Спиноры в трех измерениях

В математике концепция спинора как специализированная для трех измерений может рассматриваться посредством традиционных понятий скалярного произведения и векторного произведения . Это часть подробного алгебраического обсуждения группы вращений SO(3) .

Формулировка

Ассоциация спинора с комплексной бесследовой эрмитовой матрицей 2×2 была сформулирована Эли Картаном . ^[1]

Подробно, учитывая вектор x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) действительных (или комплексных) чисел, можно связать комплексную матрицу

{\vec {x}}\rightarrow X\ =\left({\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right).

В физике это часто записывается как скалярное произведение. $X\equiv {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {x}}$ , где ${\vec {\sigma }}\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})$ — векторная форма матриц Паули . Матрицы этого вида обладают следующими свойствами, которые внутренне связывают их с геометрией трехмерного пространства:

$\det X=-|{\vec {x}}|^{2}$ , где $\det$ обозначает определитель .
$X^{2}=|{\vec {x}}|^{2}I$ , где I — единичная матрица.
${\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})I$ ^[1]^: 43
${\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ$ где Z — матрица, связанная с векторным произведением ${\vec {z}}={\vec {x}}\times {\vec {y}}$ .
Если ${\vec {u}}$ является единичным вектором, тогда $-UXU$ - это матрица, связанная с вектором, возникающим в результате отражения ${\vec {x}}$ в плоскости, ортогональной ${\vec {u}}$ .

Последнее свойство можно использовать для упрощения операций вращения. Это элементарный факт из линейной алгебры , что любое вращение в трехмерном пространстве представляет собой композицию двух отражений. (В более общем смысле, любое ортогональное преобразование, изменяющее ориентацию, является либо отражением, либо продуктом трех отражений.) Таким образом, если R представляет собой вращение, которое разлагается как отражение в плоскости, перпендикулярной единичному вектору. ${\vec {u}}_{1}$ с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной ${\vec {u}}_{2}$ , то матрица $U_{2}U_{1}XU_{1}U_{2}$ представляет вращение вектора ${\vec {x}}$ через Р.

Эффективно закодировав всю вращательную линейную геометрию трехмерного пространства в набор комплексных матриц 2×2, естественно задаться вопросом, какую роль, если таковая имеется, матрицы 2×1 (т. е. векторы-столбцы играют ). Условно спинор — это вектор-столбец.

\xi =\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right],

с комплексными элементами ξ ₁ и ξ ₂ .

На пространство спиноров, очевидно, действуют комплексные матрицы размера 2×2. Как показано выше, произведение двух отражений в паре единичных векторов определяет матрицу 2×2, действие которой на евклидовые векторы представляет собой вращение. Итак, на спиноры действует вращение. Однако есть одно важное предостережение: факторизация вращения не уникальна. Ясно, что если $X\mapsto RXR^{-1}$ является представлением вращения, то замена R на − R даст тот же поворот. Фактически, можно легко показать, что это единственная возникающая двусмысленность. Таким образом, действие вращения на спинор всегда двузначно .

История

Были некоторые предшественники работы Картана с комплексными матрицами 2×2: Вольфганг Паули использовал эти матрицы настолько интенсивно, что элементы определенного базиса четырехмерного подпространства называются матрицами Паули σ _i , так что эрмитова матрица записывается как Вектор Паули ${\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}.$ ^[2] В середине 19 в. алгебраические операции этой алгебры четырёх комплексных измерений изучались как бикватернионы .

Майкл Стоун и Пол Голдбар в книге «Математика для физики » оспаривают это, утверждая: «Представления спина были открыты Эли Картаном в 1913 году, за несколько лет до того, как они понадобились в физике».

Формулировка с использованием изотропных векторов

Спиноры могут быть построены непосредственно из изотропных векторов в трехмерном пространстве без использования кватернионной конструкции. Чтобы мотивировать введение спиноров, предположим, что X — матрица, представляющая вектор x в комплексном трехмерном пространстве. Предположим далее, что x изотропен: т. е.

{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} }=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0.

Тогда, поскольку определитель X равен нулю, существует пропорциональность между его строками или столбцами. Таким образом, матрицу можно записать как внешнее произведение двух комплексных 2-векторов:

X=2\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}-\xi _{2}&\xi _{1}\end{matrix}}\right].

Эта факторизация дает переопределенную систему уравнений в координатах вектора x :

\left.{\begin{matrix}\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}&=x_{1}\\i(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2})&=x_{2}\\-2\xi _{1}\xi _{2}&=x_{3}\end{matrix}}\right\}

( 1 )

с учетом ограничения

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0.

( 2 )

Эта система допускает решения

\xi _{1}=\pm {\sqrt {\frac {x_{1}-ix_{2}}{2}}},\quad \xi _{2}=\pm {\sqrt {\frac {-x_{1}-ix_{2}}{2}}}.

( 3 )

Любой выбор знака решает систему ( 1 ). Таким образом, спинор можно рассматривать как изотропный вектор с выбором знака. Заметим, что из-за логарифмического разветвления невозможно последовательно выбрать знак так, чтобы ( 3 ) изменялось непрерывно вдоль полного вращения среди координат x . Несмотря на такую неоднозначность представления вращения на спиноре, вращения действуют однозначно дробным линейным преобразованием на отношении ξ ₁ : ξ _2, поскольку один выбор знака в решении ( 3 ) вынуждает выбрать второй знак. В частности, пространство спиноров является проективным представлением ортогональной группы.

Как следствие этой точки зрения, спиноры можно рассматривать как своего рода «квадратный корень» из изотропных векторов. В частности, вводя матрицу

C=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right),

система ( 1 ) эквивалентна решению X = 2 ξ ^тξ C для неопределенного спинора ξ .

Тем более , если теперь роли ξ и x поменяются местами, форма Q ( ξ ) = x определяет для каждого спинора ξ вектор x , квадратичный по компонентам ξ . Если эта квадратичная форма поляризована , она определяет билинейную векторнозначную форму на спинорах Q ( μ , ξ ). Эта билинейная форма затем тензорно трансформируется при отражении или вращении.

Реальность

Приведенные выше соображения одинаково применимы независимо от того, является ли исходное рассматриваемое евклидово пространство реальным или комплексным. Однако когда пространство реально, спиноры обладают некоторой дополнительной структурой, которая, в свою очередь, облегчает полное описание представления группы вращения. Предположим, для простоты, что скалярное произведение в трехмерном пространстве имеет положительно определенную сигнатуру:

\left|x\right|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}

( 4 )

Согласно этому соглашению, действительные векторы соответствуют эрмитовым матрицам. При этом действительные вращения, сохраняющие вид ( 4 ), соответствуют (в двузначном смысле) унитарным матрицам определителя единицы. Говоря современным языком, это представляет специальную унитарную группу SU(2) как двойное накрытие SO(3). Как следствие, спинорное эрмитово произведение

\langle \mu |\xi \rangle ={\bar {\mu }}_{1}\xi _{1}+{\bar {\mu }}_{2}\xi _{2}

( 5 )

сохраняется при всех вращениях и, следовательно, является каноническим.

Однако если сигнатура скалярного произведения в трехмерном пространстве неопределенна (т. е. невырождена, но и не положительно определена), то приведенный выше анализ необходимо скорректировать, чтобы отразить это. Предположим тогда, что форма длины в трехмерном пространстве задается формулой:

\left|\mathbf {x} \right|^{2}=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+x_{3}^{2}

( 4′ )

Далее продолжается построение спиноров предыдущих разделов, но с $x_{2}$ замена $i$ $x_{2}$ во всех формулах. Согласно этому новому соглашению, матрица, связанная с действительным вектором $(x_{1},x_{2},x_{3})$ само по себе реально:

\left({\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-x_{2}\\x_{1}+x_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right)

.

Форма ( 5 ) больше не инвариантна относительно реального вращения (или реверса), поскольку группа, стабилизирующая ( 4′ ), теперь является группой Лоренца O(2,1). Вместо этого антиэрмитова форма

\langle \mu |\xi \rangle ={\bar {\mu }}_{1}\xi _{2}-{\bar {\mu }}_{2}\xi _{1}

определяет подходящее понятие внутреннего продукта для спиноров в этой метрической сигнатуре. Эта форма инвариантна относительно преобразований в компоненте связности единицы O(2,1).

В любом случае форма четвертой степени

\langle \mu |\xi \rangle ^{2}={\hbox{length}}\left(Q({\bar {\mu }},\xi )\right)^{2}

полностью инвариантен относительно O(3) (или O(2,1) соответственно), где Q — векторнозначная билинейная форма, описанная в предыдущем разделе. Тот факт, что это инвариант четвертой степени, а не квадратичный, имеет важное следствие. Если ограничить внимание группой специальных ортогональных преобразований, то можно однозначно извлечь квадратный корень из этой формы и получить отождествление спиноров с их двойниками. На языке теории представлений это означает, что существует только одно неприводимое спиновое представление SO(3) (или SO(2,1)) с точностью до изоморфизма. Если же допускаются и обращения (например, отражения в плоскости), то отождествлять спиноры с их дуалами уже невозможно из-за смены знака при применении отражения. Таким образом, существуют два неприводимых спиновых представления O(3) (или O(2,1)), иногда называемые булавочными представлениями .

Структуры реальности

Различия между этими двумя сигнатурами можно кодифицировать с помощью понятия структуры реальности в пространстве спиноров. Неформально это предписание взять комплексное сопряжение спинора, но таким образом, чтобы оно не соответствовало обычному сопряжению по компонентам спинора. В частности, структура реальности задается эрмитовой матрицей K размером 2 × 2, произведение которой само на себя является единичной матрицей: K ² = Идентификатор . Сопряжение спинора относительно структуры реальности K определяется выражением

\xi ^{*}=K{\bar {\xi }}.

Конкретная форма внутреннего продукта векторов (например, ( 4 ) или ( 4 ' )) определяет структуру реальности (с точностью до коэффициента -1), требуя

{\bar {X}}=KXK\,

, если X — матрица, связанная с вещественным вектором.

Таким образом, K = i C — это структура реальности в евклидовой сигнатуре ( 4 ), а K = Id — это структура реальности в сигнатуре ( 4′ ). Имея в руках структуру реальности, можно получить следующие результаты:

X - матрица, связанная с вещественным вектором, тогда и только тогда, когда ${\bar {X}}=KXK\,.$
Если µ и ξ — спинор, то скалярное произведение $\langle \mu |\xi \rangle =i\,^{t}\mu ^{*}C\xi$ определяет эрмитову форму, инвариантную относительно собственных ортогональных преобразований.

Примеры по физике

Спиноры спиновых матриц Паули

Часто первый пример спиноров, который изучает физика Столкновения — это спиноры 2×1, используемые в теории спина электрона Паули.Матрицы Паули представляют собой вектор из трех матриц 2 × 2.которые используются в качестве вращения операторов .

Учитывая единичный вектор в трех измерениях, например ( a , b , c ), берется a скалярное произведение со спиновыми матрицами Паули для получения спиновой матрицы дляспин в направлении единичного вектора.

Собственные векторы этой спиновой матрицы являются спинорами дляспин-1/2 ориентирован в направлении, заданном вектором.

Пример: u = (0,8, -0,6, 0) — единичный вектор. Расставить все точки над Паулиспиновые матрицы дают матрицу:

S_{u}=(0.8,-0.6,0.0)\cdot {\vec {\sigma }}=0.8\sigma _{1}-0.6\sigma _{2}+0.0\sigma _{3}={\begin{bmatrix}0.0&0.8+0.6i\\0.8-0.6i&0.0\end{bmatrix}}

Собственные векторы можно найти обычными методами линейная алгебра , но удобный трюкСледует отметить, что спиновая матрица Паули является инволютивной матрицей , то есть квадрат указанной выше матрицы является единичной матрицей .

Таким образом, (матричное) решение проблемы собственных векторов с собственными значениями±1 — это просто 1 ± S _u . То есть,

S_{u}(1\pm S_{u})=\pm 1(1\pm S_{u})

Затем можно выбрать любой из столбцов матрицы собственных векторов в качестве векторного решения при условии, что выбранный столбецне равен нулю. Взяв первый столбец из вышеизложенного,решения для собственных векторов для двух собственных значений:

{\begin{bmatrix}1.0+(0.0)\\0.0+(0.8-0.6i)\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1.0-(0.0)\\0.0-(0.8-0.6i)\end{bmatrix}}

Трюк, используемый для нахождения собственных векторов, связан с концепцией идеалы , то есть собственные векторы матрицы (1 ± S _u )/2 являются операторами проектирования или идемпотентами и, следовательно, каждый порождает идеал в алгебре Паули. Тот же трюкработает в любой алгебре Клиффорда , в частностиалгебра Дирака , о которой речь пойдет ниже. Эти проекцииоператоры также встречаются в матрицы плотности. теории где они являются примерами чистых матриц плотности.

В более общем смысле, оператор проекции спина в направлении ( a , b , c )дается

{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib\\a+ib&1-c\end{bmatrix}}

и любой ненулевой столбец можно использовать в качестве оператора проецирования. В то время какдва столбца кажутся разными, можно использовать ² + б ² + с ² = 1, чтобы показать, что они кратны (возможно, нулю) одного и того же спинора.

Общие замечания

В атомной физике и квантовой механике свойство спина играет важную роль. Помимо других своих свойств, все частицы обладают неклассическим свойством, т. е. не имеющим вообще никакого соответствия в традиционной физике, а именно спином , который представляет собой разновидность собственного углового момента . В позиционном представлении вместо волновой функции без спина ψ = ψ ( r ) имеется спин: ψ = ψ ( r , σ ), где σ принимает следующий дискретный набор значений:

\sigma =-S\cdot \hbar ,-(S-1)\cdot \hbar ,...,+(S-1)\cdot \hbar ,+S\cdot \hbar

.

Оператор полного углового момента , ${\vec {\mathbb {J} }}$ , частицы соответствует сумме орбитального углового момента (т.е. разрешены только целые числа) и внутренней части , спина . Различают бозоны (S = 0, ±1, ±2, ...) и фермионы (S = ±1/2, ±3/2, ±5/2, ...).

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-64070-9 , МР 0631850
^ Вектор Паули — формальное устройство. Его можно рассматривать как элемент $M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3}$ , где тензорное пространство произведения наделено отображением $\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} \to M_{2}(\mathbb {C} )$ .

[Cart-1] Jump up to: ^а ^б Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-64070-9 , МР 0631850

[2] Вектор Паули — формальное устройство. Его можно рассматривать как элемент $M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3}$ , где тензорное пространство произведения наделено отображением $\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} \to M_{2}(\mathbb {C} )$ .

[1]

[2]