Алгебраическое замыкание

В математике , особенно в абстрактной алгебре , алгебраическое замыкание поля , K — это алгебраическое расширение поля K которое является алгебраически замкнутым . Это одно из многих замыканий в математике.

Используя лемму Цорна ^[1]^[2]^[3] или более слабая лемма об ультрафильтре , ^[4]^[5]можно показать, что поле имеет алгебраическое замыкание и что алгебраическое замыкание поля K уникально с точностью до изоморфизма , который фиксирует каждый член K. каждое Из-за этой существенной единственности мы часто говорим об алгебраическом замыкании K , а не алгебраическом замыкании K. об

Алгебраическое замыкание поля K можно рассматривать как наибольшее алгебраическое расширение K. поля обратите внимание, что если L — любое алгебраическое расширение K , то алгебраическое замыкание L также является алгебраическим замыканием K , и поэтому L содержится внутри алгебраического замыкания K. Чтобы убедиться в этом , Алгебраическое замыкание K также является наименьшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K , потому что если M — любое алгебраически замкнутое поле, содержащее K , то элементы M , алгебраические над K, алгебраическое замыкание K. образуют

Алгебраическое замыкание поля K имеет ту же мощность, что и K , если K бесконечно, и счетно бесконечно, если K конечно. ^[3]

Примеры [ править ]

Основная теорема алгебры гласит, что алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел .
Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел .
Внутри комплексных чисел существует множество счетных алгебраически замкнутых полей, строго содержащих поле алгебраических чисел; это алгебраические замыкания трансцендентных расширений рациональных чисел, например алгебраическое замыкание Q (π).
Для конечного поля степени простой порядка q алгебраическое замыкание представляет собой счетно бесконечное поле, содержащее копию поля порядка q. ^н для каждого натурального числа n (и фактически является объединением этих копий). ^[6]

Существование алгебраического замыкания и полей расщепления [ править ]

Позволять $S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ — множество всех монических неприводимых полиномов в K [ x ]. Для каждого $f_{\lambda }\in S$ , ввести новые переменные $u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}$ где $d={\rm {degree}}(f_{\lambda })$ . Пусть R — кольцо полиномов над K , порожденное $u_{\lambda ,i}$ для всех $\lambda \in \Lambda$ и все $i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda })$ . Писать

f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]

с $r_{\lambda ,j}\in R$ . Пусть I — идеал в R , порожденный $r_{\lambda ,j}$ . Поскольку I строго меньше R , Из леммы Цорна следует, что существует максимальный идеал M в R , содержащий I . Поле K ₁ = R / M обладает тем свойством, что каждый полином $f_{\lambda }$ с коэффициентами в K разбивается как произведение $x-(u_{\lambda ,i}+M),$ и, следовательно, имеет все корни из K ₁ . Точно так же можно построить расширение K ₂ поля K ₁ и т. д. Объединение всех этих расширений есть алгебраическое замыкание K , поскольку любой многочлен с коэффициентами в этом новом поле имеет свои коэффициенты в некотором K _n с достаточно большими n , и тогда его корни находятся в K _{n +1} , а значит, и в самом объединении.

Аналогично можно показать, что для любого подмножества из K [ x ] поле разложения S S над K. существует

Разъемное закрытие [ править ]

Алгебраическое замыкание K ^Алг из K содержит единственное сепарабельное расширение K ^{сентябрь} K, содержащий все (алгебраические) сепарабельные расширения K внутри K ^Алг. называется сепарабельным замыканием K. Это подрасширение Поскольку сепарабельное расширение сепарабельного расширения снова сепарабельно, не существует конечных сепарабельных расширений K ^{сентябрь}, степени > 1. Другими словами, K содержится в сепарабельно замкнутом поле алгебраического расширения. Оно единственно ( с точностью до изоморфизма). ^[7]

Сепарабельное замыкание является полным алгебраическим замыканием тогда и только тогда, когда K — совершенное поле . Например, если K — поле характеристики p и если X трансцендентно над K , $K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)$ является несепарабельным расширением алгебраического поля.

В общем, абсолютная группа Галуа K - это группа Галуа K. ^{сентябрь} над К. ^[8]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Маккарти (1991) стр.21
^ М.Ф. Атья и И.Г. Макдональд (1969). Введение в коммутативную алгебру . Издательская компания Аддисон-Уэсли. стр. 11–12.
^ Перейти обратно: ^а ^б Капланский (1972) стр. 74-76.
^ Банашевский, Бернхард (1992), «Алгебраическое замыкание без выбора», Z. Math. Logik Grundlagen Math. , 38 (4): 383–385, doi : 10.1002/malq.19920380136 , Zbl 0739.03027
^ Обсуждение Mathoverflow
^ Броули, Джоэл В.; Шниббен, Джордж Э. (1989), «2.2 Алгебраическое замыкание конечного поля», Бесконечные алгебраические расширения конечных полей , Современная математика, том. 95, Американское математическое общество , стр. 22–23, ISBN. 978-0-8218-5428-0 , Збл 0674.12009 .
^ Маккарти (1991) стр.22
^ Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е изд.). Издательство Спрингер . п. 12. ISBN 978-3-540-77269-9 . Збл 1145.12001 .

Каплански, Ирвинг (1972). Поля и кольца . Чикагские лекции по математике (Второе изд.). Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-42451-0 . Збл 1001.16500 .
Маккарти, Пол Дж. (1991). Алгебраические расширения полей (Исправленный переиздание 2-го изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. Збл 0768.12001 .

[McC21-1] Маккарти (1991) стр.21

[2] М.Ф. Атья и И.Г. Макдональд (1969). Введение в коммутативную алгебру . Издательская компания Аддисон-Уэсли. стр. 11–12.

[Kap7476-3] Перейти обратно: ^а ^б Капланский (1972) стр. 74-76.

[4] Банашевский, Бернхард (1992), «Алгебраическое замыкание без выбора», Z. Math. Logik Grundlagen Math. , 38 (4): 383–385, doi : 10.1002/malq.19920380136 , Zbl 0739.03027

[5] Обсуждение Mathoverflow

[6] Броули, Джоэл В.; Шниббен, Джордж Э. (1989), «2.2 Алгебраическое замыкание конечного поля», Бесконечные алгебраические расширения конечных полей , Современная математика, том. 95, Американское математическое общество , стр. 22–23, ISBN. 978-0-8218-5428-0 , Збл 0674.12009 .

[McC22-7] Маккарти (1991) стр.22

[FJ12-8] Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е изд.). Издательство Спрингер . п. 12. ISBN 978-3-540-77269-9 . Збл 1145.12001 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]