Комплексная алгебра Ли

В математике комплексная алгебра Ли — это алгебра Ли над комплексными числами .

Дана комплексная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ , его сопряжение ${\overline {\mathfrak {g}}}$ является комплексной алгеброй Ли с тем же вещественным векторным пространством , но с $i={\sqrt {-1}}$ действуя как $-i$ вместо. ^[1] Как реальная алгебра Ли, комплексная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ тривиально изоморфен своему сопряженному. Комплексная алгебра Ли изоморфна сопряженной ей тогда и только тогда, когда она допускает действительную форму (и считается, что она определена над действительными числами).

Реальная форма

Дана комплексная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ , настоящая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}_{0}$ считается реальной формой ${\mathfrak {g}}$ если комплексификация ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ изоморфен ${\mathfrak {g}}$ .

Реальная форма ${\mathfrak {g}}_{0}$ абелева (соответственно нильпотентна, разрешима, полупроста) тогда и только тогда, когда ${\mathfrak {g}}$ абелева (соответственно нильпотентна, разрешима, полупроста). ^[2] С другой стороны, реальная форма ${\mathfrak {g}}_{0}$ является простым тогда и только тогда, когда либо ${\mathfrak {g}}$ является простым или ${\mathfrak {g}}$ имеет форму ${\mathfrak {s}}\times {\overline {\mathfrak {s}}}$ где ${\mathfrak {s}},{\overline {\mathfrak {s}}}$ просты и являются сопряженными друг с другом. ^[2]

Существование вещественной формы в комплексной алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ подразумевает, что ${\mathfrak {g}}$ изоморфен своему сопряженному; ^[1] действительно, если ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} ={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}$ , тогда пусть $\tau :{\mathfrak {g}}\to {\overline {\mathfrak {g}}}$ обозначают $\mathbb {R}$ -линейный изоморфизм, индуцированный комплексно-сопряженным, а затем

\tau (i(x+iy))=\tau (ix-y)=-ix-y=-i\tau (x+iy)

,

то есть $\tau$ на самом деле это $\mathbb {C}$ -линейный изоморфизм.

Наоборот, ^{[ нужны разъяснения ]} предположим, что есть $\mathbb {C}$ -линейный изоморфизм $\tau :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}{\overline {\mathfrak {g}}}$ ; без ограничения общности мы можем предположить, что это тождественная функция в базовом реальном векторном пространстве. Затем определите ${\mathfrak {g}}_{0}=\{z\in {\mathfrak {g}}|\tau (z)=z\}$ , которая, очевидно, является реальной алгеброй Ли. Каждый элемент $z$ в ${\mathfrak {g}}$ можно записать однозначно как $z=2^{-1}(z+\tau (z))+i2^{-1}(i\tau (z)-iz)$ . Здесь, $\tau (i\tau (z)-iz)=-iz+i\tau (z)$ и аналогично $\tau$ исправления $z+\tau (z)$ . Следовательно, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}$ ; то есть, ${\mathfrak {g}}_{0}$ это реальная форма.

Комплексная алгебра Ли комплексной группы Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — полупростая комплексная алгебра Ли, которая является алгеброй Ли комплексной группы Ли. $G$ . Позволять ${\mathfrak {h}}$ быть Картана подалгеброй ${\mathfrak {g}}$ и $H$ подгруппа Ли, соответствующая ${\mathfrak {h}}$ ; конъюгаты $H$ называются подгруппами Картана .

Предположим, что существует разложение ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ задано выбором положительных корней. Тогда экспоненциальное отображение определяет изоморфизм из ${\mathfrak {n}}^{+}$ в закрытую подгруппу $U\subset G$ . ^[3] Подгруппа Лия $B\subset G$ соответствующая подалгебре Бореля ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ замкнуто и является полупрямым произведением $H$ и $U$ ; ^[4] конъюгаты $B$ называются борелевскими подгруппами .

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Кнапп 2002 , гл. VI, § 9.
^ Jump up to: ^а ^б Серр 2001 , Гл. II, § 8, Теорема 9.
^ Серр 2001 , Гл. VIII, § 4, теорема 6 (а).
^ Серр 2001 , Гл. VIII, § 4, теорема 6 (б).

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4259-5 . .
Серр, Жан-Пьер (2001). Комплексные полупростые алгебры зацепления . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-5406-7827-1 .

Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[Knapp-1] Jump up to: ^а ^б Кнапп 2002 , гл. VI, § 9.

[Theorem_9-2] Jump up to: ^а ^б Серр 2001 , Гл. II, § 8, Теорема 9.

[3] Серр 2001 , Гл. VIII, § 4, теорема 6 (а).

[4] Серр 2001 , Гл. VIII, § 4, теорема 6 (б).

[1]

[2]

[3]

[4]