Борелевская подалгебра

В математике, особенно в теории представлений , борелевская подалгебра алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ является максимальной разрешимой подалгеброй. ^[1] Понятие названо в честь Армана Бореля .

Если алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли комплексной группы Ли , то борелевская подалгебра — это алгебра Ли борелевской подгруппы .

Подалгебра Бореля, связанная с флагом

Позволять ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ — алгебра Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V над комплексными числами. Затем, чтобы указать борелевскую подалгебру ${\mathfrak {g}}$ суммы для флага V указания ; дали флаг $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ , подпространство ${\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid x(V_{i})\subset V_{i},1\leq i\leq n\}$ является борелевской подалгеброй, ^[2] и наоборот, каждая борелевская подалгебра имеет такой вид по теореме Ли . Следовательно, борелевские подалгебры классифицируются по многообразию флагов V .

Подалгебра Бореля относительно основания корневой системы

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — комплексная полупростая алгебра Ли , ${\mathfrak {h}}$ и подалгебра Картана R — система связанная с ними корневая . Выбор основания R дает понятие положительных корней. Затем ${\mathfrak {g}}$ имеет разложение ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ где ${\mathfrak {n}}^{\pm }=\sum _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }$ . Затем ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ является подалгеброй Бореля относительно приведенной выше установки. ^[3] (Она разрешима, поскольку производная алгебра $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]$ является нильпотентным. Она максимально разрешима по теореме Бореля–Морозова о сопряженности разрешимых подалгебр. ^[4])

Учитывая ${\mathfrak {g}}$ -модуля V примитивный элемент V — это (ненулевой) вектор, который (1) является весовым вектором для ${\mathfrak {h}}$ и что (2) аннулируется ${\mathfrak {n}}^{+}$ . Это то же самое, что ${\mathfrak {b}}$ -весовой вектор (Доказательство: если $h\in {\mathfrak {h}}$ и $e\in {\mathfrak {n}}^{+}$ с $[h,e]=2e$ и если ${\mathfrak {b}}\cdot v$ это линия, то $0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v$ .)