Jump to content

Круглые точки на бесконечности

В проективной геометрии круговые точки на бесконечности (также называемые циклическими точками или изотропными точками ) — это две особые точки на бесконечности на комплексной проективной плоскости , которые содержатся в комплексификации каждой реальной окружности .

Координаты

[ редактировать ]

Точка комплексной проективной плоскости может быть описана в терминах однородных координат , представляя собой тройку комплексных чисел ( x : y : z ) , где две тройки описывают одну и ту же точку плоскости, когда координаты одной тройки совпадают с координатами одной тройки. у другого, за исключением того, что они умножаются на один и тот же ненулевой коэффициент. В этой системе точками, находящимися на бесконечности, могут быть выбраны те, у которых координата z равна нулю. Две круговые точки на бесконечности — это две из них, которые обычно считаются точками с однородными координатами.

(1: я: 0) и (1: - я: 0) .

Трилинейные координаты

[ редактировать ]

Пусть А. Б. C — размеры углов при вершинах опорного треугольника ABC. Тогда трилинейные координаты круговых точек, находящихся на бесконечности в плоскости опорного треугольника, будут такими, как указано ниже:

или, что то же самое,

или, опять же то же самое,

где . [1]

Комплексифицированные круги

[ редактировать ]

Реальный круг, определяемый его центральной точкой ( x 0 , y 0 ) и радиусом r (все три из которых являются действительными числами ), может быть описан как набор действительных решений уравнения

Преобразование этого уравнения в однородное уравнение и взятие набора всех решений комплексных чисел дает комплексификацию круга. Две круговые точки получили свое название потому, что они лежат в комплексе каждой реальной окружности. В более общем смысле обе точки удовлетворяют однородным уравнениям типа

Случай, когда все коэффициенты действительны, дает уравнение общей окружности (вещественной проективной плоскости ). В общем, алгебраическая кривая , проходящая через эти две точки, называется круговой .

Дополнительные свойства

[ редактировать ]

Круглые точки на бесконечности — это точки на бесконечности изотропных линий . [2] Они инвариантны относительно перемещений и вращений плоскости.

Понятие угла можно определить с помощью круговых точек, натурального логарифма и перекрестного отношения : [3]

Угол между двумя линиями представляет собой определенное кратное логарифму поперечного отношения карандаша, образованного двумя линиями и линиями, соединяющими их пересечение с круговыми точками.

Соммервилль настраивает две линии в начале координат как Обозначая круговые точки как ω и ω′, он получает перекрестное отношение

так что
  1. ^ Уитворт Уильям Аллен (1866). Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений . Дейтон Белл и компания. п. 127 . Проверено 8 декабря 2021 г.
  2. ^ CE Springer (1964) Геометрия и анализ проективных пространств , стр. 141, WH Freeman and Company
  3. ^ Дункан Соммервилл (1914) Элементы неевклидовой геометрии , страница 157, ссылка из Мичиганского университета коллекции исторической математики
  • Пьер Самуэль (1988) Проективная геометрия , Springer, раздел 1.6;
  • Семпл и Нибоун (1952) Алгебраическая проективная геометрия , Оксфорд, раздел II-8.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1238a857346797f0bd6f163d186eee1a__1714884960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/12/1a/1238a857346797f0bd6f163d186eee1a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Circular points at infinity - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)