Изотропная линия

Чтобы узнать об изотропных линиях в геологии, см. Разделение деформаций .

В геометрии квадратичных форм изотропная линия или нулевая линия — это линия , для которой квадратичная форма, примененная к вектору смещения между любой парой ее точек, равна нулю. Изотропная линия встречается только при изотропной квадратичной форме и никогда при определенной квадратичной форме .

Используя сложную геометрию , Эдмон Лагерр впервые предположил существование двух изотропных линий, проходящих через точку ( α , β ), которые зависят от мнимой единицы i :

Первая система: $(y-\beta )=(x-\alpha )i,$

Вторая система: $(y-\beta )=-i(x-\alpha ).$

Лагер затем интерпретировал эти линии как геодезические :

Существенным свойством изотропных линий, которое можно использовать для их определения, является следующее: расстояние между любыми двумя точками изотропной линии, расположенными на конечном расстоянии в плоскости, равно нулю. Другими словами, эти линии удовлетворяют дифференциальному уравнению d s ² = 0 . На произвольной поверхности можно изучать кривые, удовлетворяющие этому дифференциальному уравнению; эти кривые являются геодезическими линиями поверхности, и мы также называем их изотропными линиями .

На комплексной проективной плоскости точки изображаются однородными координатами. $(x_{1},x_{2},x_{3})$ и линии по однородным координатам $(a_{1},a_{2},a_{3})$. Изотропная линия в комплексной проективной плоскости удовлетворяет уравнению:

$a_{3}(x_{2}\pm ix_{1})=(a_{2}\pm ia_{1})x_{2}.$

В терминах аффинного подпространства x ₃ = 1 изотропная линия, проходящая через начало координат, равна

$x_{2}=\pm ix_{1}.$

В проективной геометрии изотропные линии — это линии, проходящие через круговые точки на бесконечности .

В реальной ортогональной геометрии Эмиля Артина изотропные линии встречаются парами:

Неособая плоскость, содержащая изотропный вектор, называется гиперболической плоскостью . Его всегда можно натянуть парой N, M векторов, которые удовлетворяют $N^{2}\ =\ M^{2}\ =\ 0,\quad NM\ =\ 1\ .$

будем называть Любую такую ​​упорядоченную пару N, M гиперболической парой. Если V — неособая плоскость с ортогональной геометрией и N ≠ 0 — изотропный вектор V , то существует ровно один M в V такой, что N, M — гиперболическая пара. Тогда векторы x N и y M являются единственными изотропными векторами V .

относительность

Изотропные линии использовались в космологической письменности для переноса света. Например, в математической энциклопедии свет состоит из фотонов : « Мировая линия нулевой массы покоя (типа неквантовой модели фотона и других элементарных частиц с нулевой массой) является изотропной линией». Для изотропных линий, проходящих через начало координат, конкретная точка является нулевым вектором , а совокупность всех таких изотропных линий образует световой конус в начале координат.

Эли Картан расширил концепцию изотропных линий до мультивекторов в своей книге о спинорах в трех измерениях .

Ссылки

• Пит Л. Кларк, Квадратичные формы, глава I: теория Уиттса , Университет Майами в Корал-Гейблс, Флорида .
• О. Тимоти О'Мира (1963, 2000) Введение в квадратичные формы , стр. 94