Комплексное проективное пространство

Сфера Римана , одномерное комплексное проективное пространство, т.е. комплексная проективная линия .

В математике комплексное проективное пространство — это проективное пространство по отношению к полю комплексных чисел . По аналогии, тогда как точки реального проективного пространства отмечают линии, проходящие через начало реального евклидова пространства , точки комплексного проективного пространства отмечают комплексные линии, проходящие через начало комплексного евклидова пространства ( см. ниже интуитивное объяснение ). . Формально комплексное проективное пространство — это пространство комплексных прямых, проходящих через начало ( n +1)-мерного комплексного векторного пространства . Пространство обозначается по-разному как P ( C ^{п +1} ), P _n ( C ) или CP ^н . Когда n = 1 , комплексное проективное пространство CP ¹ является сферой Римана , а когда n = 2 , CP ² — это комплексная проективная плоскость (более элементарное обсуждение см. там).

Комплексное проективное пространство было впервые введено фон Штаудтом (1860) как пример того, что тогда было известно как «геометрия положения», понятие, первоначально принадлежащее Лазару Карно , своего рода синтетическая геометрия , которая включала также и другие проективные геометрии. Впоследствии, на рубеже 20-го века, итальянской школе алгебраической геометрии стало ясно , что комплексные проективные пространства являются наиболее естественными областями для рассмотрения решений полиномиальных уравнений – алгебраических многообразий ( Grattan-Guinness 2005 , стр. 445). –446). В наше время топология и геометрия сложного проективного пространства хорошо изучены и тесно связаны с геометрией сферы . Действительно, в определенном смысле (2 n +1)-сферу можно рассматривать как семейство окружностей, параметризованное CP ^н : это расслоение Хопфа . Комплексное проективное пространство несет в себе ( кэлерову ) метрику , называемую метрикой Фубини–Студи , в терминах которой оно является эрмитовым симметричным пространством ранга 1.

Комплексное проективное пространство имеет множество приложений как в математике, так и в квантовой физике . В алгебраической геометрии комплексное проективное пространство является домом для проективных многообразий , хорошо управляемого класса алгебраических многообразий . В топологии комплексное проективное пространство играет важную роль как классифицирующее пространство для комплексных линейных расслоений : семейств комплексных прямых, параметризованных другим пространством. В этом контексте бесконечное объединение проективных пространств ( прямой предел ), обозначаемое CP ^∞ , является классифицирующим пространством K(Z,2) . В квантовой физике волновая функция , связанная с чистым состоянием квантово-механической системы, представляет собой амплитуду вероятности , что означает, что она имеет единичную норму и несущественную общую фазу: то есть волновая функция чистого состояния, естественно, является точкой в проективном гильбертовом пространстве пространства состояний.

Введение

Параллельные линии на плоскости пересекаются в точке схода линии, находящейся на бесконечности.

Понятие проективной плоскости возникает из идеи перспективы в геометрии и искусстве: иногда бывает полезно включить в евклидову плоскость дополнительную «воображаемую» линию, которая представляет собой горизонт, который может видеть художник, рисующий плоскость. После каждого направления от начала координат на горизонте есть разные точки, поэтому горизонт можно рассматривать как совокупность всех направлений от начала координат. Евклидову плоскость вместе с ее горизонтом называют действительной проективной плоскостью , а горизонт иногда называют линией, уходящей в бесконечность . По той же конструкции проективные пространства можно рассматривать и в более высоких измерениях. Например, настоящее проективное трехмерное пространство — это евклидово пространство вместе с плоскостью в бесконечности , которая представляет собой горизонт, который мог бы видеть художник (который обязательно должен жить в четырех измерениях).

Эти реальные проективные пространства можно построить несколько более строгим образом следующим образом. Вот пусть Р ^{п +1} обозначаем реальное координатное пространство из n +1 измерений и рассматриваем пейзаж, который нужно нарисовать, как гиперплоскость в этом пространстве. Предположим, что глаз художника — это начало координат в R ^{п +1} . Тогда вдоль каждой линии его глаза проходит точка пейзажа или точка на его горизонте. Таким образом, реальное проективное пространство — это пространство прямых, проходящих через начало координат в R. ^{п +1} . Без привязки к координатам это пространство прямых, проходящих через начало координат, в ( n +1)-мерном реальном векторном пространстве .

Аналогичное описание сложного проективного пространства требует обобщения идеи вектора, линии и направления. Представьте себе, что вместо того, чтобы стоять в реальном евклидовом пространстве, художник стоит в сложном евклидовом пространстве C ^{п +1} (действительная размерность 2 n +2), а ландшафт представляет собой комплексную гиперплоскость (действительную размерность 2 n ). В отличие от реального евклидова пространства, в сложном случае есть направления, в которых может смотреть художник, не видя пейзажа (поскольку он не имеет достаточно высокой размерности). Однако в сложном пространстве существует дополнительная «фаза», связанная с направлениями через точку, и регулируя эту фазу, художник может гарантировать, что он видит пейзаж типично. «Горизонт» тогда представляет собой пространство направлений, но такое, что два направления считаются «одними и теми же», если они отличаются только фазой. Тогда сложное проективное пространство представляет собой пейзаж ( C ^н ) с горизонтом, прикрепленным «на бесконечности». Как и в реальном случае, комплексное проективное пространство — это пространство направлений через начало координат C. ^{п +1} , где два направления считаются одинаковыми, если они отличаются фазой.

Строительство

Комплексное проективное пространство — это комплексное многообразие , которое можно описать n + 1 комплексными координатами как

$Z=(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1},\qquad (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\neq (0,0,\ldots ,0)$

где идентифицируются кортежи, отличающиеся общим масштабированием:

$(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\ldots ,\lambda Z_{n+1});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

То есть это однородные координаты в традиционном понимании проективной геометрии . Набор точек CP ^н покрыт патчами $U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq 0\}$. В U _i можно определить систему координат по

$z_{1}=Z_{1}/Z_{i},\quad z_{2}=Z_{2}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_{i},\quad z_{i}=Z_{i+1}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{n}=Z_{n+1}/Z_{i}.$

Координатные переходы между двумя разными такими картами U _i и U _j являются голоморфными функциями (фактически это дробные линейные преобразования ). Таким образом, CP ^н несет в себе структуру комплексного многообразия комплексной размерности n и тем более структуру вещественного дифференцируемого многообразия вещественной размерности 2 n .

Можно также рассматривать CP ^н как частное единичной 2 n + 1 сферы в C ^{п +1} под действием U(1) :

КП ^н = С ^{2н 1 +} /U(1).

Это потому, что каждая строка в C ^{п +1} пересекает единичную сферу по кругу . Сначала проецируя на единичную сферу, а затем отождествляя под естественным действием U(1), получаем CP ^н . При n = 1 эта конструкция дает классическое расслоение Хопфа $S^{3}\to S^{2}$. С этой точки зрения дифференцируемая структура на CP ^н индуцируется из S ^{2н 1 +} , являющийся фактором последней по компактной группе, действующей правильно.

Топология

Топология CP ^н определяется индуктивно путем следующего разложения ячеек . Пусть H — фиксированная гиперплоскость, проходящая через начало координат в C ^{п +1} . Под картой проекции C ^{п +1} \{0} → КП ^н , H переходит в подпространство, гомеоморфное CP ^{п -1} . Дополнение образа H в CP ^н гомеоморфен C ^н . Таким образом, CP ^н возникает при присоединении 2 n -клетки к CP ^{п -1} :

$\mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {CP} ^{n-1}\cup \mathbf {C} ^{n}.$

В качестве альтернативы, если вместо этого 2 n -ячейка рассматривается как открытый единичный шар в C ^н , то присоединяющее отображение является расслоением границы Хопфа. Аналогичное индуктивное клеточное разложение справедливо для всех проективных пространств; см. ( Бессе, 1978 ).

CW-разложение

Один полезный способ построения сложных проективных пространств. $\mathbf {CP} ^{n}$ осуществляется посредством рекурсивной конструкции с использованием CW-комплексов . Напомним, что существует гомеоморфизм $\mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}$ к 2-сфере, давая первое пространство. Затем мы можем ввести данные в ячейки, чтобы получить карту выталкивания.

$${\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}$$

где $D^{4}$ это четвертый шар, и $S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}$ представляет генератор в $\pi _{3}(S^{2})$ (следовательно, оно гомотопически эквивалентно отображению Хопфа ). Затем мы можем индуктивно построить пространства как диаграммы выталкивания.

$${\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}$$

где $S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}$ представляет собой элемент в

$${\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}$$

Изоморфизм гомотопических групп описан ниже, а изоморфизм гомотопических групп является стандартным вычислением в теории стабильной гомотопии (что можно сделать с помощью спектральной последовательности Серра , теоремы Фрейденталя о подвеске и башни Постникова ). Карта поступает из оптоволокна

$$S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}$$

давая несжимаемое отображение, следовательно, оно представляет генератор в $\mathbb {Z} /2$. В противном случае имела бы место гомотопическая эквивалентность $\mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}$, но тогда это было бы гомотопически эквивалентно $S^{2}$, противоречие, которое можно увидеть, взглянув на гомотопические группы пространства.

Топология набора точек

Комплексное проективное пространство компактно и связно , являясь фактором компактного связного пространства.

Гомотопические группы

Из пучка волокон

$S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$

или более многозначительно

$U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$

КП ^н просто связано . Более того, согласно длинной точной гомотопической последовательности вторая гомотопическая группа равна π ₂ ( CP ^н ) ≅ Z , и все высшие гомотопические группы согласуются с группами S ^{2н 1 +} : π _k ( CP ^н ) ≅ π _k ( S ^{2н 1 +} ) для всех k > 2.

Гомология

В общем, топология CP алгебраическая ^н основан на том, что ранг групп гомологии равен нулю в нечетных измерениях; также H _{2 i} ( CP ^н , Z ) является бесконечной циклической для i знак равно 0 до n . , числа Бетти Следовательно

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

То есть 0 в нечетных измерениях, 1 в четных измерениях от 0 до 2n. Эйлерова характеристика CP ​ ^н следовательно, n + 1. В силу двойственности Пуанкаре то же самое верно и для рангов групп когомологий . В случае когомологий можно пойти дальше и определить градуированную кольцевую структуру для продукта чашки ; генератор H ² ( КП ^н , Z ) — класс, ассоциированный с гиперплоскостью , и это генератор колец, так что кольцо изоморфно

Z [ Т ]/( Т ^{п +1} ),

с T генератором второй степени. Отсюда также следует, что число Ходжа h ^{я , я} = 1, а все остальные равны нулю. См. ( Бессе, 1978 ).

К -теория

следует Из индукции и периодичности Ботта , что

$K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.$

Касательное расслоение удовлетворяет

$T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},$

где $\vartheta ^{1}$ обозначает тривиальное линейное расслоение из последовательности Эйлера . Отсюда классы Чженя и характеристические числа можно явно вычислить .

Классификационное пространство

Есть место $\mathbf {CP} ^{\infty }$ что в некотором смысле является индуктивным пределом $\mathbf {CP} ^{n}$ как $n\to \infty$. Это BU(1) , классифицирующее пространство U (1) , группы окружностей, в смысле теории гомотопии , и таким образом классифицирует комплексные линейные расслоения . Эквивалентно это соответствует первому классу Черна . Это можно увидеть эвристически, посмотрев на карты пучков волокон.

$$S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}$$

и $n\to \infty$. Это дает расслоение расслоений (называемое расслоением универсальных кругов ).

$$S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }$$

строя это пространство. Обратите внимание, что, используя длинную точную последовательность гомотопических групп, мы имеем $\pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})$ следовательно $\mathbf {CP} ^{\infty }$ — пространство Эйленберга–Маклэйна , $K(\mathbb {Z} ,2)$. Благодаря этому факту и теореме Брауна о представимости мы имеем следующий изоморфизм

$$H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]$$

для любого хорошего CW-комплекса $X$. Более того, из теории классов Чженя любое комплексное линейное расслоение $L\to X$ можно представить как откат универсального линейного расслоения на $\mathbf {CP} ^{\infty }$, что означает наличие квадрата отката

$${\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}$$

где ${\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }$ является ассоциированным векторным расслоением принципала $U(1)$-пучок $S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }$. См., например, ( Bott & Tu 1982 ) и ( Milnor & Stasheff 1974 ).

Дифференциальная геометрия

Естественная метрика на CP ^н – метрика Фубини–Студи , а ее голоморфная группа изометрий – проективная унитарная группа PU( n +1), где стабилизатор точки – это

$\mathrm {P} (1\times \mathrm {U} (n))\cong \mathrm {PU} (n).$

Это эрмитово симметричное пространство ( Kobayashi & Nomizu 1996 ), представленное как смежное пространство.

$U(n+1)/(U(1)\times U(n))\cong SU(n+1)/S(U(1)\times U(n)).$

Геодезическая симметрия в точке p — это унитарное преобразование, которое фиксирует p и является отрицательным тождеством ортогонального дополнения к линии, представленной p .

Геодезика

Через любые две точки p , q в комплексном проективном пространстве проходит единственная комплексная прямая ( CP ¹ ). Большой круг этой комплексной линии, содержащий p и q, является геодезической для метрики Фубини–Студи. В частности, все геодезические замкнуты (это окружности) и имеют одинаковую длину. (Это всегда верно для римановых глобально-симметричных пространств ранга 1.)

Разрез p любой точки равен гиперплоскости CP ^{п -1} . Это также набор неподвижных точек геодезической симметрии в точке p (за вычетом самого p ). См. ( Бессе, 1978 ).

Сжатие секционной кривизны

Он имеет секционную кривизну в пределах от 1/4 до 1 и является самым круглым многообразием, которое не является сферой (или не покрыто сферой): по теореме о 1/4-сжатой сфере любое полное односвязное риманово многообразие со строгой кривизной между 1/4 и 1 диффеоморфно сфере. Комплексное проективное пространство показывает, что 1/4 острая. И наоборот, если полное односвязное риманово многообразие имеет секционную кривизну на замкнутом интервале [1/4,1], то оно либо диффеоморфно сфере, либо изометрично комплексному проективному пространству, кватернионному проективному пространству или же Кэли плоскость F ₄ /Spin(9); см. ( Брендл и Шон, 2008 ).

Спиновая структура

Нечетномерным проективным пространствам можно придать спиновую структуру , четномерным — нет.

Алгебраическая геометрия

Комплексное проективное пространство является частным случаем грассманиана и является однородным пространством для различных групп Ли . Это кэлерово многообразие, несущее метрику Фубини–Студи , которая по существу определяется свойствами симметрии. Он также играет центральную роль в алгебраической геометрии ; по теореме Чоу любое компактное комплексное подмногообразие CP ^н является нулевым локусом конечного числа многочленов и, таким образом, является проективным алгебраическим многообразием . См. ( Гриффитс и Харрис, 1994 ).

Топология Зариского

Основная статья: Топология Зариского

В алгебраической геометрии комплексное проективное пространство может быть оснащено другой топологией, известной как топология Зарисского ( Hartshorne 1977 , §II.2). Обозначим через = C [ Z0 , _... , Zn _] S коммутативное кольцо многочленов от ( +1 ) переменных Z0 _, ..., Zn _. n Это кольцо градуируется по общей степени каждого многочлена:

$S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.$

Определите подмножество CP ^н быть замкнутым , если оно представляет собой множество одновременных решений набора однородных полиномов. Объявляя дополнения к замкнутым множествам открытыми, это определяет топологию (топологию Зарисского) на CP. ^н .

Структура как схема

Еще одна конструкция CP ^н (и его топология Зариского) возможна. Пусть S ₊ ⊂ S — идеал , натянутый на однородные многочлены положительной степени:

$\bigoplus _{n>0}S_{n}.$

Определим Proj S как множество всех однородных простых идеалов в S , которые не содержат S ₊ . Назовите подмножество проекта S закрытым, если оно имеет вид

$V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}$

для некоторого идеала I в S . Дополнения к этим замкнутым множествам определяют топологию на Proj S . Кольцо S путем локализации в простом идеале определяет пучок локальных колец на S. Proj Пространство Proj S вместе со своей топологией и пучком локальных колец является схемой . Подмножество замкнутых точек Proj S гомеоморфно CP ^н с его топологией Зарисского. Локальные сечения пучка отождествляются с рациональными функциями полной степени нуль на CP ^н .

Линейные пакеты

Все линейные расслоения в комплексном проективном пространстве можно получить с помощью следующей конструкции. Функция f : C ^{п +1} \{0} → C называется однородным степени k , если

$f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)$

для всех λ ∈ C \{0 } и z ∈ C ^{п +1} \ {0 }. В более общем смысле это определение имеет смысл для конусов в C. ^{п +1} \ {0 }. Множество V ⊂ C ^{п +1} \{0 } называется конусом, если всякий раз, когда v ∈ V , то λv ∈ V для всех λ ∈ C \{0 }; то есть подмножество является конусом, если оно содержит комплексную прямую, проходящую через каждую из своих точек. Если U ⊂ CP ^н — открытое множество (либо в аналитической топологии, либо в топологии Зарисского ), пусть V ⊂ C ^{п +1} \{0 } — конус над U : прообраз U под проекцией C ^{п +1} \{0} → КП ^н . Наконец, для каждого целого числа k пусть O ( k )( U ) будет набором функций, однородных степени k в V . Это определяет пучок секций определенного линейного расслоения, обозначаемый O ( k ).

В частном случае k = −1 расслоение O (−1) называется тавтологическим линейным расслоением . Это эквивалентно определяется как подгруппа продукта

$\mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}$

слой которого над L ∈ CP ^н это набор

$\{(x,L)\mid x\in L\}.$

Эти расслоения также можно описать на языке делителей . Пусть H = CP ^{п -1} — заданная комплексная гиперплоскость в CP ^н . Пространство мероморфных функций на CP ^н с не более чем простым полюсом вдоль H (и нигде больше) является одномерным пространством, обозначаемым O ( H ) и называемым гиперплоским расслоением . Двойственное расслоение обозначается O (− H ), а k ^й тензорная степень O ( H ) обозначается O ( kH ). Это пучок, порожденный голоморфными кратными мероморфной функции с полюсом порядка k вдоль H . Оказывается,

$O(kH)\cong O(k).$

Действительно, если L ( z ) = 0 — линейная определяющая функция для H , то L ^{- к} является мероморфным сечением O ( k ), и локально другие сечения O ( k ) кратны этому сечению.

Поскольку Ч ¹ ( КП ^н , Z ) = 0 линейные расслоения на CP ^н классифицируются с точностью до изоморфизма своими классами Чженя , которые являются целыми числами: они лежат в H ² ( КП ^н , Z ) знак равно Z . Фактически, первые классы Черна комплексного проективного пространства порождены в условиях двойственности Пуанкаре классом гомологий, связанным с гиперплоскостью H . Линейное расслоение O ( kH ) имеет класс Черна k . Следовательно, каждое голоморфное линейное расслоение на CP ^н является тензорной степенью O ( H ) или O (− H ). Другими словами, Пикара CP группа ^н порождается как абелева группа классом гиперплоскости [ H ] ( Hartshorne 1977 ).

См. также

• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Проективное гильбертово пространство
• Кватернионное проективное пространство
• Реальное проективное пространство
• Комплексное аффинное пространство
• поверхность К3

Ссылки

• Бесс, Артур Л. (1978), Многообразия, все геодезические которых закрыты , Результаты по математике и смежным областям, том. 93, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-08158-6 .
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90613-3 .
• Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2008), «Классификация многообразий со слабо защемленной кривизной 1/4», Acta Mathematica , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , doi : 10.1007/s11511-008-0022-7 , S2CID   15463483 .
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2005), Знаковые произведения в западной математике 1640–1940 гг. , Elsevier, ISBN  978-0-444-50871-3 .
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-05059-9 , МР   1288523 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Клингенберг, Вильгельм (1982), Риманова геометрия , Вальтер де Гройтер, ISBN  978-3-11-008673-7 .
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том II , издание Wiley Classics Library, ISBN  978-0-471-15732-8 .
• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Princeton University Press , MR   0440554 .
• фон Штаудт, Карл Георг Кристиан (1860), вклад в геометрию ситуации , Нюрнберг {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .