группы, а другие классы эквивалентности являются в точности смежными классами этой нормальной подгруппы. Полученное частное записывается $G\,/\,N$ , где $G$ это исходная группа и $N$ это нормальная подгруппа. (Это произносится $G{\bmod {N}}$ , где ${\mbox{mod}}$ это сокращение от modulo .)

Большая часть важности факторгрупп вытекает из их связи с гомоморфизмами . Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ любой группы G при гомоморфизме всегда изоморфен фактору $G$ . В частности, образ $G$ при гомоморфизме $\varphi :G\rightarrow H$ изоморфен $G\,/\,\ker(\varphi )$ где $\ker(\varphi )$ обозначает ядро $\varphi$ .

Двойственное понятие факторгруппы — это подгруппа , это два основных способа образования меньшей группы из большей. Любая нормальная подгруппа имеет соответствующую факторгруппу, образованную из большей группы путем устранения различия между элементами подгруппы. В теории категорий факторгруппы являются примерами , которые двойственны подобъектам факторобъектов .

Определение и иллюстрация [ править ]

Учитывая группу $G$ и подгруппа $H$ и фиксированный элемент $a\in G$ , можно рассмотреть соответствующий левый смежный класс : $aH:=\left\{ah:h\in H\right\}$ . Классы смежности — это естественный класс подмножеств группы; например, рассмотрим абелеву группу G целых чисел с операцией , определяемой обычным сложением, и подгруппу $H$ из четных целых чисел. Тогда существует ровно два смежных класса: $0+H$ , которые являются четными целыми числами, и $1+H$ , которые являются нечетными целыми числами (здесь мы используем аддитивную запись для бинарной операции вместо мультипликативной записи).

Для общей подгруппы $H$ желательно определить совместимую групповую операцию на множестве всех возможных смежных классов, $\left\{aH:a\in G\right\}$ . Это возможно именно тогда, когда $H$ является нормальной подгруппой, см. ниже. Подгруппа $N$ группы $G$ нормально тогда и только тогда, когда выполнено равенство смежных классов $aN=Na$ держится для всех $a\in G$ . Обычная подгруппа $G$ обозначается $N$ .

Определение [ править ]

Позволять $N$ быть нормальной подгруппой группы $G$ . Определите набор $G\,/\,N$ быть множеством всех левых смежных классов $N$ в $G$ . То есть, $G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}$ .

Поскольку элемент идентичности $e\in N$ , $a\in aN$ . Определите бинарную операцию над множеством смежных классов, $G\,/\,N$ , следующее. Для каждого $aN$ и $bN$ в $G\,/\,N$ , продукт $aN$ и $bN$ , $(aN)(bN)$ , является $(ab)N$ . Это работает только потому, что $(ab)N$ не зависит от выбора представителей, $a$ и $b$ , каждого левого смежного класса, $aN$ и $bN$ . Чтобы доказать это, предположим $xN=aN$ и $yN=bN$ для некоторых $x,y,a,b\in G$ . Затем

{\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}

.

Это зависит от того, что $N$ это нормальная подгруппа. Осталось еще показать, что это условие не только достаточно, но и необходимо для определения операции над $G\,/\,N$ .

Чтобы показать, что это необходимо, рассмотрим, что для подгруппы $N$ из $G$ , нам дано, что операция корректно определена. То есть для всех $xN=aN$ и $yN=bN$ для $x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N$ .

Позволять $n\in N$ и $g\in G$ . С $eN=nN$ , у нас есть $gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N$ .

Сейчас, $gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N$ и $g\in G$ .

Следовательно $N$ является нормальной подгруппой $G$ .

Также можно проверить, что эта операция на $G\,/\,N$ всегда ассоциативен, $G\,/\,N$ имеет идентификационный элемент $N$ и обратный элемент $aN$ всегда может быть представлено $a^{-1}N$ . Следовательно, набор $G\,/\,N$ вместе с операцией, определенной $(aN)(bN)=(ab)N$ образует группу, факторгруппу $G$ к $N$ .

В силу нормальности $N$ , левые и правые классы $N$ в $G$ одинаковы, и поэтому, $G\,/\,N$ можно было бы определить как набор правых смежных классов $N$ в $G$ .

Пример: Сложение по модулю 6 [ править ]

Например, рассмотрим группу со сложением по модулю 6: $G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$ . Рассмотрим подгруппу $N=\left\{0,3\right\}$ , что нормально, потому что $G$ является абелевым . Тогда набор (левых) смежных классов имеет размер три:

G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}

.

Определенная выше бинарная операция превращает этот набор в группу, известную как факторгруппа, которая в данном случае изоморфна циклической группе порядка 3.

Мотивация названия «частное» [ править ]

Причина $G\,/\,N$ называется факторгруппой, происходит от деления целых чисел . При делении 12 на 3 получается ответ 4, поскольку можно перегруппировать 12 объектов в 4 подколлекции по 3 объекта. Факторгруппа — та же идея, хотя в итоге мы получаем группу для окончательного ответа вместо числа, поскольку группы имеют больше структуры, чем произвольный набор объектов. ^{[ нужна цитата ]}

Чтобы уточнить, при взгляде на $G\,/\,N$ с $N$ нормальная подгруппа $G$ , групповая структура используется для формирования естественной «перегруппировки». Это смежные классы $N$ в $G$ . Поскольку мы начали с группы и нормальной подгруппы, итоговое частное содержит больше информации, чем просто количество смежных классов (что дает регулярное деление), но вместо этого имеет саму групповую структуру.

Примеры [ править ]

Четные и нечетные целые числа [ править ]

Рассмотрим группу целых чисел $\mathbb {Z}$ (в дополнении) и подгруппа $2\mathbb {Z}$ состоящее из всех четных целых чисел. Это нормальная подгруппа, потому что $\mathbb {Z}$ является абелевым . Есть только два смежных класса: набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, и, следовательно, факторгруппа $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ — циклическая группа из двух элементов. Эта факторгруппа изоморфна множеству $\left\{0,1\right\}$ со сложением по модулю 2; неофициально иногда говорят, что $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ равно множеству $\left\{0,1\right\}$ со сложением по модулю 2.

Пример далее объяснен...

Позволять

\gamma (m)

быть остатками

m\in \mathbb {Z}

при делении на

2

. Затем,

\gamma (m)=0

когда

m

четный и

\gamma (m)=1

когда

m

странно.

По определению

\gamma

, ядро

\gamma

,

\ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}

, представляет собой набор всех четных целых чисел.

Позволять

H=\ker(\gamma )

. Затем,

H

является подгруппой, поскольку тождество в

\mathbb {Z}

, который

0

, в

H

, сумма двух четных целых чисел четна и, следовательно, если

m

и

n

находятся в

H

,

m+n

в

H

(закрытие) и если

m

даже,

-m

тоже четно и так

H

содержит свои обратные.

Определять

\mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}

как

\mu (aH)=\gamma (a)

для

a\in \mathbb {Z}

и

\mathbb {Z} /H

– факторгруппа левых смежных классов;

\mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}

.

Обратите внимание, что мы определили

\mu

,

\mu (aH)

является

1

если

a

это странно и

0

если

a

даже.

Таким образом,

\mu

является изоморфизмом из

\mathbb {Z} /H

к

\mathrm {Z} _{2}

.

Остатки целочисленного деления [ править ]

Небольшое обобщение последнего примера. Еще раз рассмотрим группу целых чисел $\mathbb {Z}$ под дополнением. Позволять $n$ быть любым положительным целым числом. Мы рассмотрим подгруппу $n\mathbb {Z}$ из $\mathbb {Z}$ состоящий из всех кратных $n$ . Снова $n\mathbb {Z}$ это нормально в $\mathbb {Z}$ потому что $\mathbb {Z}$ является абелевым. Сосеты - это коллекция $\left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}$ . Целое число $k$ принадлежит к классу $r+n\mathbb {Z}$ , где $r$ это остаток при делении $k$ к $n$ . Частное $\mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z}$ можно рассматривать как группу «остатков» по модулю $n$ . Это циклическая группа порядка $n$ .

Комплексные целочисленные корни из 1 [ править ]

Корни двенадцатой степени из единицы , являющиеся точками на комплексной единичной окружности , образуют мультипликативную абелеву группу. $G$ , показанные на рисунке справа в виде цветных шариков, где число в каждой точке соответствует ее комплексному аргументу. Рассмотрим его подгруппу $N$ состоят из четвертых корней из единицы, показанных в виде красных шариков. Эта нормальная подгруппа разбивает группу на три смежных класса, показанных красным, зеленым и синим цветом. Можно проверить, что смежные классы образуют группу из трех элементов (произведение красного элемента на синий — синий, инверсия синего элемента — зеленый и т. д.). Таким образом, факторгруппа $G\,/\,N$ — это группа трех цветов, которая оказывается циклической группой из трех элементов.

Действительные числа по модулю целых чисел [ править ]

Рассмотрим группу действительных чисел $\mathbb {R}$ в дополнении и подгруппа $\mathbb {Z}$ целых чисел. Каждый смежный класс $\mathbb {Z}$ в $\mathbb {R}$ представляет собой набор вида $a+\mathbb {Z}$ , где $a$ это действительное число. С $a_{1}+\mathbb {Z}$ и $a_{2}+\mathbb {Z}$ являются идентичными множествами, когда части нецелые $a_{1}$ и $a_{2}$ равны, можно наложить ограничение $0\leq a<1$ без изменения смысла. Добавление таких смежных классов осуществляется путем сложения соответствующих действительных чисел и вычитания 1, если результат больше или равен 1. Факторгруппа $\mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z}$ изоморфна группе кругов , группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении или, соответственно, группе вращений в 2D вокруг начала координат, то есть специальной ортогональной группе $\mathrm {SO} (2)$ . Изоморфизм задается формулой $f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)$ (см. тождество Эйлера ).

Матрицы действительных чисел [ править ]

Если $G$ это группа обратимых $3\times 3$ действительные матрицы и $N$ является подгруппой $3\times 3$ действительные матрицы с определителем 1, тогда $N$ это нормально в $G$ (поскольку оно является ядром детерминантного гомоморфизма ). Классы $N$ являются множествами матриц с данным определителем и, следовательно, $G\,/\,N$ изоморфна мультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Группа $N$ известна как специальная линейная группа $\mathrm {SL} (3)$ .

Целочисленная модульная арифметика [ править ]

Рассмотрим абелеву группу $\mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z}$ (то есть набор $\left\{0,1,2,3\right\}$ со сложением по модулю 4) и ее подгруппа $\left\{0,2\right\}$ . Факторгруппа $\mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}$ является $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$ . Это группа с элементом идентификации $\left\{0,2\right\}$ и групповые операции, такие как $\left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}$ . Обе подгруппы $\left\{0,2\right\}$ и факторгруппа $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$ изоморфны $\mathrm {Z} _{2}$ .

Целочисленное умножение [ править ]

Рассмотрим мультипликативную группу $G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }$ . Набор $N$ из $n$ th остатков является мультипликативной подгруппой, изоморфной $(\mathbb {Z} _{n})^{\times }$ . Затем $N$ это нормально в $G$ и группа факторов $G\,/\,N$ имеет смежные классы $N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N$ . Криптосистема Пайе основана на гипотезе о том, что трудно определить класс случайного элемента $G$ не зная факторизации $n$ .

Свойства [ править ]

Факторгруппа $G\,/\,G$ изоморфна и тривиальной группе (группе с одним элементом) $G\,/\,\left\{e\right\}$ изоморфен $G$ .

Получатель чего -то $G\,/\,N$ , по определению количество элементов, равно $\vert G:N\vert$ , индекс $N$ в $G$ . Если $G$ конечен, индекс также равен порядку $G$ разделенный на порядок $N$ . Набор $G\,/\,N$ может быть конечным, хотя оба $G$ и $N$ бесконечны (например, $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ ).

Существует «естественный» гомоморфизм сюръективной группы. $\pi :G\rightarrow G\,/\,N$ , отправляя каждый элемент $g$ из $G$ к смежному классу $N$ которому $g$ принадлежит, то есть: $\pi (g)=gN$ . Отображение $\pi$ иногда называют канонической проекцией $G$ на $G\,/\,N$ . Его ядро $N$ .

Между подгруппами группы существует биективное соответствие. $G$ которые содержат $N$ и подгруппы $G\,/\,N$ ; если $H$ является подгруппой $G$ содержащий $N$ , то соответствующая подгруппа $G\,/\,N$ является $\pi (H)$ . Это соответствие справедливо для нормальных подгрупп группы $G$ и $G\,/\,N$ а также формализована в решеточной теореме .

Некоторые важные свойства факторгрупп записаны в фундаментальной теореме о гомоморфизмах и теоремах об изоморфизме .

Если $G$ является абелевой , нильпотентной , разрешимой , циклической или конечно порожденной , то также $G\,/\,N$ .

Если $H$ является подгруппой в конечной группе $G$ , и порядок $H$ составляет половину порядка $G$ , затем $H$ гарантированно будет нормальной подгруппой, поэтому $G\,/\,H$ существует и изоморфен $\mathrm {C} _{2}$ . Этот результат также можно сформулировать как «любая подгруппа индекса 2 нормальна», и в этой форме он применим и к бесконечным группам. Кроме того, если $p$ — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы, $G$ , то если $G\,/\,H$ имеет порядок $p$ , $H$ должна быть нормальной подгруппой $G$ . ^[1]

Данный $G$ и нормальная подгруппа $N$ , затем $G$ является групповым расширением $G\,/\,N$ к $N$ . Можно задаться вопросом, является ли это расширение тривиальным или расщепленным; другими словами, можно было бы спросить, является ли $G$ является прямым или полупрямым продуктом $N$ и $G\,/\,N$ . Это частный случай проблемы расширения . Пример, когда расширение не разбивается, выглядит следующим образом: Пусть $G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}$ , и $N=\left\{0,2\right\}$ , который изоморфен $\mathrm {Z} _{2}$ . Затем $G\,/\,N$ также изоморфен $\mathrm {Z} _{2}$ . Но $\mathrm {Z} _{2}$ имеет только тривиальный автоморфизм , поэтому единственное полупрямое произведение $N$ и $G\,/\,N$ является прямым продуктом. С $\mathrm {Z} _{4}$ отличается от $\mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}$ , мы заключаем, что $G$ не является полупрямым продуктом $N$ и $G\,/\,N$ .

Частные групп Ли [ править ]

Если $G$ является группой Ли и $N$ — нормальная и замкнутая (в топологическом, а не в алгебраическом смысле слова) подгруппа Ли группы $G$ , частное $G\,/\,N$ также является группой Ли. В этом случае исходная группа $G$ имеет структуру расслоения ( в частности, главного $N$ -bundle ), с базовым пространством $G\,/\,N$ и волокно $N$ . Размерность $G\,/\,N$ равно $\dim G-\dim N$ . ^[2]

Обратите внимание, что условие, $N$ закрыто необходимо. Действительно, если $N$ не замкнуто, то фактор-пространство не является T1-пространством (поскольку в фактор-пространстве существует смежный класс, который не может быть отделен от единицы открытым множеством) и, следовательно, не является хаусдорфовым пространством .

Для ненормальной подгруппы Ли $N$ , космос $G\,/\,N$ левых смежных классов не является группой, а просто дифференцируемым многообразием , на котором $G$ действует. Результат известен как однородное пространство .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Даммит и Фут (2003 , стр. 120)
^ Джон М. Ли, Введение в гладкие многообразия, второе издание, теорема 21.17

Ссылки [ править ]

Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-43334-7
Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-02371-Х

[1] Даммит и Фут (2003 , стр. 120)

[2] Джон М. Ли, Введение в гладкие многообразия, второе издание, теорема 21.17

[1]

[2]