Однопараметрическая группа

В математике однопараметрическая группа или однопараметрическая подгруппа обычно означает непрерывный групповой гомоморфизм.

$\varphi :\mathbb {R} \rightarrow G$

с реальной линии $\mathbb {R}$ (как аддитивную группу ) к некоторой другой топологической группе $G$. Если $\varphi$ инъективен ​ тогда $\varphi (\mathbb {R} )$, изображение, будет подгруппой $G$ который изоморфен $\mathbb {R}$ как аддитивная группа.

Однопараметрические группы были введены Софусом Ли в 1893 году для определения бесконечно малых преобразований . Согласно Ли, бесконечно малое преобразование — это бесконечно малое преобразование порождаемой им однопараметрической группы. Именно эти бесконечно малые преобразования порождают алгебру Ли , которая используется для описания группы Ли любой размерности.

Действие называется однопараметрической группы на множество потоком . Гладкое векторное поле на многообразии в точке индуцирует локальный поток — однопараметрическую группу локальных диффеоморфизмов, направляющую точки по целочисленным кривым векторного поля. Локальный поток векторного поля используется для определения производной Ли тензорных полей вдоль векторного поля.

Определение

Кривая $\phi :\mathbb {R} \rightarrow G$ называется однопараметрической подгруппой группы $G$ если оно удовлетворяет условию

$\phi (t)\phi (s)=\phi (s+t)$.

Примеры

В теории Ли однопараметрические группы соответствуют одномерным подпространствам ассоциированной алгебры Ли . Соответствие группы Ли и алгебры Ли является основой науки, начатой ​​Софусом Ли в 1890-х годах.

Другой важный случай наблюдается в функциональном анализе , когда $G$ являющаяся группой унитарных операторов в гильбертовом пространстве . См. теорему Стоуна об однопараметрических унитарных группах .

В своей монографии Группы Ли» « П.М. Кон сформулировал следующую теорему:

Любая связная одномерная группа Ли аналитически изоморфна либо аддитивной группе действительных чисел, либо ${\mathfrak {R}}$, или чтобы ${\mathfrak {T}}$, аддитивная группа действительных чисел $\mod 1$. В частности, каждая 1-мерная группа Ли локально изоморфна $\mathbb {R}$.

Физика

В физике однопараметрические группы описывают динамические системы . Более того, всякий раз, когда система физических законов допускает однопараметрическую группу дифференцируемых симметрий существует сохраняющаяся величина , то согласно теореме Нётер .

В изучении пространства-времени использование единичной гиперболы для калибровки пространственно-временных измерений стало обычным явлением с тех пор, как Герман Минковский обсудил это в 1908 году. Принцип относительности был сведен к произвольному выбору того, какой диаметр единичной гиперболы использовался для определения мирового масштаба. линия . Используя параметризацию гиперболы с гиперболическим углом , специальная теория относительности предоставила исчисление относительного движения с однопараметрической группой, индексированной по быстроте . Быстрота в кинематике заменяет скорость и динамике теории относительности. Поскольку быстрота неограничена, однопараметрическая группа, на которой она стоит, некомпактна. Концепция быстроты была введена Э. Т. Уиттакером в 1910 году и названа Альфредом Роббом в следующем году. Параметр быстроты равен длине гиперболического версора — концепции девятнадцатого века. Физики-математики Джеймс Кокл , Уильям Кингдон Клиффорд и Александр Макфарлейн использовали в своих работах эквивалентное отображение декартовой плоскости с помощью оператора $(\cosh {a}+r\sinh {a})$, где $a$ - гиперболический угол и $r^{2}=+1$.

В GL(n,C)

Смотрите также: теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах.

Важный пример в теории групп Ли возникает, когда $G$ считается $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$, группа обратимых $n\times n$ матрицы со сложными элементами. В этом случае основной результат следующий:

Теорема : Предположим, $\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ представляет собой однопараметрическую группу. Тогда существует единственный $n\times n$ матрица $X$ такой, что

$\varphi (t)=e^{tX}$

для всех $t\in \mathbb {R}$.

Из этого результата следует, что $\varphi$ дифференцируема, хотя это не было условием теоремы. Матрица $X$ затем можно восстановить из $\varphi$ как

$\left.{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X$.

Этот результат можно использовать, например, для того, чтобы показать, что любой непрерывный гомоморфизм между матричными группами Ли является гладким.

Топология

Техническая сложность заключается в том, что $\varphi (\mathbb {R} )$ как подпространство ​ $G$ топологию, может иметь более грубую чем на $\mathbb {R}$; это может произойти в тех случаях, когда $\varphi$ является инъективным. Вспомните, например, случай, когда $G$ это тор $T$, и $\varphi$ состоит из намотки прямой линии вокруг $T$ на иррациональном наклоне.

В этом случае индуцированная топология может не совпадать со стандартной топологией реальной линии.

См. также

• Интегральная кривая
• Однопараметрическая полугруппа
• Теорема Нётер

Ссылки

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .