Вращательная инвариантность

В математике говорят , что функция, определенная в пространстве внутреннего продукта, обладает вращательной инвариантностью , если ее значение не меняется, когда произвольные вращения к ее аргументу применяются .

Математика

Функции

Например, функция

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$

инвариантен относительно поворотов плоскости вокруг начала координат, поскольку для повернутого набора координат на любой угол θ

$x'=x\cos \theta -y\sin \theta$

$y'=x\sin \theta +y\cos \theta$

функция после некоторого сокращения слагаемых принимает точно такой же вид

$f(x',y')={x}^{2}+{y}^{2}$

Вращение координат можно выразить с помощью матричной формы, используя матрицу вращения ,

${\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.$

или символически x' ′ = Rx' . Символически инвариантность вращения действительной функции двух действительных переменных равна

$f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx} )=f(\mathbf {x} )$

Другими словами, функция повернутых координат принимает точно такой же вид, как и у исходных координат, с той лишь разницей, что повернутые координаты заменяют исходные. Для действительной функции трех или более действительных переменных это выражение легко расширяется с использованием соответствующих матриц вращения.

Эта концепция также распространяется на векторную функцию f одной или нескольких переменных;

$\mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {f} (\mathbf {Rx} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )$

Во всех вышеперечисленных случаях вращаются аргументы (здесь для конкретики называемые «координатами»), а не сама функция.

Операторы

Для функции

$f:X\rightarrow X$

который отображает элементы из подмножества X реальной линии $\mathbb {R}$ Для себя вращательная инвариантность может также означать, что функция коммутирует с вращениями элементов в X . Это также относится к оператору , который действует на такие функции. Примером может служить двумерный оператор Лапласа.

$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}$

которое действует на функцию f, чтобы получить другую функцию ∇ ² ф . Этот оператор инвариантен относительно вращений.

Если g — функция g ( p ) = f ( R ( p )), где R — любое вращение, то (∇ ² г )( п ) знак равно (∇ ² е )( р ( п )); то есть вращение функции просто вращает ее лапласиан.

Физика

В физике , если система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, то ее лагранжиан инвариантен относительно вращения. Согласно теореме Нётер , если действие (интеграл по времени от ее лагранжиана) физической системы инвариантно относительно вращения, то угловой момент сохраняется .

Приложение к квантовой механике

Дополнительная информация: Оператор вращения (квантовая механика) и симметрия в квантовой механике.

В квантовой механике вращательная инвариантность — это свойство, при котором после вращения новая система по-прежнему подчиняется уравнению Шрёдингера . То есть

$[R,E-H]=0$

для любого вращения R . Поскольку вращение не зависит явно от времени, оно коммутирует с оператором энергии. Таким образом, для вращательной инвариантности мы должны иметь [ R , H ] = 0.

Для бесконечно малых вращений (в данном примере в плоскости xy ; это можно сделать аналогично для любой плоскости) на угол dθ оператор (бесконечно малого) вращения равен

$R=1+J_{z}d\theta \,,$

затем

$\left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{dt}}\right]=0\,,$

таким образом

${\frac {d}{dt}}J_{z}=0\,,$

другими словами, угловой момент сохраняется.

См. также

• Осевая симметрия
• Инвариантная мера
• Изотропия
• Теорема Максвелла
• Вращательная симметрия

Ссылки

• Стенджер, Виктор Дж. (2000). Вечная реальность . Книги Прометея. Особенно чпт. 12. Нетехническое.