H-пространство
В математике H -пространство [1] представляет собой гомотопическую версию обобщения понятия топологической группы аксиомы ассоциативности и обратных значений , в которой удалены .
Определение [ править ]
H-пространство состоит из топологического пространства X вместе с элементом e из X и непрерывного отображения µ : X × X → X , такого, что µ( e , e ) = e и отображения x ↦ µ( x , e ) и x ↦ µ( e , x ) гомотопны отправляющих тождественному отображению посредством отображений, e в e . [2] Это можно рассматривать как точечное топологическое пространство вместе с непрерывным умножением, для которого базовая точка является единичным элементом с точностью до гомотопии, сохраняющей базовую точку.
Говорят, что топологическое пространство X является H-пространством, если существуют e и µ такие, что тройка ( X , e , µ) является H-пространством, как в приведенном выше определении. [3] В качестве альтернативы, H-пространство может быть определено без требования, чтобы гомотопии фиксировали базовую точку e , или требуя, чтобы e было точной идентичностью, без какого-либо рассмотрения гомотопии. [4] В случае комплекса CW все три этих определения фактически эквивалентны. [5]
Примеры и свойства [ править ]
Стандартное определение фундаментальной группы вместе с тем фактом, что это группа, можно перефразировать так: пространство петель точечного топологического пространства имеет структуру H-группы, снабженную стандартными операциями конкатенации и инверсия. [6] Более того, непрерывное отображение точечного топологического пространства, сохраняющее базовую точку, индуцирует H-гомоморфизм соответствующих пространств петель; это отражает групповой гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный непрерывным отображением. [7]
Непосредственно проверяется, что при заданной гомотопической эквивалентности H-пространства точечному топологическому пространству существует естественная структура H-пространства на последнем пространстве. [8] Таким образом, существование структуры H-пространства в данном пространстве зависит только от типа указанной гомотопии.
Мультипликативная структура H-пространства добавляет структуру его группам гомологий и когомологий . Например, кольцо когомологий линейно -связного H-пространства с конечно порожденными и свободными группами когомологий является алгеброй Хопфа . [9] Также можно определить произведение Понтрягина на группах гомологии H-пространства. [10]
Фундаментальная группа H-пространства абелева . Чтобы убедиться в этом, пусть X — H-пространство с единицей e , а f и g — петли в точке e . Определим отображение F : [0,1] × [0,1] → X равенством F ( a , b ) = f ( a ) g ( b ). Тогда F ( a ,0) = F ( a ,1) = f ( a ) e гомотопно f , и F (0, b ) = F (1, b ) = eg ( b ) гомотопно g . Ясно, как определить гомотопию из [ f ][ g ] в [ g ][ f ].
Одна теорема Адамса об инварианте Хопфа , названная в честь Фрэнка Адамса , утверждает, что S 0 , С 1 , С 3 , С 7 — единственные сферы , которые являются H-пространствами. Каждое из этих пространств образует H-пространство, рассматривая его как подмножество элементов нормы один вещественных чисел , комплексов , кватернионов и октонионов соответственно и используя операции умножения из этих алгебр. факту По 0 , С 1 и С 3 являются группами ( группами Ли ) с этими умножениями. Но С 7 не является группой в этом смысле, поскольку умножение октонионов не является ассоциативным, и ему нельзя задать какое-либо другое непрерывное умножение, для которого оно является группой.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ H в H-пространстве был предложен Жан-Пьером Серром в знак признания влияния, оказанного на эту тему Хайнцем Хопфом (см. JR Hubbuck. «Краткая история H-пространств», История топологии, 1999, стр. 747– 755).
- ^ Испанец стр.34; Свитцер стр.14
- ^ Хэтчер стр.281
- ^ Сташефф (1970), стр.1
- ^ Хэтчер стр.291
- ^ Испанец, стр. 37-39.
- ^ Испанец, стр. 37-39.
- ^ Испанцы, стр. 35-36.
- ^ Хэтчер стр.283
- ^ Хэтчер стр.287
Ссылки [ править ]
- Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-79540-0 . . Раздел 3.С
- Спэньер, Эдвин Х. (1981). Алгебраическая топология (исправленная перепечатка оригинального издания 1966 года). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90646-0 .
- Сташефф, Джеймс Диллон (1963), «Гомотопическая ассоциативность H- пространств. I, II», Transactions of the American Mathematical Society , 108 (2): 275–292, 293–312, doi : 10.2307/1993609 , JSTOR 1993609 , МР 0158400 .
- Сташефф, Джеймс (1970), H-пространства с гомотопической точки зрения , Конспект лекций по математике, том. 161, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag .
- Свитцер, Роберт М. (1975). Алгебраическая топология — гомотопия и гомология . Основные учения математических наук. Том 212. Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag.