Морфизм алгебраических многообразий

«Бирегуляр» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о концепции теории графов, см. Бирегулярный граф .

В алгебраической геометрии морфизм между алгебраическими многообразиями — это функция между многообразиями, локально заданная полиномами . Ее еще называют обычной картой . Морфизм алгебраического многообразия на аффинную прямую называется также регулярной функцией .Регулярное отображение, обратное для которого также регулярно, называется бирегулярным , а бирегулярные отображения — изоморфизмами алгебраических многообразий. нет непостоянных регулярных функций) Поскольку условия регулярности и бирегулярности являются очень ограничительными (на проективных многообразиях , концепции рациональных и бирациональных отображений также широко используются; это частичные функции , которые локально определяются рациональными дробями , а не полиномами.

Алгебраическое многообразие, естественно, имеет структуру локально окольцованного пространства ; морфизм между алгебраическими многообразиями - это в точности морфизм лежащих в основе локально окольцованных пространств.

Определение

Если X и Y замкнутые подмногообразия — $\mathbb {A} ^{n}$ и $\mathbb {A} ^{m}$ (поэтому они являются аффинными многообразиями ), то регулярное отображение $f\colon X\to Y$ является ограничением полиномиального отображения $\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}$. В явном виде оно имеет вид:

$f=(f_{1},\dots ,f_{m})$

где $f_{i}$ находятся в координатном кольце X s :

$k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,$

где I — идеал, определяющий X (обратите внимание: два многочлена f и g определяют одну и ту же функцию на X тогда и только тогда, когда f − g находится в I ). Изображение f ( X ) лежит в Y , следовательно, удовлетворяет определяющим уравнениям Y. и То есть обычная карта $f:X\to Y$ то же самое, что ограничение полиномиального отображения, компоненты которого удовлетворяют определяющим уравнениям $Y$.

В более общем смысле, отображение f : X → Y между двумя многообразиями является регулярным в точке x , если существует окрестность U точки x и окрестность V точки f ( x ) такие, что f ( U ) ⊂ V и ограниченная функция f : U → V является регулярной функцией на некоторых аффинных картах U и V . Тогда f называется регулярной если она регулярна во всех точках X. ,

• Примечание. Совпадение двух определений не сразу очевидно: если X и Y — аффинные многообразия, то отображение f : X → Y регулярно в первом смысле тогда и только тогда, когда оно таково во втором смысле. Кроме того, не сразу понятно, зависит ли регулярность от выбора аффинных карт (это не так. Однако такого рода проблема непротиворечивости исчезает, если принять формальное определение. Формально (абстрактное) алгебраическое многообразие определяется как особый вид локально окольцованного пространства . При использовании этого определения морфизм многообразий — это просто морфизм локально окольцованных пространств.

Состав регулярных карт снова регулярен; таким образом, алгебраические многообразия образуют категорию алгебраических многообразий , морфизмы которых являются регулярными отображениями.

Регулярные отображения между аффинными многообразиями контравариантно взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам алгебр между координатными кольцами: если f : X → Y — морфизм аффинных многообразий, то он определяет гомоморфизм алгебры

$f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f$

где $k[X],k[Y]$ — координатные кольца X и Y ; оно четко определено, поскольку $g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})$ является полиномом от элементов $k[X]$. И наоборот, если $\phi :k[Y]\to k[X]$ является гомоморфизмом алгебры, то он индуцирует морфизм

$\phi ^{a}:X\to Y$

дал: написал $k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,$

$\phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))$

где ${\overline {y}}_{i}$ это изображения $y_{i}$х. Примечание ${\phi ^{a}}^{\#}=\phi$ а также ${f^{\#}}^{a}=f.$ В частности, f является изоморфизмом аффинных многообразий тогда и только тогда, когда f ^# является изоморфизмом координатных колец.

Например, если X — замкнутое подмногообразие аффинного многообразия Y и f — включение, то f ^# ограничение регулярных функций на Y на X. — см. в разделе #Examples Дополнительные примеры ниже.

Обычные функции

В частном случае, когда Y равно A ¹ регулярные отображения f : X → A ¹ называются регулярными функциями и являются алгебраическими аналогами гладких функций, изучаемых в дифференциальной геометрии. Кольцо регулярных функций ( координатное кольцо или, более абстрактно, кольцо глобальных сечений структурного пучка) является фундаментальным объектом аффинной алгебраической геометрии. Единственная регулярная функция на проективном многообразии является постоянной (это можно рассматривать как алгебраический аналог теоремы Лиувилля в комплексном анализе ).

Скалярная функция f : X → A ¹ является регулярной в точке x , если в некоторой открытой аффинной окрестности точки x это рациональная функция , регулярная в точке x ; т.е. существуют регулярные функции g , h вблизи x такие, что f = g / h и h не обращается в нуль в точке x . Внимание: условие относится к некоторой паре ( g , h ), а не ко всем парам ( g , h ); . Примеры см .

Если X — квазипроективное многообразие ; т. е. открытое подмногообразие проективного многообразия, то функциональное поле k ( X ) совпадает с полем замыкания ${\overline {X}}$ X для и, следовательно, рациональная функция на X имеет вид g / h некоторых однородных элементов g , h одной и той же степени в однородном координатном кольце. $k[{\overline {X}}]$ из ${\overline {X}}$ (см. Проективное многообразие # Структура многообразия .) Тогда рациональная функция f на X регулярна в точке x тогда и только тогда, когда существуют некоторые однородные элементы g , h одной и той же степени в $k[{\overline {X}}]$ такой, что f = g / h и h не обращается в нуль в точке x . Эту характеристику иногда принимают за определение регулярной функции.

Сравнение с морфизмом схем

Если X = Spec A и Y = Spec B — аффинные схемы , то каждый гомоморфизм колец φ: B → A определяет морфизм

$\phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})$

взяв прообразы идеалов простых . Все морфизмы между аффинными схемами относятся к этому типу, и склейка таких морфизмов дает морфизм схем вообще.

Теперь, если X , Y — аффинные многообразия; т. е. A , B являются целочисленными областями , которые являются конечно порожденными алгебрами над алгебраически замкнутым полем k , то при работе только с замкнутыми точками приведенное выше определение совпадает с определением, данным в #Definition . (Доказательство: если f : X → Y — морфизм, то запись $\phi =f^{\#}$, нам нужно показать

${\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})$

где ${\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}$ – максимальные идеалы, соответствующие точкам x и f ( x ); то есть, ${\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}$. Это сразу.)

Этот факт означает, что категорию аффинных многообразий можно отождествить с полной подкатегорией аффинных схем над k . Поскольку морфизмы многообразий получаются склейкой морфизмов аффинных многообразий точно так же, как морфизмы схем получаются склейкой морфизмов аффинных схем, то категория многообразий является полной подкатегорией категории схем над k .

Более подробную информацию см. в [1] .

Примеры

См. также: Морфизм схем § Примеры.

• Регулярные функции на A ^н — это в точности полиномы от n переменных и регулярные функции на P ^н это именно константы.
• Пусть X — аффинная кривая $y=x^{2}$. Затем
  $$f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x$$
  является морфизмом; оно биективно с обратным $g(x)=(x,x^{2})$. Поскольку g также является морфизмом, f — изоморфизм многообразий.
• Пусть X — аффинная кривая $y^{2}=x^{3}+x^{2}$. Затем
  $$f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)$$
  является морфизмом. Он соответствует кольцевому гомоморфизму
  $$f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),$$
  который, как видно, инъективен (поскольку f сюръективен).
• Продолжая предыдущий пример, пусть U = A ¹ − {1}. Поскольку U является дополнением к гиперплоскости t = 1, U аффинно. Ограничение $f:U\to X$ является биективным. Но соответствующий гомоморфизм колец — это включение $k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]$, который не является изоморфизмом, поэтому ограничение f | _U не является изоморфизмом.
• Пусть X — аффинная кривая x ² + и ² = 1 и пусть
  $$f(x,y)={1-y \over x}.$$
  Тогда f рациональная функция на X. — несмотря на выражение, поскольку как рациональная функция на X Он регулярен в точке (0, 1) , f также может быть записана как $f(x,y)={x \over 1+y}$.
• Пусть Х = А ² - (0, 0) . Тогда X — алгебраическое многообразие, поскольку оно является открытым подмножеством многообразия. Если f — регулярная функция на X , то f регулярна на X. $D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}$ и так есть в $k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]$. Аналогично, это в $k[x,y,y^{-1}]$. Таким образом, мы можем написать:
  $$f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}$$
  где g , h — полиномы от k [ x , y ]. Но это означает, что g делится на x ^н и поэтому f на самом деле является полиномом. Следовательно, кольцо регулярных функций на X — это просто k [ x , y ]. (Это также показывает, что X не может быть аффинным, поскольку в противном случае X определяется своим координатным кольцом и, следовательно, X = A ² .)
• Предполагать $\mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}$ путем отождествления точек ( x : 1) с точками x на A ¹ и ∞ = (1 : 0). Существует автоморфизм σ группы P ¹ задается формулой σ(x: y) = (y: x); в частности, σ меняет местами 0 и ∞. Если f — рациональная функция на P ¹ , затем
  $$\sigma ^{\#}(f)=f(1/z)$$
  и f регулярен в ∞ тогда и только тогда, когда f (1/ z ) регулярен в нуле.
• Взяв функциональное поле k ( V ) неприводимой алгебраической кривой V , все функции F в функциональном поле могут быть реализованы как морфизмы из V в проективную прямую над k . (см. #Properties ) Изображением будет либо одна точка, либо вся проективная прямая (это следствие полноты проективных многообразий ). То есть, если F на самом деле не является постоянным, мы должны приписать F значение ∞ в некоторых точках V .
• Для любых алгебраических многообразий X , Y проекция
  $$p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x$$
  является морфизмом многообразий. Если X и Y аффинны, то соответствующий гомоморфизм колец есть
  $$p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1$$
  где $(f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)$.

Свойства

Морфизм между многообразиями непрерывен относительно топологий Зариского в источнике и цели.

Образ морфизма многообразий не обязательно должен быть ни открытым, ни закрытым (например, образ $\mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)$ не является ни открытым, ни закрытым). Однако все же можно сказать: если f — морфизм многообразий, то образ f содержит открытое плотное подмножество его замыкания. (см. Конструкторный набор .)

Морфизм f : X → Y алгебраических многообразий называется доминантным, если он имеет плотный образ. Для такого f , если V — непустое открытое аффинное подмножество Y , то существует непустое открытое аффинное подмножество U в X такое, что f ( U ) ⊂ V и тогда $f^{\#}:k[V]\to k[U]$ является инъективным. Таким образом, доминантное отображение f индуцирует инъекцию на уровне функциональных полей:

$k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f$

где предел охватывает все непустые открытые аффинные подмножества Y . (Более абстрактно, это индуцированное отображение поля вычетов общей точки Y X в точку .) И наоборот, каждое включение полей $k(Y)\hookrightarrow k(X)$ индуцируется доминирующим рациональным X Y в . отображением Следовательно, приведенная конструкция определяет контравариантную эквивалентность между категорией алгебраических многообразий над полем k и доминантными рациональными отображениями между ними и категорией конечно порожденного расширения поля k .

Если X — гладкая полная кривая (например, P ¹ ) и если f — рациональное отображение X в проективное пространство P ^м , то f — регулярное отображение X → P ^м . В частности, когда X — гладкая полная кривая, любую рациональную функцию на X можно рассматривать как морфизм X → P. ¹ и, наоборот, такой морфизм, как рациональная функция X. на

На нормальном многообразии (в частности, гладком многообразии ) рациональная функция регулярна тогда и только тогда, когда она не имеет полюсов коразмерности один. Это алгебраический аналог теоремы о продолжении Хартогса . Существует и относительная версия этого факта; см . [2] .

Морфизм между алгебраическими многообразиями, который является гомеоморфизмом между лежащими в его основе топологическими пространствами, не обязательно должен быть изоморфизмом (контрпример дается морфизмом Фробениуса $t\mapsto t^{p}$.) С другой стороны, если f биективно бирационально и целевое пространство f является нормальным многообразием , то f бирегулярно. (ср. основную теорему Зарисского .)

Регулярное отображение комплексных алгебраических многообразий является голоморфным . (На самом деле существует небольшая техническая разница: регулярное отображение — это мероморфное отображение, особые точки которого устранимы , но на практике это различие обычно игнорируется.) В частности, регулярное отображение в комплексные числа — это просто обычная голоморфная функция (комплексная -аналитическая функция).

пространства

Позволять

$f:X\to \mathbf {P} ^{m}$

— морфизм проективного многообразия в проективное пространство. Пусть x точка X. — Тогда некоторая i -я однородная координата f ( x ) не равна нулю; скажем, я = 0 для простоты. Тогда по непрерывности существует открытая аффинная окрестность U точки x такая, что

$f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}$

— морфизм, где y _i — однородные координаты. Обратите внимание, что целевым пространством является аффинное пространство A. ^м посредством идентификации $(a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})$. Таким образом, по определению ограничение f | _U определяется

$f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))$

где g _i — регулярные функции U. на Поскольку X проективно, каждое gi _{является частью однородных элементов} одной степени в однородном координатном кольце k [ X ] X. кольца Мы можем расположить дроби так, чтобы все они имели одинаковый однородный знаменатель, скажем, f ₀ . написать g _i = fi _/ Тогда мы можем f ₀ для некоторых однородных элементов f _i в k [ X ]. Следовательно, возвращаясь к однородным координатам,

$f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))$

для всех x в U и по непрерывности для всех x в X до тех пор, пока f _i не обращаются в нуль в точке x одновременно. Если они исчезают одновременно в точке x из X , то с помощью описанной выше процедуры можно выбрать другой набор f _i , который не исчезает в точке x одновременно (см. примечание в конце раздела).

Фактически, приведенное выше описание справедливо для любого квазипроективного многообразия X — открытого подмногообразия проективного многообразия. ${\overline {X}}$; разница в том, что f _i находятся в однородном координатном кольце ${\overline {X}}$.

Примечание . Вышеуказанное не говорит о том, что морфизм проективного многообразия в проективное пространство задается одним набором полиномов (в отличие от аффинного случая). Например, пусть X — коника $y^{2}=xz$ в П ² . Потом две карты $(x:y:z)\mapsto (x:y)$ и $(x:y:z)\mapsto (y:z)$ договориться об открытом подмножестве $\{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}$ из X (поскольку $(x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)$) и тем самым определяет морфизм $f:X\to \mathbf {P} ^{1}$.

Волокна морфизма

Важный факт:

Теорема . Пусть f : X → Y — доминирующий (т. е. имеющий плотный образ) морфизм алгебраических многообразий, и пусть r = dim X − dim Y . Затем

1. Для каждого неприводимого замкнутого подмножества W множества Y и каждой неприводимой компоненты Z множества $f^{-1}(W)$ доминирование W ,

   $\dim Z\geq \dim W+r.$

2. Существует непустое открытое подмножество U в Y такое, что (a) $U\subset f(X)$ и (b) для каждого неприводимого замкнутого подмножества W множества Y , пересекающего U , и каждой неприводимой компоненты Z множества $f^{-1}(W)$ пересекающийся $f^{-1}(U)$,

   $\dim Z=\dim W+r.$

Следствие . Пусть f : X → Y — морфизм алгебраических многообразий. Для каждого x в X определите

$e(x)=\max\{\dim Z\mid Z{\text{ an irreducible component of }}f^{-1}(f(x)){\text{ containing }}x\}.$

Тогда e сверху полунепрерывно ; т. е. для каждого целого числа n множество

$X_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}$

закрыт.

В красной книге Мамфорда теорема доказывается с помощью леммы о нормализации Нётер . Об алгебраическом подходе, в котором общая свобода играет главную роль, а понятие « универсально цепного кольца » является ключевым в доказательстве, см. Eisenbud, Ch. 14 «Коммутативной алгебры с прицелом на алгебраическую геометрию». Фактически, доказательство там показывает, что если f плоское , то равенство размерностей в пункте 2 теоремы выполняется в общем случае (а не только в общем случае).

См. Также: теорема Зариского о связности.

Степень конечного морфизма

Пусть f : X → Y — конечный сюръективный морфизм между алгебраическими многообразиями над полем k . Тогда, по определению, степень f — это степень конечного расширения функционального поля k ( X ) над f ^* к ( Y ). В силу общей свободы существует некоторое непустое открытое подмножество U в Y такое, что ограничение структурного пучка O _X на f ⁻¹ ( U ) свободен как O _Y | _У -модуль . Тогда степень f также является рангом этого свободного модуля.

Если f эталь X и если , Y полны , то для любого когерентного пучка F на Y , обозначая χ для эйлеровой характеристики,

$\chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).$

( Формула Римана – Гурвица для разветвленного накрытия показывает, что «эталь» здесь опускать нельзя.)

В общем случае, если f — конечный сюръективный морфизм, если X , Y полны когерентный и F — пучок на Y , то из спектральной последовательности Лере $\operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)$, получается:

$\chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).$

В частности, если F — тензорная степень $L^{\otimes n}$ линейного пучка, то $R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}$ и поскольку поддержка $R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ имеет положительную коразмерность, если q положительно, сравнивая главные члены, имеем:

$\operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)$

(поскольку родовой ранг $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ это степень f .)

Если f этальный и k алгебраически замкнутый, то каждый геометрический слой f ⁻¹ ( y ) состоит ровно из deg( f точек ).

См. Также: Степень непрерывного отображения.

См. также

• Алгебраическая функция
• Гладкий морфизм
• Этальные морфизмы – алгебраический аналог локальных диффеоморфизмов .
• Разрешение особенностей
• морфизм сокращения

Ссылки

• Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений . Спрингер Наука . ISBN  978-0-387-98549-7 .
• Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия, первый курс . Спрингер Верлаг . ISBN  978-1-4757-2189-8 .
• Хартсхорн, Робин (1997). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90244-9 .
• Джеймс Милн , Алгебраическая геометрия , старая версия v.5.xx.
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. Том. 1358 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/b62130 . ISBN  354063293X .
• Шафаревич, Игорь Робертович (2013). Основная алгебраическая геометрия 1 . Спрингер Наука . дои : 10.1007/978-3-642-37956-7 . ISBN  978-0-387-97716-4 .
• Сильверман, Джозеф Х. (2009). Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN  978-0-387-09494-6 .