Группа петель

Информацию о группах актеров, участвующих в перезаписи диалогов фильма во время постобработки (широко известных в индустрии развлечений как «циклические группы»), см. в разделе Дубляж (кинопроизводство) .

В математике группа петель не путать с петлей ) — это группа петель ( в топологической группе G с умножением, определенным поточечно .

Определение

В наиболее общей форме группа петель — это группа непрерывных отображений многообразия M в группу G. топологическую

Более конкретно, пусть М = S ¹ , окружность в комплексной плоскости , и пусть LG обозначает пространство непрерывных отображений S ¹ → G , т.е.

$LG=\{\gamma :S^{1}\to G|\gamma \in C(S^{1},G)\},$

оснащен топологией «компактно-открытый» . Элемент LG называется петлей в G. ​ Поточечное умножение таких петель дает LG структуру топологической группы. Параметризация S ¹ с θ ,

$\gamma :\theta \in S^{1}\mapsto \gamma (\theta )\in G,$

и определим умножение в LG на

$(\gamma _{1}\gamma _{2})(\theta )\equiv \gamma _{1}(\theta )\gamma _{2}(\theta ).$

Ассоциативность следует из ассоциативности G. в Обратное имеет вид

$\gamma ^{-1}:\gamma ^{-1}(\theta )\equiv \gamma (\theta )^{-1},$

и личность по

$e:\theta \mapsto e\in G.$

Пространство LG называется группой свободных петель на G . Группа петель — это любая подгруппа группы свободных петель LG .

Примеры

Важным примером группы циклов является группа

$\Omega G\,$

основанных циклов на G . Он определяется как ядро ​​оценочной карты.

$e_{1}:LG\to G,\gamma \mapsto \gamma (1)$,

и, следовательно, является замкнутой нормальной подгруппой в LG . (Здесь e ₁ — это карта, которая отправляет цикл к своему значению в точке $1\in S^{1}$.) Обратите внимание, что мы можем вложить G в LG как подгруппу постоянных петель. Следовательно, мы приходим к расщепляемой точной последовательности

$1\to \Omega G\to LG\to G\to 1$.

Пространство LG делится как полупрямой продукт ,

$LG=\Omega G\rtimes G$.

Мы также можем думать о Ω G как о пространстве петель на G . С этой точки зрения Ω G является H-пространством относительно конкатенации петель. На первый взгляд кажется, что это дает Ω G две совершенно разные карты продуктов. Однако можно показать, что конкатенация и поточечное умножение гомотопны . Таким образом, в терминах гомотопической теории Ω G эти отображения взаимозаменяемы.

Группы петель использовались для объяснения явления преобразований Беклунда в солитонных уравнениях Чу-Лиан Тернг и Карен Уленбек .

Ссылки

• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А. (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер; APE Тен Кроуд (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82836-1 – через ScienceDirect .
• Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986), Группы циклов , Оксфордские математические монографии. Oxford Science Publications, Нью-Йорк: Oxford University Press , ISBN  978-0-19-853535-5 , МР   0900587

См. также

• Циклическое пространство
• Петлевая алгебра
• Квазигруппа