Представление оси-угла

В математике представление оси -угла параметризует вращение в трехмерном евклидовом пространстве двумя величинами: единичным вектором $e,$ указывающим направление (геометрию) оси вращения , и углом поворота $θ,$ описывающим величину и смысл ( например, по часовой стрелке ) вращения вокруг оси . Для определения направления единичного вектора $e,$ имеющего начало координат, необходимы только два числа, а не три, поскольку величина $e$ ограничена. Например, возвышения и азимута углов $e$ достаточно, чтобы найти его в любой конкретной декартовой системе координат.

По формуле вращения Родригеса угол и ось определяют преобразование, которое вращает трехмерные векторы. Вращение происходит в смысле, предписанном правилом правой руки .

Ось вращения иногда называют осью Эйлера . Представление оси-угла основано на теореме Эйлера о вращении , которая гласит, что любое вращение или последовательность вращений твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентно чистому вращению вокруг одной фиксированной оси.

Это один из многих формализмов вращения в трех измерениях .

Вектор вращения

Представление оси-угла эквивалентно более краткому вектору вращения , также называемому вектором Эйлера . В этом случае и ось вращения, и угол представляются вектором, сонаправленным оси вращения, длина которого равна углу поворота $θ$ , ${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.$ Он используется для экспоненциальных и логарифмических карт, включающих это представление.

Многие векторы вращения соответствуют одному и тому же вращению. В частности, вектор вращения длиной $θ + 2 πM$ для любого целого числа $M$ кодирует точно такое же вращение, как вектор вращения длины $θ$ . Таким образом, любому повороту соответствует по крайней мере счетная бесконечность векторов вращения. Более того, все повороты на $2 πM$ — это то же самое, что отсутствие вращения вообще, поэтому для данного целого числа $M$ все векторы вращения длиной $2 πM$ во всех направлениях составляют двухпараметрическую несчетную бесконечность векторов вращения, кодирующих одно и то же вращение. как нулевой вектор. Эти факты необходимо учитывать при инвертировании экспоненциального отображения, то есть при нахождении вектора вращения, соответствующего заданной матрице вращения. Экспоненциальное отображение соответствует , но не является взаимно однозначным .

Пример

Предположим, вы стоите на земле и выбираете направление силы тяжести как отрицательное $направление z$ . Затем, если вы повернетесь налево, вы повернетесь $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ -π / 2 ⁠$ радиан (или -90° ) вокруг $оси -z$ . Если рассматривать представление оси-угла как упорядоченную пару , это будет $(\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\-1\end{bmatrix}},{\frac {-\pi }{2}}\right).$

Приведенный выше пример можно представить как вектор вращения с величиной $⁠ π / 2 ⁠,$ указывающий в $направлении z$ , ${\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.$

Использование

Представление «ось-угол» удобно при работе с динамикой твердого тела . Это полезно как для характеристики вращения , так и для преобразования между различными представлениями движения твердого тела , такими как однородные преобразования. ^{[ нужны разъяснения ]} и крутит.

Когда твердое тело вращается вокруг фиксированной оси , данные его оси и угла представляют собой постоянную ось вращения, а угол поворота постоянно зависит от времени .

Подстановка трех собственных значений 1 и $e \pm iθ$ и связанные с ними три ортогональные оси в декартовом представлении теоремы Мерсера представляют собой удобную конструкцию декартова представления матрицы вращения в трех измерениях.

Вращение вектора

Формула вращения Родригеса , названная в честь Олинде Родригеса , представляет собой эффективный алгоритм вращения евклидова вектора с учетом оси вращения и угла поворота. Другими словами, формула Родригеса предоставляет алгоритм для вычисления экспоненциальной карты из ${\mathfrak {so}}(3)$ к $SO(3)$ без вычисления полной матричной экспоненты.

Если $v$ — вектор в $R 3$ и $e$ — единичный вектор с корнем в начале координат, описывающий ось вращения, вокруг которой $v$ поворачивается на угол $θ$ . Формула вращения Родригеса для получения повернутого вектора: $\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} \,.$

Для вращения одного вектора это может быть более эффективно, чем преобразование $e$ и $θ$ в матрицу вращения для вращения вектора.

Отношения с другими представлениями

Существует несколько способов представления вращения. Полезно понимать, как различные представления связаны друг с другом и как выполнять преобразования между ними. Здесь единичный вектор обозначается $ω$ вместо $e$ .

Экспоненциальное отображение от 𝔰𝔬(3) до SO(3)

Экспоненциальная карта осуществляет преобразование представления вращения по оси и углу в матрицы вращения . $\exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)\,.$

По сути, используя разложение Тейлора, можно получить связь в замкнутой форме между этими двумя представлениями. Учитывая единичный вектор ${\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in {\mathfrak {so}}(3)=\mathbb {R} ^{3}}$ представляющая ось вращения единицы и угол $θ \in R$ , эквивалентная матрица вращения $R$ задается следующим образом, где $K$ — матрица векторного произведения ω $,$ то есть $Kv = ω \times v$ для всех векторов $v \in R 3$ , $R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\theta \mathbf {K} +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots$

Поскольку $K$ кососимметричен, а сумма квадратов его вышедиагональных элементов равна 1, характеристический многочлен $P (t)$ для $K$ равен $P (t) = det(K - t I) = -(t 3 + т)$ . Поскольку по теореме Кэли–Гамильтона P $(K) =$ 0, отсюда следует, что $\mathbf {K} ^{3}=-\mathbf {K} \,.$ В результате $К. 4 = - К 2$ , $К 5 = К$ , $К 6 = К 2$ , $К 7 - К.$ =

Этот циклический паттерн продолжается бесконечно, поэтому все высшие степени $K$ можно выразить через $K$ и $K. 2$ . Таким образом, из приведенного выше уравнения следует, что $R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}\,,$ то есть, $R=I+(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\,,$

по формуле ряда Тейлора для тригонометрических функций .

Это лиевско-алгебраический вывод, в отличие от геометрического в статье Формула вращения Родригеса . ^[1]

Из-за существования вышеупомянутого экспоненциального отображения единичный вектор $ω,$ представляющий ось вращения, и угол $θ$ иногда называют экспоненциальными координатами матрицы вращения $R$ .

Карта журналов от SO(3) до 𝔰𝔬(3)

Пусть $K$ продолжит обозначать матрицу 3 × 3, которая влияет на векторное произведение с осью вращения $ω$ : $K (v) = ω \times v$ для всех векторов $v$ в дальнейшем.

Чтобы получить представление оси-угла матрицы вращения , вычислите угол вращения по следу матрицы вращения : $\theta =\arccos \left({\frac {\operatorname {Tr} (R)-1}{2}}\right)$ а затем используйте это, чтобы найти нормализованную ось, ${\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2\sin \theta }}{\begin{bmatrix}R_{32}-R_{23}\\R_{13}-R_{31}\\R_{21}-R_{12}\end{bmatrix}}~,$

где $R_{ij}$ является компонентом матрицы вращения, $R$ , в $i$ -й ряд и $j$ -й столбец.

Представление оси-угла не является уникальным, поскольку вращение $-\theta$ о $-{\boldsymbol {\omega }}$ то же самое, что вращение $\theta$ о ${\boldsymbol {\omega }}$ .

Приведенный выше расчет оси-вектора $\omega$ не работает, если $R$ симметричен. Для общего случая $\omega$ можно найти, используя нулевое пространство $RI$ , см. матрицу вращения#Определение оси .

Матричный логарифм матрицы вращения $R$ равен $\log R={\begin{cases}0&{\text{if }}\theta =0\\{\dfrac {\theta }{2\sin \theta }}\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)&{\text{if }}\theta \neq 0{\text{ and }}\theta \in (-\pi ,\pi )\end{cases}}$

Исключение возникает, когда $R$ имеет собственные значения, равные −1 . В этом случае журнал не уникален. Однако даже в случае $θ = π$ журнала норма Фробениуса равна $\|\log(R)\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {2}}|\theta |\,.$ Учитывая матрицы вращения $A$ и $B$ , $d_{g}(A,B):=\left\|\log \left(A^{\mathsf {T}}B\right)\right\|_{\mathrm {F} }$ - геодезическое расстояние на трехмерном многообразии матриц вращения.

Для небольших вращений приведенное выше вычисление $θ$ может быть неточным численно, поскольку производная arccos стремится к бесконечности при $θ \to 0$ . В этом случае внеосевые члены фактически дадут лучшую информацию о $θ$ для малых углов $R \approx I + θ K.$ , поскольку (Это потому, что это первые два члена ряда Тейлора для $exp(θ K)$ .)

Эта формулировка также имеет численные проблемы при $θ = π$ , где внеосевые члены не дают информации об оси вращения (которая все еще определена с точностью до неоднозначности знака). В этом случае мы должны пересмотреть приведенную выше формулу.

$R=I+\mathbf {K} \sin \theta +\mathbf {K} ^{2}(1-\cos \theta )$ При $θ = π$ имеем $R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2({\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I)=2{\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}-I$ и так пусть $B:={\boldsymbol {\omega }}\otimes {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}(R+I)\,,$ поэтому диагональные члены $B$ являются квадратами элементов $ω$ , а знаки (с точностью до неоднозначности знаков) могут быть определены из знаков внеосевых членов $B$ .

Единичные кватернионы

Следующее выражение преобразует координаты ось-угол в версоры (единичные кватернионы ): $\mathbf {q} =\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},{\boldsymbol {\omega }}\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)$

Учитывая версор $q = r + v,$ представленный скаляром r $и$ вектором $v$ , координаты ось-угол можно извлечь, используя следующее: ${\begin{aligned}\theta &=2\arccos r\\[8px]{\boldsymbol {\omega }}&={\begin{cases}{\dfrac {\mathbf {v} }{\sin {\tfrac {\theta }{2}}}},&{\text{if }}\theta \neq 0\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

Более численно стабильное выражение угла поворота использует функцию atan2 : $\theta =2\operatorname {atan2} (|\mathbf {v} |,r)\,,$ где $| в |$ — евклидова норма 3-вектора $v$ .

См. также

Однородные координаты
Псевдовектор
Ротации без матрицы
Теория винтов , представление движений и скоростей твердого тела с использованием концепций скручиваний, винтов и гаечных ключей.

Ссылки

^ Это справедливо для тройного представления группы вращения, т. е. спина 1. Информацию о представлениях/спинах более высоких размерностей см. Куртрайт, ТЛ ; Фэрли, Д.Б. ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как полиномов матрицы спина». СИГМА . 10 : 084.arXiv : 1402.3541 . Бибкод : 2014SIGMA..10..084C . дои : 10.3842/SIGMA.2014.084 . S2CID 18776942 .

[1] Это справедливо для тройного представления группы вращения, т. е. спина 1. Информацию о представлениях/спинах более высоких размерностей см. Куртрайт, ТЛ ; Фэрли, Д.Б. ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как полиномов матрицы спина». СИГМА . 10 : 084.arXiv : 1402.3541 . Бибкод : 2014SIGMA..10..084C . дои : 10.3842/SIGMA.2014.084 . S2CID 18776942 .

[1]