Инфинитезимальная матрица вращения

Матрица бесконечно малого вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица, представляющая бесконечно малое вращение .

Хотя матрица вращения является ортогональной матрицей $R^{\mathsf {T}}=R^{-1}$ представляющий собой элемент $SO(n)$ ( специальная ортогональная группа ), дифференциал вращения представляет собой кососимметричную матрицу $A^{\mathsf {T}}=-A$ в касательном пространстве ${\mathfrak {so}}(n)$ ( специальная ортогональная алгебра Ли ), которая сама по себе не является матрицей вращения.

Бесконечно малая матрица вращения имеет вид

$I+d\theta \,A,$

где $I$ - единичная матрица, $d\theta$ исчезающе мало и $A\in {\mathfrak {so}}(n).$

Например, если $A=L_{x},$ представляющее бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x , базовый элемент ${\mathfrak {so}}(3),$

$dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.$

Правила вычисления бесконечно малых матриц вращения такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые матрицы второго порядка обычно отбрасываются. Согласно этим правилам, эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном подходе к бесконечно малым числам. Оказывается, порядок применения бесконечно малых вращений не имеет значения .

Обсуждение

Инфинитезимальная матрица вращения — это кососимметричная матрица , где:

• Поскольку любая матрица вращения имеет единственное действительное собственное значение, равное +1, соответствующий собственный вектор определяет ось вращения .
• Его модуль определяет бесконечно малое угловое смещение .

Форма матрицы следующая: $$A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}$$

Сопутствующие количества

Связан с бесконечно малой матрицей вращения $A$ представляет собой бесконечно малый тензор вращения $d\Phi (t)=A-I$:

$$d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}$$

Разделив его на разницу во времени, получим тензор угловой скорости :

$\Omega ={\frac {d\Phi (t)}{dt}}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}$

Порядок ротации

Эти матрицы не обладают всеми теми же свойствами, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном подходе к бесконечно малым числам. Чтобы понять, что это значит, рассмотрим

$dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.$

Сначала проверьте условие ортогональности Q ^Т Q = Я. ​Продукт

$dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},$

отличающаяся от единичной матрицы бесконечно малыми величинами второго порядка, которые здесь отброшены. Итак, в первом порядке бесконечно малая матрица вращения является ортогональной матрицей.

Далее рассмотрим квадрат матрицы,

$dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.$

Опять отбросив эффекты второго порядка, обратите внимание, что угол просто удваивается. Это намекает на самое существенное различие в поведении, которое мы можем продемонстрировать с помощью второго бесконечно малого вращения:

$dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.$

Сравните продукты dA _x   dA _y с dA _y dA _x ,

${\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}$

С $d\theta \,d\phi$ является вторым порядком, мы отбрасываем его: таким образом, в первом порядке умножение бесконечно малых матриц вращения коммутативно . Фактически,

$dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },$

снова к первому заказу. Другими словами, порядок применения бесконечно малых вращений не имеет значения .

Этот полезный факт делает, например, относительно простым вывод вращения твердого тела. Но всегда нужно быть осторожным, чтобы отличить (обработка первого порядка) эти бесконечно малые матрицы вращения как от матриц конечного вращения, так и от элементов алгебры Ли. Сравнивая поведение матриц конечного вращения в приведенной выше формуле Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа с поведением бесконечно малых матриц вращения, где все члены коммутатора будут бесконечно малыми второго порядка, можно обнаружить добросовестное векторное пространство. Технически отказ от любых условий второго порядка означает сокращение Группы .

Генераторы вращений

Основные статьи: Матрица вращения , группа вращения SO(3) и бесконечно малое преобразование.

Предположим, мы задаем ось вращения единичным вектором [ x , y , z ] и предположим, что у нас есть бесконечно малое вращение на угол Δ θ вокруг этого вектора. Если разложить матрицу вращения как бесконечное сложение и использовать подход первого порядка, матрица вращения Δ R будет представлена ​​как:

$\Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .$

Конечное вращение на угол θ вокруг этой оси можно рассматривать как последовательность небольших вращений вокруг одной и той же оси. Аппроксимируя Δ θ как θ / N , где N — большое число, вращение θ вокруг оси можно представить как:

$R=\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{A\theta }.$

Можно видеть, что теорема Эйлера по существу утверждает, что все вращения могут быть представлены в этой форме. Произведение Aθ является «генератором» конкретного вращения, являясь вектором ( x , y , z ), связанным с матрицей A . Это показывает, что матрица вращения и формат оси-угла связаны экспоненциальной функцией.

Можно вывести простое выражение для G. генератора Начинаем с произвольной плоскости определяется парой перпендикулярных единичных векторов a и b . В этой плоскости можно выбрать произвольный вектор x с перпендикуляром y . Затем вычисляется значение y через x , и подстановка в выражение для вращения в плоскости дает матрицу вращения R , которая включает в себя генератор G = ba. ^Т − аб ^Т .

${\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathrm {T} }x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathrm {T} }x\\y&=-ab^{\mathrm {T} }x+ba^{\mathrm {T} }x=\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\\\end{aligned}}$

Чтобы включить в вращение векторы вне плоскости, необходимо изменить приведенное выше выражение для R , включив в него два оператора проекции , которые разбивают пространство. Эту модифицированную матрицу вращения можно переписать как экспоненциальную функцию .

${\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}$

Анализ часто проще с точки зрения этих генераторов, а не полной матрицы вращения. Анализ в терминах генераторов известен как алгебра Ли группы вращений.

Экспоненциальная карта

Основные статьи: Группа вращения SO (3) § Экспоненциальная карта и Матричная экспонента.

Соединение алгебры Ли с группой Ли представляет собой экспоненциальное отображение , которое определяется с помощью стандартного матричного ряда экспонент для e ^А Для любой кососимметричной матрицы exp A ( A ) всегда является матрицей вращения.

Важным практическим примером является случай 3×3 . В группе вращений SO(3) показано, что каждый A ∈ so (3) можно отождествить с вектором Эйлера ω = θ u , где u = ( x , y , z ) — вектор единичной величины.

По свойствам отождествления su (2) ≅ R ³ , u находится в нулевом пространстве A . Таким образом, u инвариантен слева согласно exp( A ) и, следовательно, является осью вращения.

Используя формулу вращения Родригеса в матричной форме с θ = θ ⁄ 2 + θ ⁄ 2 вместе со стандартными формулами двойного угла получаем:

${\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}$

Это матрица поворота вокруг оси u на угол θ в форме половинного угла. Более подробную информацию см. в экспоненциальной карте SO(3) .

Обратите внимание, что для бесконечно малых углов члены второго порядка можно игнорировать и остается exp( A ) = I + A.

Связь с кососимметричными матрицами

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к вещественной ортогональной группе. $O(n)$ в единичной матрице; формально — специальная ортогональная алгебра Ли . В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения .

Другой способ сказать это состоит в том, что пространство кососимметричных матриц образует алгебру Ли $o(n)$ Лия группы $O(n).$ Скобка Ли в этом пространстве задается коммутатором :

$[A,B]=AB-BA.\,$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

${\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}$

Матричная экспонента кососимметричной матрицы $A$ тогда является ортогональной матрицей $R$:

$R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.$

Образ экспоненциального отображения алгебры Ли всегда лежит в компоненте связности группы Ли, содержащей единицу. В случае группы Ли $O(n),$ этот связный компонент является специальной ортогональной группой $SO(n),$ состоящая из всех ортогональных матриц с определителем 1. Итак $R=\exp(A)$ будет иметь определитель +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что любую ортогональную матрицу с единичным определителем можно записать как экспоненту некоторой кососимметричной матрицы. В особо важном случае размерности $n=2,$ экспоненциальное представление ортогональной матрицы сводится к известной полярной форме комплексного числа единичного модуля. Действительно, если $n=2,$ специальная ортогональная матрица имеет вид

${\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},$

с $a^{2}+b^{2}=1$. Поэтому, поставив $a=\cos \theta$ и $b=\sin \theta ,$ это можно написать

${\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),$

что в точности соответствует полярной форме $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ комплексного числа единичного модуля.

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка $n$ можно получить также исходя из того, что в размерности $n$ любая специальная ортогональная матрица $R$ можно записать как $R=QSQ^{\textsf {T}},$ где $Q$ ортогональна, а S - блочно-диагональная матрица с ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ блоки порядка 2 плюс один порядка 1, если $n$ является странным; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы $\Sigma$ формы выше, $S=\exp(\Sigma ),$ так что $R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),$ экспонента кососимметричной матрицы $Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.$ И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с упомянутой выше блочной диагонализацией для кососимметричных матриц влечет за собой блочную диагонализацию для ортогональных матриц.

См. также

• Генераторы вращений
• Бесконечно малые вращения
• Тензор бесконечно малого вращения
• Бесконечно малое преобразование
• Группа вращений SO(3)#Бесконечное вращение

Источники

• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П .; Сафко, Джон Л. (2002), Классическая механика (третье изд.), Аддисон Уэсли , ISBN  978-0-201-65702-9
• Веддерберн, Джозеф Х.М. (1934), Лекции по матрицам , AMS , ISBN  978-0-8218-3204-2