Формула вращения Родригеса

В теории трехмерного вращения формула вращения Родригеса , названная в честь Олинде Родригеса , представляет собой эффективный алгоритм вращения вектора в пространстве с заданной осью и углом вращения . В более широком смысле это можно использовать для преобразования всех трех базисных векторов для вычисления матрицы вращения в $SO(3)$ , группы всех матриц вращения, из представления оси-угла . С точки зрения теории Ли, формула Родригеса предоставляет алгоритм для вычисления экспоненциального отображения алгебры Ли $so (3)$ в ее группу Ли $SO(3)$ .

Эту формулу по-разному приписывают Леонарду Эйлеру , Олинде Родригесу или их комбинации. Подробный исторический анализ, проведенный в 1989 году, пришел к выводу, что эту формулу следует приписать Эйлеру, и рекомендовал назвать ее «формулой конечного вращения Эйлера». ^{[ 1 ]} Это предложение получило заметную поддержку, ^{[ 2 ]} но некоторые другие рассматривают эту формулу как лишь одну из многих вариаций формулы Эйлера-Родригеса , тем самым отдавая должное обеим. ^{[ 3 ]}

Заявление

Если $v$ - вектор в $ℝ 3$ и $k$ — единичный вектор, описывающий ось вращения, вокруг которой $v$ поворачивается на угол $θ$ в соответствии с правилом правой руки , формула Родригеса для повернутого вектора $v rot$ равна

$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} \cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta +\mathbf {k} ~(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \theta )\,.$

Интуиция приведенной выше формулы заключается в том, что первый член масштабирует вектор вниз, а второй искажает его (посредством сложения векторов ) в сторону нового положения вращения. Третий член повторно добавляет высоту (относительно ${\textbf {k}}$ ), который был потерян к первому члену.

Альтернативное утверждение состоит в том, чтобы записать вектор оси как векторное произведение $a \times b$ любых двух ненулевых векторов $a$ и $b$ , которые определяют плоскость вращения, а направление угла $θ$ измеряется от $a$ и к $b$ . Обозначая $α$ угол между этими векторами, два угла $θ$ и $α$ не обязательно равны, но они измеряются в одном и том же смысле. Тогда единичный вектор оси можно записать

\mathbf {k} ={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \alpha }}\,.

Эта форма может быть более полезной, когда задействованы два вектора, определяющие плоскость. Примером в физике является прецессия Томаса , которая включает вращение, заданное формулой Родригеса, через две неколлинеарные скорости ускорения, а ось вращения перпендикулярна их плоскости.

Вывод

Формула вращения Родригеса поворачивает $v$ на угол $θ$ вокруг вектора $k$ , разлагая его на компоненты, параллельные и перпендикулярные $k$ , и вращая только перпендикулярный компонент.

Пусть $k$ — единичный вектор, определяющий ось вращения, и пусть $v$ — любой вектор, который можно повернуть вокруг $k$ на угол $θ$ ( правило правой руки , против часовой стрелки на рисунке), создавая повернутый вектор. $\mathbb {v} _{\text{rot}}$ .

Используя скалярное и векторное произведение , вектор $v$ можно разложить на компоненты, параллельные и перпендикулярные оси $k$ :

\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }\,,

где компонента, параллельная $,$ называется векторной проекцией v $k$ на $k$ ,

\mathbf {v} _{\parallel }=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k}

,

а компонента, перпендикулярная $,$ называется вектором отклонения v $k$ от $k$ :

\mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} =-\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )

,

где последнее равенство следует из формулы тройного произведения векторов : ${\textstyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$ . Наконец, вектор $\mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {k} \times \mathbf {v}$ является копией $\mathbf {v} _{\perp }$ повернут на 90° вокруг $\mathbf {k}$ . Таким образом, три вектора $\mathbf {k} \,,\ \mathbf {v} _{\perp }\,,\,\mathbf {k} \times \mathbf {v}$ образуют правосторонний ортогональный базис $\mathbb {R} ^{3}$ , причем два последних вектора имеют одинаковую длину.

При вращении компонент $\mathbf {v} _{\parallel }$ параллельно оси не изменит ни величину, ни направление:

\mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }\,;

в то время как перпендикулярный компонент сохранит свою величину, но повернет свое направление в перпендикулярной плоскости, охватываемой $\mathbf {v} _{\perp }$ и $\mathbf {k} \times \mathbf {v}$ , в соответствии с

\mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} \,,

плоскими полярными координатами $(r, θ)$ в декартовом базисе $ex,$ e $по аналогии с y$ :

\mathbf {r} =r\cos(\theta )\mathbf {e} _{x}+r\sin(\theta )\mathbf {e} _{y}\,.

Теперь полностью повернутый вектор:

\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }+\mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }+\cos(\theta )\,\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .

Замена $\mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\|}$ или $\mathbf {v} _{\|}=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }$ в последнем выражении дает соответственно: $\mathbf {v} _{\text{rot}}=\cos(\theta )\,\mathbf {v} +(1-\cos \theta )(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} +\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} ,$ $\mathbf {v} _{\text{rot}}=\mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .$

Матричное обозначение

Линейное преобразование на $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}$ определяется векторным произведением $\mathbf {v} \mapsto \mathbf {k} \times \mathbf {v}$ задается в координатах путем представления $v$ и $k \times v$ в виде матриц-столбцов :

{\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z}-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\,.

То есть матрица этого линейного преобразования (по отношению к стандартным координатам) представляет собой матрицу векторного произведения :

\mathbf {K} =\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]\,.

То есть,

\mathbf {k} \times \mathbf {v} =\mathbf {K} \mathbf {v} ,\qquad \qquad \mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )=\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.

Таким образом, последнюю формулу в предыдущем разделе можно записать как:

\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.

Сбор терминов позволяет компактно выразить

\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \mathbf {v}

где

$\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}$

— матрица вращения на угол $θ$ против часовой стрелки вокруг оси $k$ , а $I —$ 3 × 3 единичная матрица размером . ^{[ 4 ]} матрица $R$ является элементом группы вращения $SO(3)$ ℝ $Эта 3$ , а $K$ — элемент алгебры Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ порождающая эту группу Ли (обратите внимание, что $K$ кососимметричен, что характеризует ${\mathfrak {so}}(3)$ ).

С точки зрения матричной экспоненты,

\mathbf {R} =\exp(\theta \mathbf {K} )\,.

Чтобы убедиться в справедливости последнего тождества, заметим, что

\mathbf {R} (\theta )\mathbf {R} (\phi )=\mathbf {R} (\theta +\phi ),\quad \mathbf {R} (0)=\mathbf {I} \,,

характеристика однопараметрической подгруппы , т.е. экспоненциальная, и что формулы совпадают для бесконечно малых $θ$ .

Альтернативный вывод, основанный на этой экспоненциальной зависимости, см. в экспоненциальной карте из ${\mathfrak {so}}(3)$ к $SO(3)$ . Об обратном отображении см. карту журналов от $SO(3)$ до ${\mathfrak {so}}(3)$ .

Ходжа Двойное вращение $\mathbf {R}$ это просто $\mathbf {R} ^{*}=-\sin(\theta )\mathbf {k}$ что позволяет извлечь как ось вращения, так и синус угла поворота из самой матрицы вращения с обычной двусмысленностью,

{\begin{aligned}\sin(\theta )&=\sigma \left|\mathbf {R} ^{*}\right|\\[3pt]\mathbf {k} &=-{\frac {\sigma \mathbf {R} ^{*}}{\left|\mathbf {R} ^{*}\right|}}\end{aligned}}

где $\sigma =\pm 1$ . Приведенное выше простое выражение является результатом того, что двойственные по Ходжу $\mathbf {I}$ и $\mathbf {K} ^{2}$ равны нулю, и $\mathbf {K} ^{*}=-\mathbf {k}$ .

См. также

Ссылки

^ Ченг, Хуэй; Гупта, КЦ (март 1989 г.). «Историческая заметка о конечных вращениях» . Журнал прикладной механики . 56 (1). Американское общество инженеров-механиков: 139–145. дои : 10.1115/1.3176034 . Проверено 11 апреля 2022 г.
^ Фрэйтюр, Люк (2009). «История описания трехмерного конечного вращения» . Журнал астронавтических наук . 57 (1–2). Спрингер: 207–232. дои : 10.1007/BF03321502 . Проверено 15 апреля 2022 г.
^ Дай, Цзянь С. (октябрь 2015 г.). «Варианты формулы Эйлера-Родригеса, сопряжение кватернионов и внутренние связи» . Теория механизма и машин . 92 . Эльзевир: 144–152. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 . Проверено 14 апреля 2022 г.
^ Белонги, Серж. «Формула вращения Родригеса» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 апреля 2021 г.

Леонард Эйлер , «Алгебраические задачи, связанные с совершенно исключительными эмоциями, которые следует запомнить», Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, New Comm. акад. Знать Петрополитанае 15 (1770), 75–106.
Олинде Родригес , «Геометрические законы, которые управляют смещениями твердой системы в пространстве, и изменение координат, происходящее из этих смещений, которые считаются независимыми от причин, которые могут их вызвать», Journal of Pure and Applied Mathematics 5 (1840), 380– 440. онлайн .
Фридберг, Ричард (2022). « Родригес, Олинде: «Геометрические законы, управляющие перемещениями твердой системы...», перевод и комментарии ». arXiv:2211.07787 .
Дон Кокс, (2006) Исследования в области математической физики , Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 0-387-30943-8 . Глава 4, стр. 147 и последующие. Окружной путь к геометрической алгебре

Внешние ссылки

Йохан Э. Мебиус, Вывод формулы Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений. , arXiv Общая математика 2007.
Другой описательный пример см.: http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles , Крис Хекер, раздел физики, часть 4. «Третье измерение» – на странице 3, раздел «Ось и угол» , http://chrishecker. com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf

[1] Ченг, Хуэй; Гупта, КЦ (март 1989 г.). «Историческая заметка о конечных вращениях» . Журнал прикладной механики . 56 (1). Американское общество инженеров-механиков: 139–145. дои : 10.1115/1.3176034 . Проверено 11 апреля 2022 г.

[2] Фрэйтюр, Люк (2009). «История описания трехмерного конечного вращения» . Журнал астронавтических наук . 57 (1–2). Спрингер: 207–232. дои : 10.1007/BF03321502 . Проверено 15 апреля 2022 г.

[3] Дай, Цзянь С. (октябрь 2015 г.). «Варианты формулы Эйлера-Родригеса, сопряжение кватернионов и внутренние связи» . Теория механизма и машин . 92 . Эльзевир: 144–152. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 . Проверено 14 апреля 2022 г.

[4] Белонги, Серж. «Формула вращения Родригеса» . mathworld.wolfram.com . Проверено 7 апреля 2021 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]