Соответствие группа Ли–алгебра Ли

В математике позволяет соответствие группа Ли – алгебра Ли сопоставить группу Ли алгебре Ли или наоборот, а также изучить условия такой связи. Группы Ли, изоморфные друг другу, имеют алгебры Ли, изоморфные друг другу, но обратное не обязательно верно. Одним из очевидных контрпримеров является $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {T} ^{n}$ (см. вещественное координатное пространство и группу окружностей соответственно), которые не изоморфны друг другу как группы Ли, но их алгебры Ли изоморфны друг другу. Однако для односвязных групп Ли соответствие группа Ли-алгебра Ли взаимно однозначно .

В этой статье группа Ли относится к реальной группе Ли. Для сложных и p -адических случаев см. комплексную группу Ли и p -адическую группу Ли . В этой статье многообразия (в частности, группы Ли) предполагаются второй счетными ; в частности, они имеют не более счетного числа компонент связности .

Основы

Алгебра Ли группы Ли

Есть разные способы понять конструкцию алгебры Ли группы Ли G . Один из подходов использует левоинвариантные векторные поля. Векторное поле X на G называется инвариантным относительно левых сдвигов, если для любых g , h в G ,

$(dL_{g})_{h}(X_{h})=X_{gh}$

где $L_{g}:G\to G$ определяется $L_{g}(x)=gx$ и $(dL_{g})_{h}:T_{h}G\to T_{gh}G$ является дифференциалом ​ $L_{g}$ между касательными пространствами .

Позволять $\operatorname {Lie} (G)$ — множество всех левоинвариантных векторных полей на G . Это настоящее векторное пространство. Более того, оно замкнуто под скобкой Ли ; то есть, $[X,Y]$ инвариантен к левому сдвигу, если X , Y являются. Таким образом, $\operatorname {Lie} (G)$ является подалгеброй Ли алгебры Ли всех векторных полей на G и называется алгеброй Ли G . Это можно понять более конкретно, отождествив пространство левоинвариантных векторных полей с касательным пространством в единице следующим образом: для данного левоинвариантного векторного поля можно взять его значение в единице, а для данного касательного вектора в единице тождество, его можно расширить до левоинвариантного векторного поля. Это соответствие взаимно однозначно в обоих направлениях, поэтому является биективным. Таким образом, алгебру Ли можно рассматривать как касательное пространство единицы и скобки X и Y в $T_{e}G$ можно вычислить, расширив их до левоинвариантных векторных полей, взяв скобки векторных полей и затем вычислив результат как единицу.

Есть еще одно воплощение $\operatorname {Lie} (G)$ как алгебра Ли примитивных элементов алгебры Хопфа распределений на G с носителем на единице; об этом см. #Связанные конструкции ниже.

Матричные группы Ли

Предположим, что G является замкнутой подгруппой GL(n; C ) и, следовательно, группой Ли по теореме о замкнутых подгруппах . Тогда алгебру Ли группы G можно вычислить как

$\operatorname {Lie} (G)=\left\{X\in M(n;\mathbb {C} )\mid e^{tX}\in G{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \right\}.$

Например, можно использовать этот критерий, чтобы установить соответствие для классических компактных групп (см. таблицу «Компактные группы Ли» ниже).

Гомоморфизмы

Если

$f:G\to H$

является гомоморфизмом группы Ли , то его дифференциал в единичном элементе

$df=df_{e}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)$

является гомоморфизмом алгебры Ли (скобки переходят в скобки), обладающим следующими свойствами:

• $\exp(df(X))=f(\exp(X))$ для всех X в Lie( G ), где «exp» — экспоненциальное отображение
• $\operatorname {Lie} (\ker(f))=\ker(df)$.
• Если образ f замкнут, затем $\operatorname {Lie} (\operatorname {im} (f))=\operatorname {im} (df)$ и справедлива первая теорема об изоморфизме : f индуцирует изоморфизм групп Ли:

  $G/\ker(f)\to \operatorname {im} (f).$

• : Действует цепное правило если $f:G\to H$ и $g:H\to K$ являются гомоморфизмами групп Ли, то $d(g\circ f)=(dg)\circ (df)$.

В частности, если H — замкнутая подгруппа группы Ли G , то $\operatorname {Lie} (H)$ является подалгеброй Ли $\operatorname {Lie} (G)$. Кроме того, если f инъективна, то f является погружением , и поэтому G называется погруженной (лиевой) подгруппой группы H . Например, $G/\ker(f)$ является погруженной подгруппой в H . Если f сюръективен, то f — субмерсия , а если, кроме того, G компактен, то f — главное расслоение со структурной группой в качестве ядра. ( лемма Эресмана )

Другие объекты недвижимости

Позволять $G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}$ быть прямым произведением групп Ли и $p_{i}:G\to G_{i}$ прогнозы. Тогда дифференциалы $dp_{i}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (G_{i})$ дайте каноническую идентификацию:

$\operatorname {Lie} (G_{1}\times \cdots \times G_{r})=\operatorname {Lie} (G_{1})\oplus \cdots \oplus \operatorname {Lie} (G_{r}).$

Если $H,H'$ являются подгруппами Ли группы Ли, то $\operatorname {Lie} (H\cap H')=\operatorname {Lie} (H)\cap \operatorname {Lie} (H').$

Пусть G — связная группа Ли. Если H — группа Ли, то любой гомоморфизм группы Ли $f:G\to H$ однозначно определяется своим дифференциалом $df$. Точнее, есть экспоненциальное отображение $\exp :\operatorname {Lie} (G)\to G$ (и один для H ) такой, что $f(\exp(X))=\exp(df(X))$ и, поскольку G связен, это определяет f однозначно. В общем случае, если U — окрестность единичного элемента в связной топологической группе G , то ${\textstyle \bigcup _{n>0}U^{n}}$ совпадает с G , поскольку первая является открытой (следовательно, закрытой) подгруппой. Сейчас, $\exp :\operatorname {Lie} (G)\to G$ определяет локальный гомеоморфизм из окрестности нулевого вектора в окрестность единичного элемента. Например, если G — группа Ли обратимых действительных квадратных матриц размера n ( общая линейная группа ), то $\operatorname {Lie} (G)$ — алгебра Ли действительных квадратных матриц размера n и ${\textstyle \exp(X)=e^{X}=\sum _{0}^{\infty }{X^{j}/j!}}$.

Переписка

Соответствие между группами Ли и алгебрами Ли включает следующие три основных результата.

• Третья теорема Ли : каждая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой односвязной группы Ли .
• Теорема о гомоморфизмах : если $\phi :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)$ является гомоморфизмом алгебры Ли, и если G односвязна, то существует (единственный) гомоморфизм группы Ли $f:G\to H$ такой, что $\phi =df$.
• Теорема о подгруппах и подалгебрах : если G — группа Ли и ${\mathfrak {h}}$ является подалгеброй Ли $\operatorname {Lie} (G)$, то существует единственная связная подгруппа Ли (не обязательно замкнутая) H группы G с алгеброй Ли ${\mathfrak {h}}$.

Во второй части переписки G. нельзя опустить предположение об односвязности Например, алгебры Ли SO(3) и SU(2) изоморфны, но соответствующего гомоморфизма SO(3) в SU(2) не существует. Скорее, гомоморфизм переходит от односвязной группы SU(2) к неодносвязной группе SO(3). Если G и H односвязны и имеют изоморфные алгебры Ли, приведенный выше результат позволяет показать, что G и H изоморфны. Один из методов построения f — использование формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа .

Для читателей, знакомых с теорией категорий, это соответствие можно резюмировать следующим образом: во-первых, операция сопоставления каждой связной группе Ли. $G$ это алгебра Ли $Lie(G)$, и каждому гомоморфизму $f$ групп Ли соответствующий дифференциал $Lie(f)=df_{e}$ в нейтральном элементе является (ковариантным) функтором $Lie$ из категории связных (вещественных) групп Ли к категории конечномерных (вещественных) алгебр Ли. Этот функтор имеет левый сопряженный функтор $\Gamma$ от (конечномерных) алгебр Ли к группам Ли (который обязательно единственен с точностью до канонического изоморфизма). Другими словами существует естественный изоморфизм бифункторов

$\mathrm {Hom} _{CLGrp}(\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} _{LAlg}({\mathfrak {g}},Lie(H)).$

$\Gamma ({\mathfrak {g}})$ — (единственная с точностью до изоморфизма) односвязная группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$. Соответствующие естественных единиц морфизмы $\epsilon \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow Lie(\Gamma ({\mathfrak {g}}))$ присоединения являются изоморфизмами, что соответствует $\Gamma$ быть полностью верным (часть второго утверждения выше). Соответствующая единица $\Gamma (Lie(H))\rightarrow H$ это каноническая проекция ${\widetilde {H}}\rightarrow H$ из односвязное покрытие ; его сюръективность соответствует $Lie$ будучи точным функтором.

Доказательство третьей теоремы Ли.

Возможно, самое элегантное доказательство первого результата, приведенного выше, использует теорему Адо , которая гласит, что любая конечномерная алгебра Ли (над полем любой характеристики) является подалгеброй Ли алгебры Ли. ${\mathfrak {gl}}_{n}$ квадратных матриц. Доказательство проводится следующим образом: по теореме Адо полагаем, что ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )=\operatorname {Lie} (GL_{n}(\mathbb {R} ))$ является подалгеброй Ли. Пусть G — замкнутая (без замыкания можно получить патологически плотный пример, как в случае иррациональной обмотки тора ) подгруппа группы $GL_{n}(\mathbb {R} )$ созданный $e^{\mathfrak {g}}$ и пусть ${\widetilde {G}}$ — односвязное G ; покрытие это нетрудно показать ${\widetilde {G}}$ является группой Ли и что накрывающее отображение является гомоморфизмом группы Ли. С $T_{e}{\widetilde {G}}=T_{e}G={\mathfrak {g}}$, это завершает доказательство.

Пример: каждый элемент X в алгебре Ли. ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ порождает гомоморфизм алгебры Ли

$\mathbb {R} \to {\mathfrak {g}},\,t\mapsto tX.$

По третьей теореме Ли, как $\operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=T_{0}\mathbb {R} =\mathbb {R}$ и exp, поскольку это тождество, этот гомоморфизм является дифференциалом гомоморфизма группы Ли $\mathbb {R} \to H$ для некоторой погруженной подгруппы H группы G . Этот гомоморфизм группы Ли, называемый однопараметрической подгруппой, порожденной X , является в точности экспоненциальным отображением $t\mapsto \exp(tX)$ и H его изображение. Предыдущее можно резюмировать так: существует каноническое биективное соответствие между ${\mathfrak {g}}$ и множество однопараметрических подгрупп группы G .

Доказательство теоремы о гомоморфизмах

Один из подходов к доказательству второй части соответствия группы Ли и алгебры Ли (теоремы о гомоморфизмах) состоит в использовании формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа , как в разделе 5.7 книги Холла. В частности, учитывая гомоморфизм алгебры Ли $\phi$ от $\operatorname {Lie} (G)$ к $\operatorname {Lie} (H)$, мы можем определить $f:G\to H$ локально (т. е. в окрестности единицы) по формуле

$f(e^{X})=e^{\phi (X)},$

где $e^{X}$ — экспоненциальное отображение для G , обратное которому определено около единицы. Теперь мы докажем, что f — локальный гомоморфизм. Таким образом, учитывая два элемента вблизи тождества $e^{X}$ и $e^{Y}$ (при малых X и Y ) мы считаем их произведение $e^{X}e^{Y}$. Согласно формуле Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа имеем $e^{X}e^{Y}=e^{Z}$, где

$Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots ,$

с $\cdots$ выраженные как повторяющиеся коммутаторы, включающие X и Y. указывая на другие термины , Таким образом,

$f\left(e^{X}e^{Y}\right)=f\left(e^{Z}\right)=e^{\phi (Z)}=e^{\phi (X)+\phi (Y)+{\frac {1}{2}}[\phi (X),\phi (Y)]+{\frac {1}{12}}[\phi (X),[\phi (X),\phi (Y)]]+\cdots },$

потому что $\phi$ является гомоморфизмом алгебры Ли. Снова используя формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа , на этот раз для группы H , мы видим, что это последнее выражение принимает вид $e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}$, и поэтому мы имеем

$f\left(e^{X}e^{Y}\right)=e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}=f\left(e^{X}\right)f\left(e^{Y}\right).$

Таким образом, f обладает свойством гомоморфизма, по крайней мере, когда X и Y достаточно малы. Этот аргумент является только локальным, поскольку экспоненциальное отображение обратимо только в небольшой окрестности единицы в G и поскольку формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа справедлива только в том случае, если X и Y малы. Предположение об G односвязности еще не использовалось.

Следующий этап рассуждений — расширение f от локального гомоморфизма до глобального. Расширение осуществляется путем определения f вдоль пути, а затем использования простой связности G, чтобы показать, что определение не зависит от выбора пути.

Представления группы Ли

Частным случаем лиева соответствия является соответствие между конечномерными представлениями группы Ли и представлениями ассоциированной алгебры Ли.

Общая линейная группа $GL_{n}(\mathbb {C} )$ является (вещественной) группой Ли и любой гомоморфизм группы Ли

$\pi :G\to GL_{n}(\mathbb {C} )$

называется представлением группы Ли G . Дифференциал

$d\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} ),$

тогда является гомоморфизмом алгебры Ли, называемым представлением алгебры Ли . (Дифференциал $d\pi$ часто обозначается просто $\pi '$.)

Теорема о гомоморфизмах (упомянутая выше как часть соответствия группы Ли и алгебры Ли) гласит, что если $G$ — односвязная группа Ли, алгебра Ли которой есть ${\mathfrak {g}}$, каждое представление ${\mathfrak {g}}$ происходит от представления G . Предположение об G односвязности является существенным. Рассмотрим, например, группу вращения SO(3) , которая не является односвязной. Существует одно неприводимое представление алгебры Ли в каждом измерении, но только нечетномерные представления алгебры Ли происходят из представлений группы. (Это наблюдение связано с различием между целым и полуцелым спином в квантовой механике.) С другой стороны, группа SU(2) просто связана с алгеброй Ли, изоморфной группе SO(3), поэтому каждое представление алгебры Ли SO(3) действительно приводит к представлению SU(2) .

Присоединенное представление

Примером представления группы Ли является присоединенное представление группы Ли G ; каждый элемент g в группе Ли G определяет автоморфизм группы G путем сопряжения: $c_{g}(h)=ghg^{-1}$; дифференциал $dc_{g}$ тогда является автоморфизмом алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$. Таким образом, мы получаем представление $\operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto dc_{g}$, называемое присоединенным представлением. Соответствующий гомоморфизм алгебры Ли ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ называется представлением присоединенным ${\mathfrak {g}}$ и обозначается $\operatorname {ad}$. Можно показать $\operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]$, из чего, в частности, следует, что скобка Ли ${\mathfrak {g}}$ определяется групповым законом на G .

По третьей теореме Ли существует подгруппа $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ из $GL({\mathfrak {g}})$ чья алгебра Ли $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$. ( $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ вообще не является закрытой подгруппой; только погруженная подгруппа.) Она называется присоединенной группой группы ${\mathfrak {g}}$. Если G связен, он вписывается в точную последовательность:

$0\to Z(G)\to G\xrightarrow {\operatorname {Ad} } \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})\to 0$

где $Z(G)$ центром Г. является Если центр G дискретен, то Ad здесь является накрывающим отображением.

Пусть G — связная группа Ли. Тогда G унимодулярна когда тогда и только тогда, $\det(\operatorname {Ad} (g))=1$ для g в G. всех

Пусть G действующая на многообразии X , и G _x — стабилизатор точки x в X. — группа Ли , Позволять $\rho (x):G\to X,\,g\mapsto g\cdot x$. Затем

• $\operatorname {Lie} (G_{x})=\ker(d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X).$
• Если орбита $G\cdot x$ локально замкнуто, то орбита является подмногообразием X и $T_{x}(G\cdot x)=\operatorname {im} (d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X)$.

Для подмножества A из ${\mathfrak {g}}$ или G , пусть

${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)=\{X\in {\mathfrak {g}}\mid \operatorname {ad} (a)X=0{\text{ or }}\operatorname {Ad} (a)X=0{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}$

$Z_{G}(A)=\{g\in G\mid \operatorname {Ad} (g)a=0{\text{ or }}ga=ag{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}$

— централизатор алгебры Ли и централизатор группы Ли A . Затем $\operatorname {Lie} (Z_{G}(A))={\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)$.

Если H — замкнутая связная подгруппа группы G , то H нормальна тогда и только тогда, когда $\operatorname {Lie} (H)$ является идеалом и в таком случае $\operatorname {Lie} (G/H)=\operatorname {Lie} (G)/\operatorname {Lie} (H)$.

Абелевы группы Ли

Основная статья: Абелева группа Ли

Пусть G — связная группа Ли. Поскольку алгебра Ли центра группы G является центром алгебры Ли группы G (см. предыдущий §), G абелева тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли абелева.

Если G абелева, то экспоненциальное отображение $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$ является сюръективным групповым гомоморфизмом. Ее ядром является дискретная группа (поскольку размерность равна нулю), называемая целочисленной решеткой группы G и обозначаемая $\Gamma$. По первой теореме об изоморфизме $\exp$ индуцирует изоморфизм ${\mathfrak {g}}/\Gamma \to G$.

По аргументу жесткости фундаментальная группа $\pi _{1}(G)$ связной группы Ли G является центральной подгруппой односвязного накрытия ${\widetilde {G}}$ из Г ; другими словами, G вписывается в центральное расширение

$1\to \pi _{1}(G)\to {\widetilde {G}}{\overset {p}{\to }}G\to 1.$

Эквивалентно, учитывая алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ и односвязная группа Ли ${\widetilde {G}}$ чья алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$, существует взаимно однозначное соответствие между частными ${\widetilde {G}}$ дискретными центральными подгруппами и связными группами Ли, имеющими алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$.

В сложном случае комплексные торы важны ; см. сложную группу Ли по этой теме.

Компактные группы Ли

Основная статья: Компактная группа Ли

Пусть G — связная группа Ли с конечным центром. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

• G компактен.
• (Вейль) Односвязное накрытие ${\widetilde {G}}$ группы G компактен.
• Присоединенная группа $\operatorname {Int} {\mathfrak {g}}$ компактен.
• Существует вложение $G\hookrightarrow O(n,\mathbb {R} )$ как закрытая подгруппа.
• Форма убийства на ${\mathfrak {g}}$ является отрицательно определенным.
• Для каждого X в ${\mathfrak {g}}$, $\operatorname {ad} (X)$ диагонализуема . и имеет нулевые или чисто мнимые собственные значения
• Существует инвариантный скалярный продукт на ${\mathfrak {g}}$.

Важно подчеркнуть, что эквивалентность предыдущих условий имеет место только в предположении, что группа G имеет конечный центр. Так, например, если G компактна с конечным центром , универсальное накрытие ${\widetilde {G}}$ также компактен. Ясно, что этот вывод неверен, если G имеет бесконечный центр, например, если $G=S^{1}$. Последние три приведенных выше условия носят чисто алгебраический характер Ли.

Компактная группа Ли	Комплексификация ассоциированной алгебры Ли	Корневая система
ВС( n +1) $=\left\{A\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\mid {\overline {A}}^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}$	${\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )$ $=\{X\in M_{n+1}(\mathbb {C} )\mid \operatorname {tr} X=0\}$	н ​
ТАК (2n + 1) $=\left\{A\in M_{2n+1}(\mathbb {R} )\mid A^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}$	${\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )$ $=\left\{X\in M_{2n+1}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\right\}$	Б н
Сп( п ) $=\left\{A\in U(2n)\mid A^{\mathrm {T} }JA=J\right\},\,J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$	${\mathfrak {sp}}(n,\mathbb {C} )$ $=\left\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }J+JX=0\right\}$	С н
ТАК( 2n ) $=\left\{A\in M_{2n}(\mathbb {R} )\mid A^{\mathrm {T} }A=I,\det(A)=1\right\}$	${\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )$ $=\left\{X\in M_{2n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\right\}$	Д н

Если G — компактная группа Ли, то

$H^{k}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )=H_{\text{dR}}(G)$

где левая часть — алгебры Ли когомологии ${\mathfrak {g}}$ а правая часть — когомологии де Рама группы G . (Грубо говоря, это следствие того факта, что любую дифференциальную форму на G можно сделать левоинвариантной с помощью аргумента усреднения.)

Связанные конструкции

Пусть G — группа Ли. Соответствующая алгебра Ли $\operatorname {Lie} (G)$ G может быть альтернативно определен следующим образом. Позволять $A(G)$ — алгебра распределений на G с носителем в единичном элементе с умножением, заданным сверткой . $A(G)$ на самом деле является алгеброй Хопфа . алгебра Ли группы G будет Тогда ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)=P(A(G))$, алгебра Ли примитивных элементов в $A(G)$. По теореме Милнора–Мура существует канонический изоморфизм $U({\mathfrak {g}})=A(G)$ между универсальной обертывающей алгеброй ${\mathfrak {g}}$ и $A(G)$.

См. также

• Компактная алгебра Ли
• Теорема Милнора – Мура
• Официальная группа
• Алгебра Ли Мальцева
• Распределение на линейной алгебраической группе

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1981), Группы и алгебры Ли (глава 3) , Элементы математики, Герман
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-56936-4 , ISBN  3540152938
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-3-319-13467-3 , ISBN.  978-3319134666
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  0-12-338460-5
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 218 (Второе изд.). Нью-Йорк Лондон: Springer-Verlag . ISBN  978-1-4419-9981-8 . OCLC   808682771 .

Внешние ссылки

• Замечания по математике 261A Группы Ли и алгебры Ли
• Попов, В.Л. (2001) [1994], «Алгебра Ли аналитической группы» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Формальная теория лжи в нулевой характеристике , запись в блоге Ахила Мэтью