Оператор (физика)

В физике оператор — это функция из пространства физических состояний в другое пространство физических состояний. Простейшим примером полезности операторов является изучение симметрии (что делает понятие группы полезным в этом контексте). Благодаря этому они являются полезными инструментами в классической механике . Операторы еще более важны в квантовой механике , где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.

Операторы в классической механике

В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом $L(q,{\dot {q}},t)$ или, что то же самое, гамильтониан $H(q,p,t)$, функция обобщенных координат q , обобщенных скоростей ${\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t$ и сопряженные ему импульсы :

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$

Если L или H не зависят от обобщенной координаты q , то это означает, что L и H не меняются при изменении q , что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается той же самой, даже когда q изменяется, соответствующие импульсы сопряжены с теми, которые координаты сохранятся (это часть теоремы Нётер , а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.

Говоря более технически, когда H инвариантен относительно действия определенной группы преобразований G :

$S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)$.

Элементами G являются физические операторы, которые отображают между собой физические состояния.

Таблица операторов классической механики

Трансформация	Оператор	Позиция	Импульс
Трансляционная симметрия	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
Симметрия перевода времени	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})$
Вращательная инвариантность	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
Преобразования Галилея	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
Паритет	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
Т-симметрия	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

где $R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )$ - матрица вращения вокруг оси, определяемой единичным вектором ${\hat {\boldsymbol {n}}}$ и угол θ .

Генераторы

Если преобразование бесконечно мало , действие оператора должно иметь вид

$I+\epsilon A,$

где $I$ является идентификационным оператором, $\epsilon$ является параметром с небольшим значением, и $A$будет зависеть от текущего преобразования и называется генератором группы . Опять же, в качестве простого примера, мы выведем генератор пространственных сдвигов для 1D-функций.

Как было заявлено, $T_{a}f(x)=f(x-a)$. Если $a=\epsilon$ бесконечно мало, то мы можем написать

$T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).$

Эту формулу можно переписать как

$T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)$

где $D$является генератором группы трансляции, которая в данном случае является оператором производной . Таким образом, говорят, что генератор переводов является производной.

Экспоненциальная карта

Вся группа может быть восстановлена ​​при нормальных обстоятельствах из генераторов с помощью экспоненциального отображения . В случае с переводами идея работает следующим образом.

Перевод для конечного значения $a$ может быть получено повторным применением бесконечно малого перевода:

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)$

с $\cdots$ стою за заявку $N$раз. Если $N$ велика, то каждый из факторов можно считать бесконечно малым:

$T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).$

Но этот предел можно переписать в экспоненциальном виде:

$T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).$

Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в степенной ряд :

$T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).$

Правую часть можно переписать как

$f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots$

что представляет собой просто расширение Тейлора $f(x-a)$, что было нашим первоначальным значением для $T_{a}f(x)$.

Математические свойства физических операторов сами по себе представляют собой очень важную тему. Дополнительную информацию см. в C*-алгебре и теореме Гельфанда – Наймарка .

Операторы в квантовой механике

Математическая формулировка квантовой механики (КМ) построена на концепции оператора.

Физические чистые состояния в квантовой механике представляются в виде векторов единичной нормы (вероятности нормированы на единицу) в специальном комплексном гильбертовом пространстве . Эволюция времени в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции .

Любая наблюдаемая , т. е. любая величина, которую можно измерить в физическом эксперименте, должна быть сопоставлена ​​с самосопряженным линейным оператором . Операторы должны выдавать реальные собственные значения , поскольку это значения, которые могут возникнуть в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовыми . Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. Ниже приведены математические подробности об эрмитовых операторах.

В формулировке КМ волновой механики волновая функция меняется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, импульса и времени ( см. в пространстве положения и импульса подробности ), поэтому наблюдаемые величины являются дифференциальными операторами .

В матричной механики формулировке норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным , а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая одно физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.

Волновая функция

Основная статья: волновая функция

Волновая функция должна быть интегрируемой с квадратом (см. L ^п пробелы ), что означает:

$\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty$

и нормируемый, так что:

$\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1$

Два случая собственных состояний (и собственных значений):

• для дискретных собственных состояний $|\psi _{i}\rangle$ образуя дискретный базис, поэтому любое состояние представляет собой сумму
  $$|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle$$
  где c _i — комплексные числа такие, что | я _с | ² = с _я ^* c _i — вероятность измерения состояния $|\phi _{i}\rangle$, и соответствующий набор собственных значений a _i также дискретен — либо конечен , либо счетен . В этом случае внутренний продукт двух собственных состояний определяется выражением $\langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}$, где $\delta _{mn}$обозначает дельту Кронекера . Однако,
• для континуума собственных состояний $|\psi _{i}\rangle$ образуя непрерывную основу, любое государство является целостным
  $$|\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle$$
  где c ( φ ) — комплексная функция такая, что | с (φ)| ² = с (φ) ^* c (φ) — вероятность измерения состояния $|\phi \rangle$, и существует несчетно бесконечное множество собственных значений a . В этом случае внутренний продукт двух собственных состояний определяется как $\langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')$, где здесь $\delta (x-y)$ обозначает дельту Дирака .

Линейные операторы в волновой механике

Основные статьи: Волновая функция и обозначение Брекета

Пусть ψ — волновая функция квантовой системы и ${\hat {A}}$быть любым линейным оператором для некоторой наблюдаемой A (например, положения, импульса, энергии, углового момента и т. д.). Если ψ — собственная функция оператора ${\hat {A}}$, затем

${\hat {A}}\psi =a\psi ,$

где a — собственное значение оператора, соответствующее измеренному значению наблюдаемой, т.е. наблюдаемая A имеет измеренное значение a .

Если ψ — собственная функция данного оператора ${\hat {A}}$, то определенная величина (собственное значение a ) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой A производится в состоянии ψ . Обратно, если ψ не является собственной функцией ${\hat {A}}$, то он не имеет собственного значения для ${\hat {A}}$, и наблюдаемая в этом случае не имеет ни одного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой A будут давать каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением ψ относительно ортонормированного собственного базиса ${\hat {A}}$).

В обозначениях бра-кет можно записать вышеизложенное;

${\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}$

которые равны, если $\left|\psi \right\rangle$ является собственным вектором или собственной кеткой наблюдаемой A .

Благодаря линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del , который сам по себе является вектором (полезен в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).

Оператор в n -мерном пространстве можно записать:

$\mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}$

где e _j — базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A _j . Каждый компонент будет давать соответствующее собственное значение. $a_{j}$. Действуя таким образом на волновую функцию ψ :

$\mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)$

в котором мы использовали ${\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .$

В обозначениях бра-кет:

${\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}$

Коммутация операторов на Ψ

Основная статья: Коммутатор

Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$, коммутатор определяется формулой,

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Воздействие коммутатора на ψ дает:

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .$

Если ψ — собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,$

тогда наблюдаемые A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т. е. неопределенности $\Delta A=0$, $\Delta B=0$одновременно. ψ Тогда говорят, что является одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это:

${\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}$

Это показывает, что измерение A и B не вызывает какого-либо сдвига состояния, т. е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет возмущений из-за измерения). Предположим, мы измеряем А, чтобы получить значение а. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Измеряем А еще раз. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.

Если операторы не ездят на работу:

$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,$

существует соотношение неопределенности они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и между наблюдаемыми

$\Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|$

даже если ψ является собственной функцией, приведенное выше соотношение выполняется. Примечательными парами являются соотношения неопределенностей положения и импульса, энергии и времени, а также угловые моменты (спиновые, орбитальные и полные) вокруг любых двух ортогональных осей (таких как L _x и L _y или s _y и s _z и т. д.). .).

Ожидаемые значения операторов на Ψ

Ожидаемое значение (эквивалентно среднему или среднему значению) — это среднее измерение наблюдаемой частицы в R. области Ожидаемое значение $\left\langle {\hat {A}}\right\rangle$ оператора ${\hat {A}}$ рассчитывается из:

$\left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .$

Это можно обобщить на любую функцию F оператора:

$\left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,$

Примером F является двукратное действие A на ψ , т.е. возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:

${\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!$

Эрмитовы операторы

Основная статья: Самосопряженный оператор

Определение эрмитова оператора :

${\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }$

Отсюда в обозначениях брекета:

$\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.$

Важные свойства эрмитовых операторов включают в себя:

• действительные собственные значения,
• собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны ,
• собственные векторы могут быть выбраны как полный ортонормированный базис ,

Операторы в матричной механике

Оператор можно записать в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент $\phi _{j}$ может быть подключен к другому, по выражению:

$A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,$

который является матричным элементом:

${\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}$

Еще одним свойством эрмитова оператора является то, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет подходящему базисному набору векторов представлять состояние квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :

$\det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,$

где I — n × n единичная матрица размера , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретной основы:

${\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$

а на постоянной основе:

${\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi$

Обратный оператор

Несингулярный оператор ${\hat {A}}$ имеет обратную ${\hat {A}}^{-1}$ определяется:

${\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}$

Если оператор не имеет обратного, то это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:

$\det \left({\hat {A}}\right)\neq 0$

и, следовательно, определитель сингулярного оператора равен нулю.

Таблица операторов QM

Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., например, ). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами , это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента вместе взятые.

Оператор (общее имя/имена)	Декартова составляющая	Общее определение	И объединились	Измерение
Позиция	${\begin{aligned}{\hat {x}}&=x,&{\hat {y}}&=y,&{\hat {z}}&=z\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!$	м	[Л]
Импульс	Общий ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}$	Общий $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!$	Дж см −1 = Н с	[М] [Л] [Т] −1
	Электромагнитное поле ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$	Электромагнитное поле (использует кинетический момент ; A , векторный потенциал) ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\&=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{aligned}}\,\!$	Дж см −1 = Н с	[М] [Л] [Т] −1
Кинетическая энергия	Перевод ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!$	Дж	[М] [Л] 2 [Т] −2
	Электромагнитное поле ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!$	Электромагнитное поле ( А , векторный потенциал ) ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!$	Дж	[М] [Л] 2 [Т] −2
	Вращение ( I , момент инерции ) ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!$	Вращение ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!$	Дж	[М] [Л] 2 [Т] −2
Потенциальная энергия	Н/Д	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!$	Дж	[М] [Л] 2 [Т] −2
Общая энергия	Н/Д	Временной потенциал: ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!$ Независимые от времени: ${\hat {E}}=E\,\!$	Дж	[М] [Л] 2 [Т] −2
гамильтониан		${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!$	Дж	[М] [Л] 2 [Т] −2
Оператор углового момента	${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla$	Дж с = Н см	[М] [Л] 2 [Т] −1
Спиновый угловой момент	${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={\hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ где ${\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ — матрицы Паули для частиц со спином ½ .	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!$ где σ — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули.	Дж с = Н см	[М] [Л] 2 [Т] −1
Полный угловой момент	${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$	Дж с = Н см	[М] [Л] 2 [Т] −1
Переходный дипольный момент (электрический)	${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}},&{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}},&{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$	См	[Я] [Т] [Л]

Примеры применения квантовых операторов

Процедура извлечения информации из волновой функции заключается в следующем. В качестве примера рассмотрим импульс p частицы . Оператор импульса в позиционном базисе в одном измерении:

${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$

Действуя на ψ, мы получаем:

${\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,$

если ψ — собственная функция ${\hat {p}}$, то собственное значение импульса p — это значение импульса частицы, найденное по формуле:

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .$

Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла, чтобы стать:

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .$

в декартовых координатах (с использованием стандартных декартовых базисных векторов e _x , e _y , e _z Это можно записать );

$\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),$

то есть:

${\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!$

Процесс нахождения собственных значений тот же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ является собственной функцией, то каждый компонент оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этому компоненту импульса. Действующий $\mathbf {\hat {p}}$ на ψ ​​получает:

${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!$

См. также

• Ограниченный линейный оператор
• Теория представлений