Параболическая алгебра Ли

В алгебре — параболическая алгебра Ли. ${\mathfrak {p}}$ является подалгеброй полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ удовлетворяющее одному из следующих двух условий:

• ${\mathfrak {p}}$ содержит максимальную разрешимую подалгебру ( борелевскую подалгебру ) в ${\mathfrak {g}}$;
• ортогональное дополнение относительно Киллинга формы ${\mathfrak {p}}$ в ${\mathfrak {g}}$ является нильрадикалом ​ ${\mathfrak {p}}$.

Эти условия эквивалентны над алгебраически замкнутым полем , нулевой характеристики таким как комплексные числа . Если поле $\mathbb {F}$ не является алгебраически замкнутым, то первое условие заменяется предположением, что

• ${\mathfrak {p}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}$ содержит борелевскую подалгебру ${\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}$

где ${\overline {\mathbb {F} }}$ является алгебраическим замыканием $\mathbb {F}$.

Примеры

Для общей линейной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {F} )$, параболическая подалгебра является стабилизатором флага частичного $\mathbb {F} ^{n}$, т.е. последовательность вложенных линейных подпространств. Для полного флага стабилизатор дает борелевскую подалгебру. Для одного линейного подпространства $\mathbb {F} ^{k}\subset \mathbb {F} ^{n}$, получается максимальная параболическая подалгебра ${\mathfrak {p}}$, а пространство возможных выборов – это грассманиан $\mathrm {Gr} (k,n)$.

В общем случае для сложной простой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$параболические подалгебры находятся в биекции с подмножествами простых корней , т.е. подмножествами узлов диаграммы Дынкина .

См. также

• Обобщенная разновидность флагов
• Параболическая подгруппа группы отражений

Библиография

• Бастон, Роберт Дж.; Иствуд, Майкл Г. (2016) [1989], Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представлений , Дувр, ISBN  9780486816623
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Гротендик, Александр (1957), «О классификации голоморфных расслоений на сфере Римана», Amer. Дж. Математика. , 79 (1): 121–138, номер документа : 10.2307/2372388 , JSTOR   2372388 .
• Хамфрис, Дж. (1972), Линейные алгебраические группы , Springer, ISBN  978-0-387-90108-4