Кольцо когомологий

В математике , особенно в алгебраической топологии , кольцо когомологий топологического пространства X представляет собой кольцо, образованное из когомологий групп X вместе с произведением чашки, служащим кольцом умножения. Здесь под когомологиями обычно понимают сингулярные когомологии , но кольцевая структура присутствует и в других теориях, таких как когомологии де Рама . Оно также функториально : для непрерывного отображения пространств получается кольцевой гомоморфизм на кольцах когомологий, который является контравариантным.

В частности, для последовательности групп когомологий H ^к ( X ; R ) на X с коэффициентами в коммутативном кольце R (обычно R - это Z _n , Z , Q , R или C ) можно определить произведение чашки , которое принимает форму

$H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).$

Произведение чашки дает умножение на прямую сумму групп когомологий.

$H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).$

Это умножение превращает H ^• ( X ; R ) в кольцо. Фактически, это, естественно, N - градуированное кольцо которого служит целое неотрицательное число k , степенью . Чашка продукта соответствует этому классу.

Кольцо когомологий градуированно-коммутативно в том смысле, что чашечное произведение коммутирует до знака, определяемого градуировкой. В частности, для чистых элементов степени k и ℓ; у нас есть

$(\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).$

Численный инвариант, полученный из кольца когомологий, — это длина чашки , что означает максимальное количество градуированных элементов степени ≥ 1, которые при умножении дают ненулевой результат. Например, комплексного проективного пространства длина чашки равна его комплексному размеру .

Примеры

• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ где $|\alpha |=1$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]$ где $|\alpha |=1$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ где $|\alpha |=2$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ где $|\alpha |=2$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ где $|\alpha |=4$.
• $\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ где $|\alpha |=4$.
• По формуле Кюннета кольцо когомологий по модулю 2 декартова произведения n копий $\mathbb {R} P^{\infty }$ — кольцо полиномов от n переменных с коэффициентами из $\mathbb {F} _{2}$.
• Приведенное кольцо когомологий клиновых сумм является прямым произведением их приведенных колец когомологий.
• Кольцо когомологий надстроек обращается в нуль, за исключением части степени 0.

См. также

• Квантовые когомологии

Ссылки

• Novikov, S. P. (1996). Topology I, General Survey . Springer-Verlag. ISBN  7-03-016673-6 .
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0 .