Трансцендентальное расширение

В математике трансцендентное расширение $L/K$ такое расширение поля , что в поле существует элемент $L$ это трансцендентно над полем $K$ ; то есть элемент, который не является корнем любого одномерного многочлена с коэффициентами в $K$ . Другими словами, трансцендентное расширение — это расширение поля, которое не является алгебраическим . Например, $\mathbb {C}$ и $\mathbb {R}$ оба являются трансцендентальными расширениями $\mathbb {Q} .$

Трансцендентный базис расширения поля $L/K$ (или базис трансцендентности $L$ над $K$ — максимальное алгебраически независимое подмножество ) $L$ над $K.$ Базы трансцендентности имеют много общих свойств с базами пространств векторных . В частности, все базы трансцендентности расширения поля имеют одинаковую мощность , называемую степенью трансцендентности расширения. Таким образом, расширение поля является трансцендентным расширением тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности не равна нулю.

Трансцендентные расширения широко используются в алгебраической геометрии . Например, размерность алгебраического многообразия — это степень трансцендентности его функционального поля . Кроме того, поля глобальных функций являются трансцендентными расширениями первой степени конечного поля и играют в теории чисел в положительной характеристике роль, очень похожую на роль полей алгебраических чисел в нулевой характеристике.

Основа трансцендентности

Лемма Цорна показывает, что существует максимальное линейно независимое подмножество векторного пространства (т. е. базис). Аналогичный аргумент с леммой Цорна показывает, что для данного расширения поля L / K существует максимальное алгебраически независимое L над K. подмножество ^[1] Тогда это называется базисом трансцендентности . По максимальности алгебраически независимое подмножество S в L над K является базисом трансцендентности тогда и только тогда, когда является алгебраическим расширением K полученного ( S ), поля, присоединением элементов S к K. L

Лемма обмена (версия для алгебраически независимых множеств ^[2]) подразумевает, что если S и S' являются базами трансцендентности, то S и S' имеют одинаковую мощность . Тогда общая мощность баз трансцендентности называется степенью трансцендентности L и над K обозначается как $\operatorname {tr.deg.} _{K}L$ или $\operatorname {tr.deg.} (L/K)$ . Таким образом, существует аналогия: основа трансцендентности и степень трансцендентности, с одной стороны, и основа и измерение — с другой. Эту аналогию можно сделать более формальной, заметив, что линейная независимость в векторных пространствах и алгебраическая независимость в расширениях полей образуют примеры финитарных матроидов ( предгеометрий ). Любой финитный матроид имеет базис, причем все базисы имеют одинаковую мощность. ^[3]

Если G является порождающим множеством L (т. е. = K ( G ) ), то базис трансцендентности для L можно взять как подмножество G. L В частности, $\operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq$ минимальная мощность порождающих множеств L над K . В частности, конечно порожденное расширение поля допускает конечный базис трансцендентности.

Если поле K не указано, степень трансцендентности поля L — это его степень относительно некоторого фиксированного базового поля; например, простое поле той же характеристики или K , если L — функций над K. поле алгебраических

Расширение поля L / K является чисто трансцендентным , если существует подмножество S в L , алгебраически независимое над K и такое, что L = K ( S ).

Разделяющий трансцендентности базис L / K — это базис трансцендентности S такой, что L — сепарабельное алгебраическое расширение над K ( S ). Расширение поля L / K называется сепарабельно порожденным, если оно допускает разделяющий базис трансцендентности. ^[4] Если расширение поля конечно порождено и также порождено сепарабельно, то каждый порождающий набор расширения поля содержит разделяющий базис трансцендентности. ^[5] В идеальном поле каждое конечно порожденное расширение поля генерируется отдельно; т. е. он допускает конечный разделяющий базис трансцендентности. ^[6]

Примеры [ править ]

Расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности равна 0; пустое множество служит здесь основой трансцендентности.
Поле рациональных функций от n переменных K ( x1 _, ..., ) ₍ т.е. поле частных K кольца полиномов [ x1 , _xn ..., ] _xn ) является чисто трансцендентным расширением с трансцендентностью степень n над K ; мы можем, например, взять { x ₁ ,..., x _n } в качестве базы трансцендентности.
В более общем смысле, степень трансцендентности функционального поля L -мерного n алгебраического многообразия над основным полем K равна n .
Q ( √2 , e ) имеет степень трансцендентности 1 над Q, поскольку √2 является алгебраическим, а e — трансцендентным .
Степень трансцендентности C или R над Q — это мощность континуума . (Поскольку Q счетно, поле Q ( S ) будет иметь ту же мощность, что и S , для любого бесконечного множества S , и любое алгебраическое расширение Q ( S ) снова будет иметь ту же мощность.)
Степень трансцендентности Q ( e , π ) над Q равна 1 или 2; точный ответ неизвестен, поскольку неизвестно, являются ли e и π алгебраически независимыми.
Если S — компактная риманова поверхность , то поле C ( S ) мероморфных функций на S над C. имеет степень трансцендентности 1

Факты [ править ]

Если M / L и L / K являются расширениями полей, то

trdeg( M / K ) = trdeg( M / L ) + trdeg( L / K )

Это доказывается, показывая, что базис трансцендентности M / K может быть получен объединением базиса трансцендентности M / L и одного базиса L / K .

Если множество S алгебраически независимо над K, то поле K ( S ) изоморфно полю рациональных функций над K в множестве переменных той же мощности, что и S. Каждая такая рациональная функция является дробью двух многочленов из конечное число этих переменных с коэффициентами из K.

Два алгебраически замкнутых поля изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую характеристику и одинаковую степень трансцендентности над своим простым полем. ^[7]

Степень трансцендентности области целостности [ править ]

Позволять $A\subseteq B$ быть целыми доменами . Если $Q(A)$ и $Q(B)$ обозначим поля частных $A$ и $B$ , тогда трансцендентности B $A$ над $степень$ определяется как степень трансцендентности расширения поля $Q(B)/Q(A).$

Лемма Нётер о нормализации подразумевает, что если $R$ — область целостности, которая является конечно порожденной алгеброй над полем $k$ , то размерность Крулля R $является$ степенью трансцендентности $R$ над $k$ .

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию: если $X$ — аффинное алгебраическое многообразие над полем $k$ , размерность Крулла его кольца степени трансцендентности его функционального поля , и это определяет размерность X. $равна$ координатного Отсюда следует, что, если $X$ не является аффинным многообразием, его размерность (определяемая как степень трансцендентности его функционального поля) также может быть определена локально как размерность Крулла координатного кольца ограничения многообразия на открытое аффинное подмножество.

с дифференциалами Связь

Позволять $K/k$ быть конечно порожденным расширением поля. Затем ^[8]

\dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).

где $\Omega _{K/k}$ обозначает модуль келеровых дифференциалов . Кроме того, в приведенном выше равенстве выполняется тогда и только тогда, когда K сепарабельно порождено над k (то есть оно допускает разделяющий базис трансцендентности).

Приложения [ править ]

Базы трансцендентности полезны для доказательства различных утверждений о существовании гомоморфизмов полей . Вот пример: для данного алгебраически замкнутого поля L , подполя K и полевого автоморфизма f поля K существует полевой автоморфизм L , который расширяет f (т. е. ограничением которого на K является f ). Доказательство начинается с базиса трансцендентности S группы L / K . Элементы K ( S ) — это просто частные многочленов от элементов S с коэффициентами из K ; поэтому автоморфизм f можно расширить до одного из K ( S ), отправив каждый элемент S в себя. Поле L является алгебраическим замыканием K ), и ( S алгебраические замыкания единственны с точностью до изоморфизма; это означает, что автоморфизм может быть расширен от K ( S до L. )

В качестве еще одного приложения мы покажем, что существует (много) собственных подполей поля комплексных чисел C, которые (как поля) изоморфны C . Для доказательства возьмем базис трансцендентности S группы C / Q . S — бесконечное (даже несчетное) множество, поэтому существует (много) отображений f : S → S , которые являются инъективными , но не сюръективными . Любое такое отображение можно расширить до гомоморфизма полей Q ( S ) → Q ( S ), который не является сюръективным. Такой гомоморфизм поля, в свою очередь, может быть расширен до алгебраического замыкания C , и полученные гомоморфизмы полей C → C не являются сюръективными.

Степень трансцендентности может дать интуитивное понимание размера поля. Например, теорема Зигеля утверждает , что если X — компактное связное комплексное многообразие размерности n и K ( X ) обозначает поле (глобально определенных) мероморфных функций на нем, то trdeg _C ( K ( X )) ≤ п .

См. также [ править ]

Теорема Люрота — теорема о чисто трансцендентных расширениях первой степени.
Регулярное продление

Ссылки [ править ]

^ Милн , Теорема 9.13.
^ Милн , Лемма 9.6.
^ Джоши, К.Д. (1997), Прикладные дискретные структуры , New Age International, с. 909, ISBN 9788122408263 .
^ Hartshorne 1977 , глава I, § 4, непосредственно перед теоремой 4.7.A.
^ Хартсхорн 1977 , глава I, теорема 4.7.A.
^ Милн , Теорема 9.27.
^ Милн , Предложение 9.16.
^ Хартсхорн 1977 , гл. II, Теорема 8.6. А

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Милн, Джеймс, Теория поля (PDF)
§ 6.3. из Шимура, Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации Математического общества Японии, том. 11, Токио: Иванами Шотен, Zbl 0221.10029

[1] Милн , Теорема 9.13.

[2] Милн , Лемма 9.6.

[3] Джоши, К.Д. (1997), Прикладные дискретные структуры , New Age International, с. 909, ISBN 9788122408263 .

[4] Hartshorne 1977 , глава I, § 4, непосредственно перед теоремой 4.7.A.

[5] Хартсхорн 1977 , глава I, теорема 4.7.A.

[6] Милн , Теорема 9.27.

[7] Милн , Предложение 9.16.

[8] Хартсхорн 1977 , гл. II, Теорема 8.6. А

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Основа трансцендентности ​ ​