Линия на бесконечности

«Идеальная линия» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об идеальной траектории в гонках, см. гоночную траекторию .

В геометрии и топологии линия на бесконечности — это проективная линия , которая добавляется к вещественной (аффинной) плоскости , чтобы замкнуть и исключить исключительные случаи из свойств инцидентности полученной проективной плоскости . Бесконечную линию еще называют идеальной линией .

Геометрическая формулировка

В проективной геометрии любая пара прямых всегда пересекается в какой-то точке, но параллельные прямые не пересекаются в реальной плоскости. Линия на бесконечности добавляется к реальной плоскости. Это завершает плоскость, потому что теперь параллельные прямые пересекаются в точке, лежащей на бесконечной прямой. Кроме того, если какая-либо пара прямых не пересекается в какой-либо точке, то эти прямые параллельны.

Каждая линия в какой-то точке пересекает линию, находящуюся на бесконечности. Точка пересечения параллельных прямых зависит только от наклона прямых, а вовсе не от их точки пересечения с осью y .

В аффинной плоскости линия простирается в двух противоположных направлениях. В проективной плоскости два противоположных направления линии встречаются в бесконечной точке линии. Следовательно, прямые на проективной плоскости представляют собой замкнутые кривые , т. е. они цикличны, а не линейны. Это верно и в отношении самой бесконечной линии; он встречается в двух своих конечных точках (которые, следовательно, вообще не являются конечными точками), и поэтому на самом деле он цикличен.

Топологическая

Бесконечную линию можно представить как круг, окружающий аффинную плоскость. Однако диаметрально противоположные точки окружности эквивалентны — это одна и та же точка. Комбинация аффинной плоскости и бесконечной линии образует настоящую проективную плоскость . $\mathbb {R} P^{2}$.

Гиперболу можно рассматривать как замкнутую кривую , пересекающую бесконечную линию в двух разных точках. Эти две точки определяются наклонами двух асимптот гиперболы. Точно так же параболу можно рассматривать как замкнутую кривую, пересекающую бесконечную линию в одной точке. Эта точка определяется наклоном оси параболы. Если парабола разрезается своей вершиной на симметричную пару «рогов», то эти два рога становятся более параллельными друг другу по мере удаления от вершины и фактически параллельны оси и друг другу на бесконечности, так что они пересекаются на бесконечности.

Аналогом комплексной проективной плоскости является бесконечная «линия», которая (естественно) является комплексной проективной линией . Топологически это совсем другое, поскольку это сфера Римана , которая, следовательно, является 2- сферой , добавляемой к комплексному аффинному пространству двух измерений над C (то есть четырем действительным измерениям), в результате чего получается четырехмерное компактное многообразие . Результат ориентируем , а реальная проективная плоскость — нет.

История

Сложная линия на бесконечности широко использовалась в геометрии девятнадцатого века. Фактически, один из наиболее применяемых приемов заключался в том, чтобы рассматривать окружность как конику , вынужденную проходить через две точки на бесконечности.

Икс ² + И ² = 0.

Это уравнение представляет собой форму любого круга, если мы отбрасываем члены более низкого порядка X и Y. из Более формально, мы должны использовать однородные координаты

[ X:Y:Z ]

и обратите внимание, что линия на бесконечности задается установкой

З = 0.

Создание однородных уравнений путем введения степеней Z и последующего установления Z = 0 точно устраняет члены более низкого порядка.

Таким образом, решая уравнение, мы обнаруживаем, что все окружности «проходят» через круговые точки на бесконечности.

I = [1: i :0] и J = [1:− i :0].

Это, конечно, комплексные точки для любого представляющего набора однородных координат. Однако , поскольку проективная плоскость имеет достаточно большую группу симметрии , они ни в чем не являются чем-то особенным. Вывод состоит в том, что трехпараметрическое семейство окружностей можно рассматривать как частный случай линейной системы коник, проходящей через две заданные различные точки P и Q .

См. также

• Эллиптическая геометрия § Эллиптическая плоскость
• Гиперплоскость на бесконечности
• Постулат параллельности
• Самолет в бесконечности
• Точка в бесконечности