Факторная группа

Фактор -группа или фактор-группа — это математическая группа, полученная путем агрегирования аналогичных элементов более крупной группы с использованием отношения эквивалентности , которое сохраняет некоторую часть структуры группы (остальная часть структуры «выбрасывается»). Например, циклическую группу сложения по модулю n можно получить из складываемой группы целых чисел путем идентификации элементов, которые отличаются кратно $n$ и определение групповой структуры, которая работает с каждым таким классом (известным как класс конгруэнтности ) как с единым объектом. Это часть математической области, известной как теория групп .

Для отношения конгруэнции в группе класс эквивалентности единичного элемента всегда является нормальной подгруппой исходной группы, а другие классы эквивалентности являются в точности смежными классами этой нормальной подгруппы. Полученное частное записывается $G\,/\,N$, где $G$ это исходная группа и $N$ это нормальная подгруппа. (Это произносится $G{\bmod {N}}$, где ${\mbox{mod}}$ это сокращение от modulo .)

Большая часть важности факторгрупп вытекает из их связи с гомоморфизмами . Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ любой группы G при гомоморфизме всегда изоморфен фактору $G$. В частности, образ $G$ при гомоморфизме $\varphi :G\rightarrow H$ изоморфен $G\,/\,\ker(\varphi )$ где $\ker(\varphi )$ обозначает ядро ​ $\varphi$.

Двойственное , это два основных понятие факторгруппы — это подгруппа способа образования меньшей группы из большей. Любая нормальная подгруппа имеет соответствующую факторгруппу, образованную из большей группы путем устранения различия между элементами подгруппы. В теории категорий факторгруппы являются примерами , которые двойственны подобъектам факторобъектов .

Другие примеры факторобъектов см. в разделах Фактор-кольцо , Фактор-пространство (линейная алгебра) , Фактор-пространство (топология) и Фактор-множество .

Определение и иллюстрация

Учитывая группу $G$ и подгруппа $H$и фиксированный элемент $a\in G$, можно рассмотреть соответствующий левый смежный класс : $aH:=\left\{ah:h\in H\right\}$. Классы смежности — это естественный класс подмножеств группы; например, рассмотрим абелеву группу G целых чисел с операцией , определяемой обычным сложением, и подгруппу $H$ из четных целых чисел. Тогда существует ровно два смежных класса: $0+H$, которые являются четными целыми числами, и $1+H$, которые являются нечетными целыми числами (здесь мы используем аддитивную запись для бинарной операции вместо мультипликативной записи).

Для общей подгруппы $H$желательно определить совместимую групповую операцию на множестве всех возможных смежных классов, $\left\{aH:a\in G\right\}$. Это возможно именно тогда, когда $H$ является нормальной подгруппой, см. ниже. Подгруппа $N$ группы $G$ нормально тогда и только тогда, когда выполнено равенство смежных классов $aN=Na$ держится для всех $a\in G$. Обычная подгруппа $G$ обозначается $N$.

Определение

Позволять $N$ быть нормальной подгруппой группы $G$. Определите набор $G\,/\,N$ быть множеством всех левых смежных классов $N$ в $G$. То есть, $G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}$.

Поскольку элемент идентичности $e\in N$, $a\in aN$. Определите бинарную операцию над множеством смежных классов, $G\,/\,N$, следующее. Для каждого $aN$ и $bN$ в $G\,/\,N$, продукт $aN$ и $bN$, $(aN)(bN)$, является $(ab)N$. Это работает только потому, что $(ab)N$ не зависит от выбора представителей, $a$ и $b$, каждого левого смежного класса, $aN$ и $bN$. Чтобы доказать это, предположим $xN=aN$ и $yN=bN$ для некоторых $x,y,a,b\in G$. Затем

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$.

Это зависит от того, что $N$ это нормальная подгруппа. Осталось еще показать, что это условие не только достаточно, но и необходимо для определения операции над $G\,/\,N$.

Чтобы показать, что это необходимо, рассмотрим, что для подгруппы $N$ из $G$, нам дано, что операция корректно определена. То есть для всех $xN=aN$ и $yN=bN$ для $x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N$.

Позволять $n\in N$ и $g\in G$. С $eN=nN$, у нас есть $gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N$.

Сейчас, $gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N$ и $g\in G$.

Следовательно $N$ является нормальной подгруппой $G$.

Также можно проверить, что эта операция на $G\,/\,N$ всегда ассоциативен, $G\,/\,N$ имеет идентификационный элемент $N$и обратный элемент $aN$ всегда может быть представлено $a^{-1}N$. Следовательно, набор $G\,/\,N$ вместе с операцией, определенной $(aN)(bN)=(ab)N$ образует группу, факторгруппу $G$ к $N$.

В силу нормальности $N$, левые и правые классы $N$ в $G$ одинаковы, и поэтому, $G\,/\,N$ можно было бы определить как набор правых смежных классов $N$ в $G$.

Пример: Сложение по модулю 6

Например, рассмотрим группу со сложением по модулю 6: $G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$. Рассмотрим подгруппу $N=\left\{0,3\right\}$, что нормально, потому что $G$ является абелевым . Тогда набор (левых) смежных классов имеет размер три:

$G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}$.

Определенная выше бинарная операция превращает этот набор в группу, известную как факторгруппа, которая в данном случае изоморфна циклической группе порядка 3.

Мотивация названия «частное»

Причина $G\,/\,N$ называется факторгруппой, происходит от деления целых чисел . При делении 12 на 3 получается ответ 4, поскольку можно перегруппировать 12 объектов в 4 подколлекции по 3 объекта. Факторгруппа — та же идея, хотя в итоге мы получаем группу для окончательного ответа вместо числа, потому что группы имеют больше структуры, чем произвольный набор объектов.

Чтобы уточнить, при взгляде на $G\,/\,N$ с $N$ нормальная подгруппа $G$, групповая структура используется для формирования естественной «перегруппировки». Это смежные классы $N$ в $G$. Поскольку мы начали с группы и нормальной подгруппы, итоговое частное содержит больше информации, чем просто количество смежных классов (что дает регулярное деление), но вместо этого имеет саму групповую структуру.

Примеры

Четные и нечетные целые числа

Рассмотрим группу целых чисел $\mathbb {Z}$ (в дополнении) и подгруппа $2\mathbb {Z}$ состоящее из всех четных целых чисел. Это нормальная подгруппа, потому что $\mathbb {Z}$ является абелевым . Есть только два смежных класса: набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, и, следовательно, факторгруппа $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ — циклическая группа из двух элементов. Эта факторгруппа изоморфна множеству $\left\{0,1\right\}$ со сложением по модулю 2; неофициально иногда говорят, что $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ равно множеству $\left\{0,1\right\}$ со сложением по модулю 2.

Пример далее объяснен...

Позволять $\gamma (m)$ быть остатками $m\in \mathbb {Z}$ при делении на $2$. Затем, $\gamma (m)=0$ когда $m$ четный и $\gamma (m)=1$ когда $m$ странно.

По определению $\gamma$, ядро $\gamma$, $\ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}$, представляет собой набор всех четных целых чисел.

Позволять $H=\ker(\gamma )$. Затем, $H$ является подгруппой, поскольку тождество в $\mathbb {Z}$, что $0$, находится в $H$, сумма двух четных целых чисел четна и, следовательно, если $m$ и $n$ находятся в $H$, $m+n$ находится в $H$ (закрытие) и если $m$ даже, $-m$ тоже четно и так $H$ содержит свои обратные.

Определять $\mu :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}$ как $\mu (aH)=\gamma (a)$ для $a\in \mathbb {Z}$ и $\mathbb {Z} /H$ – факторгруппа левых смежных классов; $\mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}$.

Обратите внимание, что мы определили $\mu$, $\mu (aH)$ является $1$ если $a$ это странно и $0$ если $a$ четный.

Таким образом, $\mu$ является изоморфизмом из $\mathbb {Z} /H$ к $\mathrm {Z} _{2}$.

Остатки целочисленного деления

Небольшое обобщение последнего примера. Еще раз рассмотрим группу целых чисел $\mathbb {Z}$ под дополнением. Позволять $n$ быть любым положительным целым числом. Мы рассмотрим подгруппу $n\mathbb {Z}$ из $\mathbb {Z}$ состоящий из всех кратных $n$. Снова $n\mathbb {Z}$ это нормально в $\mathbb {Z}$ потому что $\mathbb {Z}$ является абелевым. Сосеты - это коллекция $\left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}$. Целое число $k$ принадлежит к классу $r+n\mathbb {Z}$, где $r$ это остаток при делении $k$ к $n$. Частное $\mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z}$ можно рассматривать как группу «остатков» по ​​модулю $n$. Это циклическая группа порядка $n$.

Комплексные целые корни из 1

Классы корней четвертой степени из единицы N по корням двенадцатой степени из единицы G .

Корни двенадцатой степени из единицы , являющиеся точками на комплексной единичной окружности , образуют мультипликативную абелеву группу. $G$, показанные на рисунке справа в виде цветных шариков, где число в каждой точке соответствует ее комплексному аргументу. Рассмотрим его подгруппу $N$ состоят из четвертых корней из единицы, показанных в виде красных шариков. Эта нормальная подгруппа разбивает группу на три смежных класса, показанных красным, зеленым и синим цветом. Можно проверить, что смежные классы образуют группу из трех элементов (произведение красного элемента на синий — синий, инверсия синего элемента — зеленый и т. д.). Таким образом, факторгруппа $G\,/\,N$ — это группа трех цветов, которая оказывается циклической группой из трех элементов.

Действительные числа по модулю целых чисел

Рассмотрим группу действительных чисел $\mathbb {R}$ в дополнении и подгруппа $\mathbb {Z}$ целых чисел. Каждый смежный класс $\mathbb {Z}$ в $\mathbb {R}$ представляет собой набор вида $a+\mathbb {Z}$, где $a$ это действительное число. С $a_{1}+\mathbb {Z}$ и $a_{2}+\mathbb {Z}$ являются идентичными множествами, когда части нецелые $a_{1}$ и $a_{2}$ равны, можно наложить ограничение $0\leq a<1$ без изменения смысла. Добавление таких смежных классов осуществляется путем сложения соответствующих действительных чисел и вычитания 1, если результат больше или равен 1. Факторгруппа $\mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z}$ изоморфна группе кругов , группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении или, соответственно, группе вращений в 2D вокруг начала координат, то есть специальной ортогональной группе $\mathrm {SO} (2)$. Изоморфизм задается формулой $f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)$ (см. тождество Эйлера ).

Матрицы действительных чисел

Если $G$ это группа обратимых $3\times 3$ действительные матрицы и $N$ является подгруппой $3\times 3$ действительные матрицы с определителем 1, тогда $N$ это нормально в $G$ (поскольку оно является ядром детерминантного гомоморфизма ). Классы $N$ являются множествами матриц с данным определителем и, следовательно, $G\,/\,N$ изоморфна мультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Группа $N$ известна как специальная линейная группа $\mathrm {SL} (3)$.

Целочисленная модульная арифметика

Рассмотрим абелеву группу $\mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z}$ (то есть набор $\left\{0,1,2,3\right\}$ со сложением по модулю 4) и ее подгруппа $\left\{0,2\right\}$. Факторгруппа $\mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}$ является $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$. Это группа с элементом идентификации $\left\{0,2\right\}$и групповые операции, такие как $\left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}$. Обе подгруппы $\left\{0,2\right\}$ и факторгруппа $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$ изоморфны $\mathrm {Z} _{2}$.

Целочисленное умножение

Рассмотрим мультипликативную группу $G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }$. Набор $N$ из $n$th остатков является мультипликативной подгруппой, изоморфной $(\mathbb {Z} _{n})^{\times }$. Затем $N$ это нормально в $G$ и группа факторов $G\,/\,N$ имеет смежные классы $N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N$. Криптосистема Пайе основана на гипотезе о том, что трудно определить класс случайного элемента $G$ не зная факторизации $n$.

Свойства

Факторгруппа $G\,/\,G$ изоморфна и ( тривиальной группе группе с одним элементом) $G\,/\,\left\{e\right\}$ изоморфен $G$.

Порядок ​ ​ $G\,/\,N$, по определению количество элементов, равно $\vert G:N\vert$, индекс ​ $N$ в $G$. Если $G$ конечен, индекс также равен порядку $G$ разделенный на порядок $N$. Набор $G\,/\,N$ может быть конечным, хотя оба $G$ и $N$ бесконечны (например, $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$).

Существует «естественный» гомоморфизм сюръективной группы . $\pi :G\rightarrow G\,/\,N$, отправляя каждый элемент $g$ из $G$ к смежному классу $N$ к которому $g$ принадлежит, то есть: $\pi (g)=gN$. Отображение $\pi$ иногда называют канонической проекцией $G$ на $G\,/\,N$. Его ядро ​ $N$.

Между подгруппами группы существует биективное соответствие. $G$ которые содержат $N$ и подгруппы $G\,/\,N$; если $H$ является подгруппой $G$ содержащий $N$, то соответствующая подгруппа $G\,/\,N$ является $\pi (H)$. Это соответствие справедливо для нормальных подгрупп группы $G$ и $G\,/\,N$ а также формализована в решеточной теореме .

Некоторые важные свойства факторгрупп записаны в фундаментальной теореме о гомоморфизмах и теоремах об изоморфизме .

Если $G$ является абелевой , нильпотентной , разрешимой , циклической или конечно порожденной , то также $G\,/\,N$.

Если $H$ является подгруппой в конечной группе $G$, и порядок $H$ составляет половину порядка $G$, затем $H$ гарантированно будет нормальной подгруппой, поэтому $G\,/\,H$ существует и изоморфен $\mathrm {C} _{2}$. Этот результат также можно сформулировать как «любая подгруппа индекса 2 нормальна», и в этой форме он применим и к бесконечным группам. Кроме того, если $p$ — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы, $G$, то если $G\,/\,H$ имеет порядок $p$, $H$ должна быть нормальной подгруппой $G$.

Данный $G$ и нормальная подгруппа $N$, затем $G$ является групповым расширением $G\,/\,N$ к $N$. Можно задаться вопросом, является ли это расширение тривиальным или расщепленным; другими словами, можно было бы спросить, является ли $G$ является прямым или полупрямым продуктом $N$ и $G\,/\,N$. Это частный случай проблемы расширения . Пример, когда расширение не разбивается, выглядит следующим образом: Пусть $G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}$, и $N=\left\{0,2\right\}$, который изоморфен $\mathrm {Z} _{2}$. Затем $G\,/\,N$ также изоморфен $\mathrm {Z} _{2}$. Но $\mathrm {Z} _{2}$ имеет только тривиальный автоморфизм , поэтому единственное полупрямое произведение $N$ и $G\,/\,N$ является прямым продуктом. С $\mathrm {Z} _{4}$ отличается от $\mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}$, мы заключаем, что $G$ не является полупрямым продуктом $N$ и $G\,/\,N$.

Частные групп Ли

Если $G$ является группой Ли и $N$ — нормальная и замкнутая (в топологическом, а не в алгебраическом смысле слова) подгруппа Ли группы $G$, частное $G\,/\,N$ также является группой Ли. В этом случае исходная группа $G$ имеет структуру расслоения ( в частности, главного $N$-bundle ), с базовым пространством $G\,/\,N$ и волокно $N$. Размерность $G\,/\,N$ равно $\dim G-\dim N$.

Обратите внимание, что условие, $N$ закрыто необходимо. Действительно, если $N$ не замкнуто, то фактор-пространство не является T1-пространством (поскольку в фактор-пространстве существует смежный класс, который не может быть отделен от единицы открытым множеством) и, следовательно, не является хаусдорфовым пространством .

Для ненормальной подгруппы Ли $N$, пространство $G\,/\,N$ левых смежных классов не является группой, а просто дифференцируемым многообразием , на котором $G$ действует. Результат известен как однородное пространство .

См. также

• Расширение группы
• Категория фактора
• Короткая точная последовательность

Ссылки

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2003), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  978-0-471-43334-7
• Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-02371-Х