Теорема о замкнутой подгруппе

В математике теорема о замкнутой подгруппе (иногда называемая теоремой Картана ) — теорема теории групп Ли . Он утверждает, что если $H$ — замкнутая подгруппа группы Ли $G$ , то $H$ — вложенная группа Ли с гладкой структурой (и, следовательно, топологией группы ), согласующейся с вложением. ^[1]^[2]^[3] Один из нескольких результатов, известных как теорема Картана . Впервые он был опубликован в 1930 году Эли Картаном . ^[4] который был вдохновлен доказательством Джона фон Неймана 1929 года особого случая для групп линейных преобразований . ^[5]^[6]

Обзор [ править ]

Пусть $G$ — группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ . Пусть теперь $H$ — произвольная замкнутая подгруппа $G.$ группы Необходимо показать, что $H$ — гладкое вложенное подмногообразие в $G$ . Первый шаг — идентифицировать что-то, что могло бы быть алгеброй Ли $H$ , то есть касательным пространством $H$ в точке идентичности. Проблема в том, что $не предполагается, что H$ обладает какой-либо гладкостью, и поэтому неясно, как можно определить ее касательное пространство. Чтобы продолжить, определите «алгебру Ли». ${\mathfrak {h}}$ H $по$ формуле

{\mathfrak {h}}=\left\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\forall t\in \mathbf {R} \right\}.

Нетрудно показать, что ${\mathfrak {h}}$ является подалгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ . ^[7] В частности, ${\mathfrak {h}}$ является подпространством ${\mathfrak {g}}$ , которое, как можно надеяться, является касательным пространством к $H$ в единице. Однако чтобы эта идея сработала, ${\mathfrak {h}}$ должен быть достаточно большим, чтобы собрать некоторую интересную информацию о $H$ . Если бы, например, $H$ была некоторой большой подгруппой $G$ , но ${\mathfrak {h}}$ оказался нулевым, ${\mathfrak {h}}$ не было бы полезно.

Ключевой шаг, таким образом, состоит в том, чтобы показать, что ${\mathfrak {h}}$ фактически захватывает все элементы $H$ , которые достаточно близки к единице. То есть необходимо доказать следующую критическую лемму:

Лемма . Возьмем небольшую окрестность $U$ начала координат в ${\mathfrak {g}}$ такое, что экспоненциальное отображение диффеоморфно отправляет $U$ в некоторую окрестность $V$ единицы в $G$ и пусть $log: V \to U$ — обратное экспоненциальное отображение. Тогда существует некоторая меньшая окрестность $W \subset V$ такая, что если $h$ принадлежит $W \cap H$ , то $log(h)$ принадлежит ${\mathfrak {h}}$ . ^[8]

Как только это будет установлено, можно использовать экспоненциальные координаты на $W$ , то есть записывать каждый $g \in W$ (не обязательно в $H$ ) как $g = e Икс$ для $X = журнал (г)$ . В этих координатах лемма утверждает, что $X$ соответствует точке из $H$ именно в том случае, если $X$ принадлежит ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ . То есть в экспоненциальных координатах вблизи единицы $H$ выглядит как ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ . С ${\mathfrak {h}}$ это просто подпространство ${\mathfrak {g}}$ , это значит, что ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ это как $Р к \subset Р н$ , с $k=\dim({\mathfrak {h}})$ и $n=\dim({\mathfrak {g}})$ . Таким образом, мы продемонстрировали « систему координат среза », в которой $H \subset G$ локально выглядит как $R к \subset Р н$ , что является условием вложенного подмногообразия. ^[9]

Стоит отметить, что Россманн показывает, что для любой подгруппы $H$ группы $G$ (не обязательно замкнутой) алгебра Ли ${\mathfrak {h}}$ из $H$ является подалгеброй Ли в ${\mathfrak {g}}$ . ^[10] Затем Россманн вводит координаты. ^[11]на $H$ , которые превращают единичный компонент $H$ в группу Ли. Однако важно отметить, что топология $H,$ исходящая из этих координат, не является топологией подмножества. То есть, единичный компонент $H$ является погруженным подмногообразием $G$ , но не вложенным подмногообразием.

В частности, сформулированная выше лемма не верна, если $H$ не замкнуто.

Пример незамкнутой подгруппы [ править ]

Тор $Г.$ Представьте себе изогнутую спираль , лежащую на поверхности, $H.$ изображающую Если $а = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}p ⁄ q$ , проще говоря, спираль закроется сама в точке $(1, 1)$ после $p$ вращений в $φ$ и q вращений в $θ$ . Если $a$ иррационально, спираль закручивается бесконечно.

В качестве примера подгруппы, которая не является вложенной подгруппой Ли, рассмотрим тор и « иррациональную обмотку тора ».

G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{pmatrix}}\right|\theta ,\phi \in \mathbf {R} \right\},

и его подгруппа

H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\}{\text{with Lie algebra }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\},

с

иррациональным

. Тогда

H

плотно и, следовательно , в

G

не замкнуто. ^[12]В относительной топологии небольшое открытое подмножество

H

состоит из бесконечного числа почти параллельных отрезков прямых на поверхности тора. Это означает, что

H

не является локально связным . В групповой топологии малые открытые множества представляют собой отдельные отрезки прямых на поверхности тора, а

H

. локально связен

Пример показывает, что для некоторых групп $H$ в сколь угодно малой окрестности $U$ в относительной топологии $τ r$ единицы можно найти точки , являющиеся экспонентами элементов $h$ , но их нельзя соединить с единицей путем, остающимся в $U$ . ^[13]Группа $(H, τ r)$ не является группой Ли. Хотя отображение $exp : h \to (H, τ r)$ является аналитической биекцией, его обратное не является непрерывным. То есть, если $U \subset h$ соответствует небольшому открытому интервалу $- ε < θ < ε$ , не существует открытого $V \subset (H, τ r)$ с $log(V) \subset U$ из-за появления множеств $V$ . с групповой топологией $τg H$ Однако $(, τg) является группой$ Ли. В этой топологии вложение $ι : (H, τg, а значит ,) \to G$ является аналитическим инъективным погружением, но не гомеоморфизмом и не вложением. Существуют также примеры групп $H$ , для которых в сколь угодно малой окрестности (в относительной топологии) единицы можно найти точки, не являющиеся экспонентами элементов $h$ . ^[14] Для замкнутых подгрупп это не так, как показывает приведенное ниже доказательство теоремы.

Приложения [ править ]

Из-за заключения теоремы некоторые авторы решили определить линейные группы Ли или матричные группы Ли как замкнутые подгруппы $GL(n, R)$ или $GL(n, C)$ . ^[15] В этом случае доказывается, что каждый элемент группы, достаточно близкий к единице, является экспонентой элемента алгебры Ли. ^[8] (Доказательство практически идентично доказательству теоремы о замкнутой подгруппе, представленному ниже.) Отсюда следует, что каждая замкнутая подгруппа является вложенным подмногообразием в $GL(n, C)$ ^[16]

Теорема о построении однородного пространства . Если $H \subset G$ — замкнутая подгруппа Ли , то $G / H$ , левое смежное пространство, имеет уникальную вещественно-аналитическую структуру многообразия, такую, что фактор-отображение $π : G \to G / H$ является аналитической субмерсией. . Левое действие, заданное выражением $g 1 \cdot (g 2 H) = (g 1 g 2) H,$ превращает $G / H$ в однородное $G$ -пространство .

Теорема о замкнутой подгруппе теперь значительно упрощает гипотезы, априорно расширяя класс однородных пространств. Любая замкнутая подгруппа дает однородное пространство.

Аналогичным образом теорема о замкнутой подгруппе упрощает гипотезу следующей теоремы.

Если

X

— множество с транзитивным групповым действием , а группа изотропии или стабилизатор точки

x \in X

— замкнутая подгруппа Ли, то

X

имеет уникальную структуру гладкого многообразия, такую что действие гладкое.

Условия закрытия [ править ]

несколько достаточных условий $замкнутости H \subset G$ Ниже приведены , а значит, и вложенной группы Ли.

Все классические группы замкнуты в $GL(F, n)$ , где $F$ — это $R$ , $C$ или $H$ , кватернионы .
Подгруппа, которая является локально закрытой, является закрытой. ^[17] Подгруппа называется локально замкнутой, если каждая точка имеет окрестность в $U \subset G$ такую, что $H \cap U$ замкнута в $U$ .
Если $H = AB = {ab | a \in A, b \in B}$ , где $A$ — компактная группа, а $B$ — замкнутое множество, то $H$ замкнуто. ^[18]
Если $h \subset g$ — подалгебра Ли такая, что ни для одного $X \in g ∖ h, [X, h] \in h$ , то $Γ(h)$ — группа, порожденная $e час$ , замкнуто в $G$ . ^[19]
Если $X \in g$ , то однопараметрическая подгруппа , порожденная $X,$ не является замкнутой тогда и только тогда, когда $X$ подобен над $C$ диагональной матрице с двумя элементами иррационального отношения. ^[20]
Пусть $h \subset g$ — подалгебра Ли. Если существует односвязная компактная группа $k$ где $k$ изоморфна $h$ , то $Γ(h)$ замкнута в $G.$ , ^[21]
Если G односвязна и $h \subset g$ — идеал , то связная подгруппа Ли с алгеброй Ли $h$ замкнута. ^[22]

Конверс [ править ]

Вложенная подгруппа Ли $H \subset G$ замкнута. ^[23]поэтому подгруппа является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда она замкнута. Эквивалентно, $H$ является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда ее топология группы равна ее относительной топологии. ^[24]

Доказательство [ править ]

Джон фон Нейман в 1929 году доказал теорему для матричных групп , приведенную здесь. Он был видным во многих областях, включая квантовую механику , теорию множеств и основы математики .

Доказательство приведено для групп матриц с $G = GL(n, R)$ для конкретности и относительной простоты, поскольку матрицы и их экспоненциальное отображение являются более простыми понятиями, чем в общем случае. Исторически этот случай был первым доказан Джоном фон Нейманом в 1929 году и вдохновил Картана на доказательство теоремы о полной замкнутой подгруппе в 1930 году. ^[5]^[6] Доказательство для общего $G$ формально идентично: ^[25]за исключением того, что элементы алгебры Ли являются левоинвариантными векторными полями на $G$ , а экспоненциальное отображение - это поток векторного поля, равный времени один. Если $H \subset G$ с $G$ , замкнутым в $GL(n, R)$ , то $H$ замкнуто в $GL(n, R)$ , поэтому специализация на $GL(n, R)$ вместо произвольного $G \subset GL(n, R)$ не имеет большого значения. .

Доказательство ключевой леммы [ править ]

Начнем с установления ключевой леммы, изложенной в разделе «Обзор» выше.

Наделите $g$ ( скалярным произведением например, скалярным произведением Гильберта–Шмидта ), и пусть $h$ — алгебра Ли $H$ , определенная как $h = {X \in M n (R) = g | е Техас \in ЧАС \forall т \in р}$ . Пусть $s = {S \in g | (S, T) знак равно 0 \forall T \in час}$ , ортогональное дополнение к $часу$ . Тогда $g$ разлагается в прямую сумму $g = s \oplus h$ , поэтому каждый $X \in g$ однозначно выражается как $X = S + T,$ где $S \in s, T \in h$ .

Определим отображение $Φ: g \to GL(n, R)$ посредством $(S, T) \mapsto e С Это Т$ . Разложим экспоненты,

\Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),

и форвард или дифференциал в точке

0

,

Φ ∗ ( S , T ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d / dt Φ( tS , tT ) | t = 0

рассматривается как

S + T

, т.е.

Φ * = Id

, тождество. Условие теоремы об обратной функции удовлетворяется с

аналитическим Φ

, и, таким образом, существуют открытые множества

U 1 \subset g, V 1 \subset GL(n, R)

с

0 \in U 1

и

I \in V 1

такие, что

Φ

является вещественным числом. аналитическая биекция из

U 1

в

V 1

с аналитическим обратным. Осталось показать, что

U 1

и

V 1

содержат открытые множества

U

и

V

такие, что выполнено заключение теоремы.

Рассмотрим счетный базис окрестностей $Β$ в точке $\in g$ , линейно упорядоченный обратным включением, $B1 причем \subset U1 0$ . ^[а] Предположим, чтобы получить противоречие, что для всех $Φ$ i $(B i) \cap H$ содержит элемент $h i$ , который не имеет вида $h i = e Т я, Т я \in час$ . Тогда, поскольку $Φ$ является биекцией на $B i$ , существует единственная последовательность $X i = S i + T i$ , причем $0 \neq Si \in, s$ и $T i \in h,$ такая, что $X i \in B i$ сходящаяся к $0$ потому что $Β$ является базисом окрестности, с $e S И Это Т я = час я$ . Поскольку $е Т я \in H$ и $час i \in H$ , $e S И принадлежит H.$ также

Нормализовать последовательность в $s$ , $Y i = S я / || С я ||$ . Она принимает свои значения в единичной сфере в $s$ и, поскольку она компактна , существует сходящаяся подпоследовательность, сходящаяся к $Y \in s$ . ^[26]Индекс $i$ в дальнейшем относится к этой подпоследовательности. Будет показано, что $е tY \in ЧАС, \forall т \in р$ . Зафиксируйте $t$ и выберите последовательность $m i$ целых чисел $такую, что m i || С я || \to т$ как $я \to \infty$ . Например, $m i$ такое, что $m i || С я || \leq т \leq (м я + 1) || С я ||$ подойдет, так как $S i \to 0$ . Затем

(e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.

Поскольку $H$ — группа, левая часть находится в $H$ для всех $i$ . Поскольку $H$ замкнуто, $e tY \in ЧАС, \forall т$ , ^[27]следовательно, $Y \in h$ . Это противоречие. Следовательно, для некоторого $i$ множества $U = Βi и$ V $= Φ(Βi) удовлетворяют$ условиям $e U \cap h = H \cap V$ , а экспонента, ограниченная открытым множеством $(U \cap h) \subset h,$ находится в аналитической биекции с открытым множеством $Φ(U) \cap H \subset H$ . Это доказывает лемму.

Доказательство теоремы [ править ]

Для $j \geq i$ образ $H$ в $B j$ образует $I$ базис окрестности $в$ . Это, по способу построения, базис окрестности как в групповой топологии, так и в относительной топологии . Поскольку умножение в $G$ является аналитическим, сдвиг этого базиса окрестности влево и вправо на элемент группы $g \in G$ дает базис окрестности в $g$ . Эти базисы, ограниченные $H,$ дают базы окрестностей при всех $h \in H$ . Топология, создаваемая этими базами, является относительной топологией. Вывод состоит в том, что относительная топология такая же, как и групповая топология.

Затем постройте координатные карты на $H$ . Сначала определим $φ 1 : e (У) \subset грамм \to грамм, грамм \mapsto журнал(грамм)$ . Это аналитическая биекция с аналитической обратной. Более того, если $h \in H$ , то $φ 1 (h) \in h$ . Зафиксировав базис для $g = h \oplus s$ и отождествив $g$ с $R н$ , то в этих координатах $φ 1 (h) = (x 1 (h), ..., x m (h), 0, ..., 0)$ , где $m$ — размерность $h$ . Это показывает, что $(е В, φ 1)$ представляет собой срезную диаграмму . Путем перевода карт, полученных из счетного базиса окрестностей, использованного выше, можно получить срезовые карты вокруг каждой точки в $H$ . Это показывает, что $H$ является вложенным подмногообразием $G$ .

Более того, умножение $m$ и инверсия $i$ в $H$ аналитичны, поскольку эти операции аналитичны в $G$ , а ограничение на подмногообразие (вложенное или погруженное) с относительной топологией снова дает аналитические операции $m : H \times H \to G$ и $i : H \times H \to Г$ . ^[28] Но поскольку $H$ вложенно, $m : H \times H \to H$ и $i : H \times H \to H$ также аналитичны. ^[29]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Для этого можно выбрать открытые шары, $В = {B k | диаметр(B k) = 1 / k + m, k \in N}$ для некоторого достаточно большого $m$ такого, что $B 1 \subset U 1$ . Здесь используется метрика, полученная из скалярного произведения Гильберта–Шмидта.

Цитаты [ править ]

^ Ли 2003 , Теорема 20.10. Ли формулирует и доказывает эту теорему во всей общности.
^ Россманн 2002 , Теорема 1, раздел 2.7 Россманн формулирует теорему для линейных групп. Утверждается, что существует открытое подмножество $U \subset g$ такое, что $U \times H \to G, (X, H) \to e Икс H$ — аналитическая биекция на открытую окрестность $H$ в $G$ .
^ Холл 2015 , Для линейных групп Холл доказывает аналогичный результат в следствии 3.45.
^ Картман 1930 , § 26.
^ Перейти обратно: ^а ^б фон Нейман 1929 год .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бохнер 1958 .
^ Холл 2015 , Теорема 3.20.
^ Перейти обратно: ^а ^б Холл 2015 , Теорема 3.42.
^ Ли 2003 , Глава 5.
^ Россманн 2002 , Глава 2, предложение 1 и следствие 7.
^ Россманн 2002 , Раздел 2.3.
^ Ли 2003 , Пример 7.3.
^ Россманн 2002 , см. комментарий к следствию 5, раздел 2.2.
^ Россман 2002 .
^ Например , Холл 2015 . См. определение в главе 1.
^ Холл 2015 , Следствие 3.45.
^ Россманн 2002 , Задача 1. Раздел 2.7.
^ Россманн 2002 , Задача 3. Раздел 2.7.
^ Россманн 2002 , Задача 4. Раздел 2.7.
^ Россманн 2002 , Задача 5. Раздел 2.7.
^ Холл 2015 , Результат следует из теоремы 5.6.
↑ Hall 2015 , Упражнение 14 в главе 5.
^ Ли 2003 , Следствие 15.30.
^ Россманн 2002 , Задача 2. Раздел 2.7.
^ См., например, Lee 2003, глава 21.
^ Уиллард 1970 , Согласно задаче 17G, s секвенциально компактна, то есть каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
^ Уиллард 1970 , Следствие 10.5.
^ Ли 2003 , Предложение 8.22.
^ Ли 2003 , Следствие 8.25.

Ссылки [ править ]

Бохнер, С. (1958), «Джон фон Нейман 1903–1957» (PDF) , Биографические мемуары Национальной академии наук : 438–456 . См., в частности , стр. 441 .
Картан, Эли (1930), «Теория конечных и непрерывных групп и анализ положения », Mémorial Sc. , полет. XLII, стр. 1–61
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников Springer по математике, том. 218, ISBN 0-387-95448-1
Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
фон Нейман, Джон (1929), «Об аналитических свойствах групп линейных преобразований и их представлений», Mathematical Journal (на немецком языке), 30 (1): 3–42, doi : 10.1007/BF01187749 , S2CID 122565679
Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Dover Publications, ISBN 0-486-43479-6

[26] Для этого можно выбрать открытые шары, $В = {B k | диаметр(B k) = 1 / k + m, k \in N}$ для некоторого достаточно большого $m$ такого, что $B 1 \subset U 1$ . Здесь используется метрика, полученная из скалярного произведения Гильберта–Шмидта.

[FOOTNOTELee2003Theorem_20.10._Lee_states_and_proves_this_theorem_in_all_generality-1] Ли 2003 , Теорема 20.10. Ли формулирует и доказывает эту теорему во всей общности.

[FOOTNOTERossmann2002Theorem_1,_Section_2.7_Rossmann_states_the_theorem_for_linear_groups._The_statement_is_that_there_is_an_open_subset_<span_class="texhtml_"_>''U''_⊂_'''g'''</span>_such_that_<span_class="texhtml_"_>''U''_×_''H''_→_''G'',_(''X'',_''H'')_→_e<sup>''X''</sup>''H''</span>_is_an_analytic_bijection_onto_an_open_neighborhood_of_<span_class="texhtml_"_>''H''</span>_in_<span_class="texhtml_"_>''G''</span>-2] Россманн 2002 , Теорема 1, раздел 2.7 Россманн формулирует теорему для линейных групп. Утверждается, что существует открытое подмножество $U \subset g$ такое, что $U \times H \to G, (X, H) \to e Икс H$ — аналитическая биекция на открытую окрестность $H$ в $G$ .

[FOOTNOTEHall2015For_linear_groups,_Hall_proves_a_similar_result_in_Corollary_3.45-3] Холл 2015 , Для линейных групп Холл доказывает аналогичный результат в следствии 3.45.

[FOOTNOTECartan1930§_26-4] Картман 1930 , § 26.

[FOOTNOTEvon_Neumann1929-5] Перейти обратно: ^а ^б фон Нейман 1929 год .

[FOOTNOTEBochner1958-6] Перейти обратно: ^а ^б Бохнер 1958 .

[FOOTNOTEHall2015Theorem_3.20-7] Холл 2015 , Теорема 3.20.

[FOOTNOTEHall2015Theorem_3.42-8] Перейти обратно: ^а ^б Холл 2015 , Теорема 3.42.

[FOOTNOTELee2003Chapter_5-9] Ли 2003 , Глава 5.

[FOOTNOTERossmann2002Chapter_2,_Proposition_1_and_Corollary_7-10] Россманн 2002 , Глава 2, предложение 1 и следствие 7.

[FOOTNOTERossmann2002Section_2.3-11] Россманн 2002 , Раздел 2.3.

[FOOTNOTELee2003Example_7.3-12] Ли 2003 , Пример 7.3.

[FOOTNOTERossmann2002See_comment_to_Corollary_5,_Section_2.2-13] Россманн 2002 , см. комментарий к следствию 5, раздел 2.2.

[FOOTNOTERossmann2002-14] Россман 2002 .

[15] Например , Холл 2015 . См. определение в главе 1.

[FOOTNOTEHall2015Corollary_3.45-16] Холл 2015 , Следствие 3.45.

[FOOTNOTERossmann2002Problem_1._Section_2.7-17] Россманн 2002 , Задача 1. Раздел 2.7.

[FOOTNOTERossmann2002Problem_3._Section_2.7-18] Россманн 2002 , Задача 3. Раздел 2.7.

[FOOTNOTERossmann2002Problem_4._Section_2.7-19] Россманн 2002 , Задача 4. Раздел 2.7.

[FOOTNOTERossmann2002Problem_5._Section_2.7-20] Россманн 2002 , Задача 5. Раздел 2.7.

[FOOTNOTEHall2015The_result_follows_from_Theorem_5.6-21] Холл 2015 , Результат следует из теоремы 5.6.

[FOOTNOTEHall2015Exercise_14_in_Chapter_5-22] Hall 2015 , Упражнение 14 в главе 5.

[FOOTNOTELee2003Corollary_15.30-23] Ли 2003 , Следствие 15.30.

[FOOTNOTERossmann2002Problem_2._Section_2.7-24] Россманн 2002 , Задача 2. Раздел 2.7.

[25] См., например, Lee 2003, глава 21.

[FOOTNOTEWillard1970By_problem_17G,_'''s'''_is_sequentially_compact,_meaning_every_sequence_has_a_convergent_subsequence-27] Уиллард 1970 , Согласно задаче 17G, s секвенциально компактна, то есть каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

[FOOTNOTEWillard1970Corollary_10.5-28] Уиллард 1970 , Следствие 10.5.

[FOOTNOTELee2003Proposition_8.22-29] Ли 2003 , Предложение 8.22.

[FOOTNOTELee2003Corollary_8.25-30] Ли 2003 , Следствие 8.25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[а]

[26]

[27]

[28]

[29]