Прямая сумма групп

В математике группа . G называется прямой суммой ^[1]^[2] двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением, если оно порождается подгруппами. В абстрактной алгебре этот метод построения групп можно обобщить на прямые суммы векторных пространств , модулей и других структур; см. в статье Прямая сумма модулей дополнительную информацию . Группа, которую можно выразить в виде прямой суммы нетривиальных подгрупп, называется разложимой , а если группу невозможно выразить в виде такой прямой суммы, то она называется неразложимой .

Определение [ править ]

Группа G суммой называется прямой ^[1]^[2] двух подгрупп H ₁ и H _2, если

каждая H ₁ и H ₂ являются нормальными подгруппами группы G ,
подгруппы H ₁ и H ₂ имеют тривиальное пересечение (т. е. имеют только единичный элемент $e$ G в общем),
г знак равно ⟨ ЧАС ₁ , ЧАС ₂ ⟩; другими словами, G порождается подгруппами H ₁ и H ₂ .

В более общем смысле G называется прямой суммой конечного набора подгрупп { H _i }, если

каждая H _i является нормальной G подгруппой ,
каждая H _i имеет тривиальное пересечение с подгруппой ⟨{ H _j : j ≠ i }⟩ ,
G знак равно ⟨{ ЧАС _} ⟩; другими словами, G порождается H подгруппами { i _} .

Если G — прямая сумма подгрупп H и K, то мы пишем G = H + K , а если G — прямая сумма множества подгрупп { H _i }, то мы часто пишем G = Σ H _i . Грубо говоря, прямая сумма изоморфна слабому прямому произведению подгрупп.

Свойства [ править ]

Если G = H + K , то можно доказать, что:

для всех h в H и k в K имеем h ∗ k = k ∗ h
для всех g в G существуют единственные h в H , k в K такие, что g = h ∗ k
Происходит сокращение суммы в частном; так что ( H + K )/ K изоморфно H

Приведенные выше утверждения можно обобщить на случай G = Σ H _i , где { H _i } — конечное множество подгрупп:

если i ≠ j , то для всех h _i в H _i , h _j в H _j мы имеем, что h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i
для каждого g в G существует уникальный набор элементов h _i в H _i такой, что

г знак равно час ₁ * час ₂ * ... * час _я * ... * час _п

Происходит сокращение суммы в частном; так что ((Σ H _i ) + K )/ K изоморфно Σ H _i .

Обратите внимание на сходство с прямым произведением , где каждый g может быть выражен однозначно как

грамм знак равно ( час ₁ , час ₂ , ..., час _я , ..., час _п ).

Поскольку h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _i для всех i ≠ j , отсюда следует, что умножение элементов в прямой сумме изоморфно умножению соответствующих элементов в прямом произведении; таким образом, для конечных наборов подгрупп Σ H _i изоморфно прямому произведению ×{ H _i }.

Прямое слагаемое [ править ]

Учитывая группу $G$ , мы говорим, что подгруппа $H$ является прямым слагаемым $G$ если существует другая подгруппа $K$ из $G$ такой, что $G=H+K$ .

В абелевых группах, если $H$ является делимой подгруппой $G$ , затем $H$ является прямым слагаемым $G$ .

Примеры [ править ]

Если мы возьмем ${\textstyle G=\prod _{i\in I}H_{i}}$ ясно, что $G$ является прямым произведением подгрупп ${\textstyle H_{i_{0}}\times \prod _{i\not =i_{0}}H_{i}}$ .

Если $H$ является делимой подгруппой абелевой группы $G$ тогда существует еще одна подгруппа $K$ из $G$ такой, что $G=K+H$ .
Если $G$ также имеет структуру векторного пространства, тогда $G$ можно записать в виде прямой суммы $\mathbb {R}$ и еще одно подпространство $K$ которое будет изоморфно фактору $G/K$ .

Эквивалентность разложений в прямые суммы [ править ]

При разложении конечной группы в прямую сумму неразложимых подгрупп вложение подгрупп неоднозначно. Например, в группе Клейна $V_{4}\cong C_{2}\times C_{2}$ у нас есть это

V_{4}=\langle (0,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle ,

и

V_{4}=\langle (1,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle .

Однако теорема Ремака-Крулля-Шмидта утверждает, что для конечной группы G = Σ A _i = Σ B _j , где каждый A _i и каждый B _j нетривиальны и неразложимы, две суммы имеют равные члены с точностью до переупорядочения и изоморфизм.

Теорема Ремака-Крулля-Шмидта неверна для бесконечных групп; поэтому в случае бесконечного G = H + K = L + M , даже когда все подгруппы нетривиальны и неразложимы, мы не можем заключить, что изоморфна ни L , ни M. H

Обобщение сумм по бесконечным множествам [ править ]

Чтобы описать вышеуказанные свойства в случае, когда G является прямой суммой бесконечного (возможно, несчетного) набора подгрупп, требуется больше внимания.

Если g — элемент декартова произведения Π{ H _i } набора групп, пусть g _i — i- й элемент g в произведении. Внешняя прямая сумма набора групп { H _i } (записанного как Σ _E { H _i }) — это подмножество Π { H _i }, где для каждого элемента g из Σ _E { H _i } g _i есть личность $e_{H_{i}}$ кроме конечного числа gi _{для всех ,} (эквивалентно, только конечное число gi _. не является тождественным) Групповая операция во внешней прямой сумме представляет собой поточечное умножение, как и в обычном прямом произведении.

Это подмножество действительно образует группу, и для конечного набора групп { H _i } внешняя прямая сумма равна прямому произведению.

Если G = ΣHi _, то G изоморфен _ΣE { Hi _} . Таким образом, в некотором смысле прямая сумма является «внутренней» внешней прямой суммой. Для каждого элемента g в G существует единственное конечное множество S и единственное множество { h _i ∈ H _i : i ∈ S } такие, что g = Π { h _i : i in S }.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гомология. Сондерс Маклейн. Шпрингер, Берлин; Академик Пресс, Нью-Йорк, 1963.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ласло Фукс. Бесконечные абелевы группы

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гомология. Сондерс Маклейн. Шпрингер, Берлин; Академик Пресс, Нью-Йорк, 1963.

[:1-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ласло Фукс. Бесконечные абелевы группы

[1]

[2]