Аффинное разнообразие

, Кривая кубической плоскости заданная формулой $y^{2}=x^{2}(x+1)$

В алгебраической геометрии — аффинное алгебраическое множество это множество общих нулей над алгебраически замкнутым полем k некоторого семейства многочленов в кольце полиномов. $k[X_{1},\ldots ,X_{n}].$ Аффинное многообразие или аффинное алгебраическое многообразие — это аффинное алгебраическое множество, в котором идеал , порожденный определяющими полиномами, является простым .

В некоторых текстах термин « многообразие» используется для обозначения любого алгебраического множества, а термин «неприводимое многообразие» — это алгебраическое множество, определяющий идеал которого является простым (аффинное многообразие в указанном выше смысле).

В некоторых контекстах (см., например, Nullstellensatz Гильберта ) полезно отличать поле k , в котором рассматриваются коэффициенты, от алгебраически замкнутого поля K (содержащего k ), над которым рассматриваются общие нули (т. е. точки аффинного алгебраического множества лежат в K ^н ). В этом случае говорят, что многообразие определено над k , а точки многообразия, принадлежащие k, ^н называются k -рациональными или рациональными над k . В общем случае, когда k — поле действительных чисел , k -рациональная точка называется вещественной точкой . Если поле k не указано, рациональная точка — это точка, рациональная относительно рациональных чисел . Например, Великая теорема Ферма утверждает, что аффинное алгебраическое многообразие (это кривая), определенное x ^н + и ^н − 1 = 0 не имеет рациональных точек для любого целого числа n, большего двух.

Введение

Аффинное алгебраическое множество — это множество решений в алгебраически замкнутом поле k системы полиномиальных уравнений с коэффициентами из k . Точнее, если $f_{1},\ldots ,f_{m}$ являются полиномами с коэффициентами из k , они определяют аффинное алгебраическое множество

$V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.$

Аффинное (алгебраическое) многообразие — это аффинное алгебраическое множество, не являющееся объединением двух собственных аффинных алгебраических подмножеств. Такое аффинное алгебраическое множество часто называют неприводимым .

Если X — аффинное алгебраическое множество, а I — идеал всех многочленов, равных нулю на X , то факторкольцо $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I$ называется координатное X . кольцо Если X — аффинное многообразие, то I — простое число, поэтому координатное кольцо является областью целостности . Элементы координатного кольца R называются также регулярными функциями или полиномиальными функциями на многообразии. Они образуют кольцо регулярных функций на многообразии или просто кольцо многообразия ; другими словами (см. #Структурный пучок , это пространство глобальных секций структурного пучка X. )

Размерность многообразия — это целое число, связанное с каждым многообразием и даже с каждым алгебраическим множеством, важность которого зависит от большого числа его эквивалентных определений (см. Размерность алгебраического многообразия ).

Примеры

• Дополнение к гиперповерхности в аффинном многообразии X (то есть X \ { f = 0 } для некоторого многочлена f ) является аффинным. Его определяющие уравнения получаются путем f определяющего насыщения идеала X . Таким образом, координатное кольцо является локализацией $k[X][f^{-1}]$.
• В частности, $\mathbb {C} -0$ (аффинная линия с удаленным началом координат) является аффинной.
• С другой стороны, $\mathbb {C} ^{2}-0$(аффинная плоскость с удаленным началом координат) не является аффинным многообразием; ср. Теорема Хартогса о продолжении .
• Подмногообразия коразмерности один в аффинном пространстве $k^{n}$ являются в точности гиперповерхностями, то есть многообразиями, определяемыми одним полиномом.
• Нормализация ; неприводимого аффинного многообразия аффинна координатное кольцо нормализации является целым замыканием координатного кольца многообразия. (Аналогично, нормализация проективного многообразия является проективным многообразием.)

Рациональные точки

Рисунок реальных точек кривой y ² = х ³ − х ² − 16 х .

Основная статья: рациональная точка зрения

Для аффинного сорта $V\subseteq K^{n}$ над алгебраически замкнутым полем K и подполем k поля K k является - рациональной точкой V поля точка $p\in V\cap k^{n}.$То есть точка V , координаты которой являются элементами k . Совокупность k -рациональных точек аффинного многообразия V часто обозначается $V(k).$ Часто, если базовым полем являются комплексные числа C , точки, которые являются R -рациональными (где R — действительные числа ), называются вещественными точками многообразия, а Q -рациональные точки ( Q — рациональные числа ) часто называют просто рациональными. точки .

Например, (1, 0) — Q -рациональная и R -рациональная точки многообразия $V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},$как и в V , и все его координаты являются целыми числами. Точка ( √ 2/2 , √ 2/2 ) является вещественной точкой V , которая не является Q -рациональной, и $(i,{\sqrt {2}})$— точка V , не являющаяся R -рациональной. Это многообразие называется окружностью , поскольку множество его R -рациональных точек есть единичная окружность . Он имеет бесконечно много Q -рациональных точек, которые являются точками

$\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

где t — рациональное число.

Круг $V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$является примером алгебраической кривой второй степени, не имеющей Q -рациональной точки. Это можно вывести из того факта, что по модулю 4 сумма двух квадратов не может быть равна 3 .

Можно доказать, что алгебраическая кривая степени два с Q -рациональной точкой имеет бесконечно много других Q -рациональных точек; каждая такая точка является второй точкой пересечения кривой и прямой с рациональным наклоном, проходящей через рациональную точку.

Сложный сорт $V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$ не имеет R -рациональных точек, но имеет много комплексных точек.

Если V — аффинное многообразие в C ² определенные над комплексными числами C , R -рациональные точки V можно нарисовать на листе бумаги или с помощью графического программного обеспечения. На рисунке справа показаны R -рациональные точки $V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.$

Особые точки и касательное пространство

Пусть V — аффинное многообразие, определенное полиномами $f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],$ и $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ точкой V. быть

Матрица Якоби J _V ( a ) в V точке a является матрицей частных производных

${\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).$

Точка a является регулярной если ранг J _V ( a ) равен коразмерности V , , и сингулярной в противном случае.

Если a регулярно, касательное пространство к V в точке a является подпространством аффинным $k^{n}$ определяется линейными уравнениями

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.$

Если точка особая, некоторые авторы также называют аффинное подпространство, определенное этими уравнениями, касательным пространством, в то время как другие авторы говорят, что в особой точке нет касательного пространства. Более внутреннее определение, в котором не используются координаты, дается касательным пространством Зарисского .

Топология Зариского

Основная статья: Топология Зариского

Аффинные алгебраические множества k ^н образуют замкнутые множества топологии на k ^н , называемая топологией Зариского . Это следует из того, что $V(0)=k^{n},$ $V(1)=\emptyset ,$ $V(S)\cup V(T)=V(ST),$ и $V(S)\cap V(T)=V(S,T)$ (фактически счетное пересечение аффинных алгебраических множеств является аффинным алгебраическим множеством).

Топологию Зарисского можно также описать с помощью базисных открытых множеств , где множества, открытые по Зарисскому, представляют собой счетные объединения множеств вида $U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}$ для $f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ Эти основные открытые множества являются дополнениями в k ^н из закрытых наборов $V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},$нулевые локусы одного полинома. Если k нётерово . (например, если k — поле или область главных идеалов ), то каждый идеал k конечно порожден, поэтому каждое открытое множество является конечным объединением основных открытых множеств

Если V — аффинное подмногообразие в k ^н топология Зариского на V — это просто топология подпространства, унаследованная от топологии Зариского на k ^н .

геометрии

Геометрическая структура аффинного многообразия глубоко связана с алгебраической структурой его координатного кольца. Пусть I и J — идеалы k[V] координатного кольца аффинного многообразия V. — Пусть I(V) — множество всех многочленов из $k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ которые исчезают на V , и пусть ${\sqrt {I}}$обозначают радикал идеала I , набор многочленов f для которых некоторая степень f находится в I. , Причина, по которой базовое поле должно быть алгебраически замкнутым, заключается в том, что аффинные многообразия автоматически удовлетворяют nullstellensatz Гильберта : для идеала J в $k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ где k — алгебраически замкнутое поле, $I(V(J))={\sqrt {J}}.$

Радикальные идеалы (идеалы, являющиеся собственными радикалами) из k[V] соответствуют алгебраическим подмножествам V . Действительно, для радикальных I и J идеалов $I\subseteq J$ если и только если $V(J)\subseteq V(I).$Следовательно, V(I)=V(J) тогда и только тогда, когда I=J . Более того, функция, берущая аффинное алгебраическое множество W и возвращающая I(W) , набор всех функций, которые также обращаются в нуль во всех точках W , является обратной функцией, присваивающей алгебраическое множество радикальному идеалу с помощью nullstellensatz. Следовательно, соответствие между аффинными алгебраическими множествами и радикальными идеалами является биекцией. Координатное кольцо аффинного алгебраического множества редуцировано (безнильпотентно), поскольку идеал I в кольце R радикален тогда и только тогда, когда факторкольцо R/I редуцировано.

Первичные идеалы координатного кольца соответствуют аффинным подмногообразиям. Аффинное алгебраическое множество V(I) можно записать как объединение двух других алгебраических множеств тогда и только тогда, когда I = JK для собственных идеалов J и K , не равных I (в этом случае $V(I)=V(J)\cup V(K)$). Это так тогда и только тогда, когда I не простое число. Аффинными подмногообразиями являются именно те, координатное кольцо которых является областью целостности. Это связано с тем, что идеал является простым тогда и только тогда, когда фактор кольца по идеалу является областью целостности.

Максимальные идеалы k[V] соответствуют точкам V . Если I и J — радикальные идеалы, то $V(J)\subseteq V(I)$ если и только если $I\subseteq J.$Поскольку максимальные идеалы радикальны, максимальные идеалы соответствуют минимальным алгебраическим множествам (тех, которые не содержат собственных алгебраических подмножеств), которые являются точками в V . Если V — аффинное многообразие с координатным кольцом $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,$ это соответствие становится явным через карту $(a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,$ где ${\overline {x_{i}-a_{i}}}$ обозначает образ в факторалгебре R многочлена $x_{i}-a_{i}.$ Алгебраическое подмножество является точкой тогда и только тогда, когда координатное кольцо подмножества является полем, поскольку фактор кольца по максимальному идеалу является полем.

В следующей таблице суммировано это соответствие для алгебраических подмножеств аффинного многообразия и идеалов соответствующего координатного кольца:

Тип алгебраического набора	Тип идеала	Тип координатного кольца
аффинное алгебраическое подмножество	радикальный идеал	уменьшенное кольцо
аффинное подмногообразие	главный идеал	область целостности
точка	максимальный идеал	поле

Продукция аффинных сортов

Произведение аффинных многообразий можно определить с помощью изоморфизма A ^н × А ^м = А ^{п + м} , а затем встраиваем продукт в это новое аффинное пространство. Пусть А ^н и А ^м имеют координатные кольца k [ x ₁ ,..., x _n ] и k [ y ₁ ,..., y _m ] соответственно, так что их произведение A ^{п + м} имеет координатное кольцо k [ x ₁ ,..., x _n , y ₁ ,..., y _m ] . Пусть V = V ( f ₁ ,..., f _N ) — алгебраическое подмножество A ^н , и W = V ( g ₁ ,..., g _M ) — алгебраическое подмножество A ^м . Тогда каждый f _i является полиномом от k [ x ₁ ,..., x _n ] , а каждый g _j находится от k [ y ₁ ,..., y _m ] . Произведение V V W и = определяется как алгебраическое множество × W ( V A f 1 _, ..., f _N , g ₁ ,... g _M ) в , ^{п + м} . Произведение неприводимо, если каждое V , W неприводимо.

Топология Зарисского на A ^н × А ^м  не является топологическим произведением топологий Зариского в двух пространствах. Действительно, топология произведения порождается произведениями базисных открытых множеств U _f = A ^н - V ( ж ) и Т _г знак равно А ^м - В ( г ). Следовательно, полиномы, которые находятся в k [ x ₁ ,..., x _n , y ₁ ,..., y _m ] , но не могут быть получены как произведение полинома от k [ x ₁ ,..., x _n ] с многочленом от k [ y ₁ ,..., y _m ] определит алгебраические множества, находящиеся в топологии Зарисского на A ^н × А ^м , но не в топологии продукта.

Морфизмы аффинных разновидностей

Основная статья: Морфизм алгебраических многообразий

Морфизм или регулярное отображение аффинных многообразий — это функция между аффинными многообразиями, полиномиальная по каждой координате: точнее, для аффинных многообразий V ⊆ k ^н и W ⊆ k ^м , морфизм из V в W — это отображение φ : V → W вида φ ( a ₁ , ..., an _an ) = ( f ₁ ( a ₁ ..., , _, ), ... f _m ( a ₁ , ..., an ₎ ), где f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] для каждого i = 1, ..., m . Это морфизмы из категории аффинных многообразий.

Существует взаимно однозначное соответствие между морфизмами аффинных многообразий над алгебраически замкнутым полем k и гомоморфизмами координатных колец аффинных многообразий над k , идущими в противоположном направлении. В силу этого, а также наличия взаимно однозначного соответствия между аффинными многообразиями над категории координатных колец аффинных k и их координатными кольцами, категория аффинных многообразий над k двойственна многообразий над k . Категория координатных колец аффинных многообразий над k — это в точности категория конечно порожденных нильпотентно-свободных алгебр над k .

Точнее, для каждого морфизма φ : V → W аффинных многообразий существует гомоморфизм φ ^# : k [ W ] → k [ V ] между координатными кольцами (идущими в противоположном направлении), и для каждого такого гомоморфизма существует морфизм многообразий, ассоциированных с координатными кольцами. Это можно показать явно: пусть V ⊆ k ^н и W ⊆ k ^м — аффинные многообразия с координатными кольцами k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I и k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J соответственно. Пусть φ : V → W — морфизм. Действительно, гомоморфизм между кольцами полиномов θ : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I факторизуется однозначно через кольцо k [ X ₁ , .. ., X _n ], а гомоморфизм ψ : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] однозначно определяется образами Y ₁ , .. ., Ю _м . Следовательно, каждый гомоморфизм φ ^# : k [ W ] → k [ V ] однозначно соответствует выбору изображения для каждого Y _i . Тогда по любому морфизму φ = ( f ₁ , ..., f _m ) из V в W можно построить гомоморфизм φ ^# : k [ W ] → k [ V ] который отправляет Y _i в ${\overline {f_{i}}},$ где ${\overline {f_{i}}}$ — класс эквивалентности f _i в k [ V ].

Аналогично для каждого гомоморфизма координатных колец можно построить морфизм аффинных многообразий в противоположном направлении. Отражая предыдущий абзац, гомоморфизм φ ^# : k [ W ] → k [ V ] переводит Y _i в полином $f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})$в k [ V ] . Это соответствует морфизму многообразий φ : V → W , определенному формулой φ ( a ₁ , ... , a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., an _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., а _н )).

Структурный пучок

Аффинное многообразие, оснащенное структурным пучком, описанным ниже, представляет собой локально окольцованное пространство .

Для аффинного многообразия X с координатным кольцом A пучок k -алгебр ${\mathcal {O}}_{X}$ определяется путем разрешения ${\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ — кольцо регулярных функций на U .

Пусть D ( f ) = { x | ж ( Икс ) ≠ 0 } для каждого f в A . Они образуют основу топологии X и, следовательно, ${\mathcal {O}}_{X}$определяется его значениями на открытых множествах D ( f ). (См. также: пучок модулей#Пучок, связанный с модулем .)

Ключевой факт, который опирается на Гильберта nullstellensatz по существу , заключается в следующем:

Требовать - $\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=A[f^{-1}]$ для любого f в A .

Доказательство: Включение ⊃ очевидно. В противоположном случае, пусть g находится в левой части и $J=\{h\in A|hg\in A\}$, что является идеалом. Если x находится в D ( f ), то, поскольку g регулярен вблизи x , существует некоторая открытая аффинная окрестность D ( h ) точки x такая, что $g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]$; то есть, ч ^м g находится в A и, следовательно, x не находится в V ( J ). Другими словами, $V(J)\subset \{x|f(x)=0\}$и, таким образом, из Гильберта nullstellensatz следует, что f находится в радикале J ; то есть, $f^{n}g\in A$. $\square$

Из утверждения, прежде всего, следует, что X является «локально окольцованным» пространством, поскольку

${\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}$

где ${\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}$. Во-вторых, из утверждения следует, что ${\mathcal {O}}_{X}$представляет собой пучок; действительно, там говорится, что если функция является регулярной (поточечно) на D ( f ), то она должна находиться в координатном кольце D ( f ); то есть «регулярность» можно объединить.

Следовательно, $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ представляет собой локально окольцованное пространство.

Серра

Основная статья: теорема Серра об аффинности

Теорема Серра дает когомологическую характеристику аффинного многообразия; он говорит, что алгебраическое многообразие аффинно тогда и только тогда, когда $H^{i}(X,F)=0$ для любого $i>0$и любой квазикогерентный пучок F на X . (ср. теорему Картана B. ) Это делает когомологическое исследование аффинного многообразия несуществующим, что резко контрастирует с проективным случаем, в котором группы когомологий линейных расслоений представляют центральный интерес.

группы

Основная статья: линейная алгебраическая группа

Аффинное многообразие G над алгебраически замкнутым полем k называется аффинной алгебраической группой, если оно имеет:

• Умножение µ G : G × G → µ , которое является регулярным морфизмом, который следует аксиоме ассоциативности , то есть такой, что ( µ ( f , g ) , h ) = µ ( f , µ ( g , h )) для все точки f , g и h в G ;
• Единичный элемент e такой, что µ ( e , g ) = µ ( g , e ) = g для каждого g в G ;
• Обратный морфизм , регулярная биекция ι : G → G такая, что ( ι ( g ) , g ) = µ ( g , ι ( g )) = e для каждого g в G. µ

Вместе они определяют групповую структуру сорта. Вышеупомянутые морфизмы часто записываются с использованием обычных групповых обозначений: ( f , g ) можно записать как f + g , f ⋅ g или µ fg ; обратное ι ( g ) можно записать как − g или g ⁻¹ . Используя мультипликативную запись, законы ассоциативности, тождества и обратные законы можно переписать как: f ( gh ) = ( fg ) h , ge = eg = g и gg ⁻¹ = г ⁻¹ г знак равно е .

Наиболее ярким примером аффинной алгебраической группы является GL _n ( k ), общая линейная группа степени n . Это группа линейных преобразований векторного пространства k ^н ; если базис k ​ ^н , фиксировано, это эквивалентно группе обратимых матриц размера n × n с элементами в k . Можно показать, что любая аффинная алгебраическая группа изоморфна подгруппе GL _n ( k ) . По этой причине аффинные алгебраические группы часто называют линейными алгебраическими группами .

Аффинные алгебраические группы играют важную роль в классификации конечных простых групп , так как группы лиева типа — это все множества F _q -рациональных точек аффинной алгебраической группы, где F _q — конечное поле.

Обобщения

• Если автор требует, чтобы базовое поле аффинного многообразия было алгебраически замкнутым (как это делается в этой статье), то неприводимые аффинные алгебраические множества над неалгебраически замкнутыми полями являются обобщением аффинных многообразий. Это обобщение, в частности, включает в себя аффинные многообразия над действительными числами .

• Аффинное многообразие играет роль локальной карты алгебраических многообразий ; то есть общие алгебраические многообразия, такие как проективные многообразия, получаются склейкой аффинных многообразий. Линейные структуры, присоединенные к многообразиям, также (тривиально) являются аффинными многообразиями; например, касательные пространства, слои алгебраических векторных расслоений .

• Аффинное многообразие — частный случай аффинной схемы — локально-кольцевого пространства, изоморфного спектру коммутативного кольца (с точностью до эквивалентности категорий ). С каждым аффинным многообразием связана аффинная схема: если V(I) — аффинное многообразие в k ^н с координатным кольцом R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , то схемой, соответствующей V(I), является Spec( R ), множество простых идеалов R . Аффинная схема имеет «классические точки», которым соответствуют точки многообразия (и, следовательно, максимальные идеалы координатного кольца многообразия), а также точку для каждого замкнутого подмногообразия многообразия (эти точки соответствуют простым, не- максимальные идеалы координатного кольца). Это создает более четкое понятие «общей точки» аффинного многообразия путем присвоения каждому замкнутому подмногообразию открытой точки, плотной в этом подмногообразии. В более общем смысле, аффинная схема является аффинным многообразием, если она приведена , неприводима и имеет конечный тип над алгебраически замкнутым полем k .

См. также

• Алгебраическое разнообразие
• Аффинная схема
• Представления на координатных кольцах

Ссылки

Оригинальная статья была написана как частичный перевод соответствующей французской статьи.

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Фултон, Уильям (1969). Алгебраические кривые (PDF) . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-510103 .
• Милн, Джеймс С. (2017). «Алгебраическая геометрия» (PDF) . www.jmilne.org . Проверено 16 июля 2021 г.
• Милн, Джеймс С. Лекции по этальным когомологиям
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. Том. 1358 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/b62130 . ISBN  354063293X .
• Рид, Майлз (1988). Бакалавриат по алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-35662-8 .