Простая алгебра Ли

В алгебре простая алгебра Ли — это алгебра Ли неабелева , не содержащая ненулевых собственных идеалов . Классификация вещественных простых алгебр Ли — одно из главных достижений Вильгельма Киллинга и Эли Картана .

Прямая сумма простых алгебр Ли называется полупростой алгеброй Ли .

Простая группа Ли — это связная группа Ли, алгебра Ли которой проста.

Ли Сложные простые алгебры

Конечномерная простая комплексная алгебра Ли изоморфна любому из следующих: ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ , ${\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C}$ , ${\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}$ ( классические алгебры Ли ) или одну из пяти исключительных алгебр Ли . ^[1]

Каждой конечномерной комплексной полупростой алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ , существует соответствующая диаграмма (называемая диаграммой Дынкина ), где узлы обозначают простые корни, узлы соединены (или не соединены) рядом линий в зависимости от углов между простыми корнями, а стрелки поставлены для обозначения того, корни длиннее или короче. ^[2] Диаграмма Дынкина ${\mathfrak {g}}$ связно тогда и только тогда, когда ${\mathfrak {g}}$ это просто. Все возможные связные диаграммы Дынкина следующие: ^[3]

где n — количество узлов (простых корней). Соответствие диаграмм и сложных простых алгебр Ли следующее: ^[2]

(А _н )

\quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C}

(Б _н )

\quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C}

( _Сн )

\quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}

(Д _н )

\quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C}

Остальное — исключительные алгебры Ли .

простые Настоящие Ли алгебры

Если ${\mathfrak {g}}_{0}$ — конечномерная вещественная простая алгебра Ли, ее комплексификация либо (1) проста, либо (2) является произведением простой комплексной алгебры Ли и ее сопряженной . Например, усложнение ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ рассматриваемая как настоящая алгебра Ли, ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}$ . Таким образом, настоящую простую алгебру Ли можно классифицировать с помощью классификации сложных простых алгебр Ли и некоторой дополнительной информации. Это можно сделать с помощью диаграмм Сатаке , обобщающих диаграммы Дынкина . См. также Таблицу групп Ли # Реальные алгебры Ли для получения частичного списка вещественных простых алгебр Ли.

Примечания [ править ]

^ Фултон и Харрис 1991 , Теорема 9.26.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Фултон и Харрис 1991 , § 21.1.
^ Фултон и Харрис 1991 , § 21.2.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
Джейкобсон, Натан, Алгебры Ли , Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN 0-486-63832-4 ; В главе X рассматривается классификация простых алгебр Ли над полем нулевой характеристики.

«Алгебра Ли, полупростая» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Простая алгебра Ли в n Lab

[1] Фултон и Харрис 1991 , Теорема 9.26.

[21.1.-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Фултон и Харрис 1991 , § 21.1.

[3] Фултон и Харрис 1991 , § 21.2.

[1]

[2]

[3]