Круглые точки на бесконечности
В проективной геометрии круговые точки на бесконечности (также называемые циклическими точками или изотропными точками ) — это две особые точки на бесконечности на комплексной проективной плоскости , которые содержатся в комплексификации каждой реальной окружности .
Координаты
[ редактировать ]Точка комплексной проективной плоскости может быть описана в терминах однородных координат , представляя собой тройку комплексных чисел ( x : y : z ) , где две тройки описывают одну и ту же точку плоскости, когда координаты одной тройки совпадают с координатами одной тройки. у другого, за исключением того, что они умножаются на один и тот же ненулевой коэффициент. В этой системе точками, находящимися на бесконечности, могут быть выбраны те, у которых координата z равна нулю. Две круговые точки на бесконечности — это две из них, которые обычно считаются точками с однородными координатами.
- (1: я: 0) и (1: - я: 0) .
Трилинейные координаты
[ редактировать ]Пусть А. Б. C — размеры углов при вершинах опорного треугольника ABC. Тогда трилинейные координаты круговых точек, находящихся на бесконечности в плоскости опорного треугольника, будут такими, как указано ниже:
или, что то же самое,
или, опять же то же самое,
где . [1]
Комплексифицированные круги
[ редактировать ]Реальный круг, определяемый его центральной точкой ( x 0 , y 0 ) и радиусом r (все три из которых являются действительными числами ), может быть описан как набор действительных решений уравнения
Преобразование этого уравнения в однородное уравнение и взятие набора всех решений комплексных чисел дает комплексификацию круга. Две круговые точки получили свое название потому, что они лежат в комплексе каждой реальной окружности. В более общем смысле обе точки удовлетворяют однородным уравнениям типа
Случай, когда все коэффициенты действительны, дает уравнение общей окружности (вещественной проективной плоскости ). В общем, алгебраическая кривая , проходящая через эти две точки, называется круговой .
Дополнительные свойства
[ редактировать ]Круглые точки на бесконечности — это точки на бесконечности изотропных линий . [2] Они инвариантны относительно перемещений и вращений плоскости.
Понятие угла можно определить с помощью круговых точек, натурального логарифма и перекрестного отношения : [3]
- Угол между двумя линиями представляет собой определенное кратное логарифму поперечного отношения карандаша, образованного двумя линиями и линиями, соединяющими их пересечение с круговыми точками.
Соммервилль настраивает две линии в начале координат как Обозначая круговые точки как ω и ω′, он получает перекрестное отношение
- так что
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Уитворт Уильям Аллен (1866). Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений . Дейтон Белл и компания. п. 127 . Проверено 8 декабря 2021 г.
- ^ CE Springer (1964) Геометрия и анализ проективных пространств , стр. 141, WH Freeman and Company
- ^ Дункан Соммервилл (1914) Элементы неевклидовой геометрии , страница 157, ссылка из Мичиганского университета коллекции исторической математики
- Пьер Самуэль (1988) Проективная геометрия , Springer, раздел 1.6;
- Семпл и Нибоун (1952) Алгебраическая проективная геометрия , Оксфорд, раздел II-8.