Аффинное разнообразие

В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество — это множество общих нулей над алгебраически замкнутым полем $k$ некоторого семейства многочленов в кольце полиномов. $k[X_{1},\ldots ,X_{n}].$ Аффинное многообразие или аффинное алгебраическое многообразие — это аффинное алгебраическое множество, в котором идеал, порожденный определяющими многочленами, является простым .

В некоторых текстах термин «многообразие» используется для обозначения любого алгебраического множества, а термин «неприводимое многообразие» — это алгебраическое множество, определяющий идеал которого является простым (аффинное многообразие в указанном выше смысле).

В некоторых контекстах (см., например, Nullstellensatz Гильберта ) полезно отличать поле $k$ , в котором рассматриваются коэффициенты, от алгебраически замкнутого поля $K$ (содержащего $k$ ), над которым рассматриваются общие нули (т. е. точки аффинного алгебраического множества лежат в $K н$ ). В этом случае говорят, что многообразие определено над $k$ , а точки многообразия, принадлежащие $k, н$ называются $k$ -рациональными или рациональными над $k$ . В общем случае, когда $k$ — поле действительных чисел , $k$ -рациональная точка называется вещественной точкой . ^[1] Если поле $k$ не указано, рациональная точка — это точка, рациональная относительно рациональных чисел . Например, Великая теорема Ферма утверждает, что аффинное алгебраическое многообразие (это кривая), определенное $x н + и н - 1 = 0$ не имеет рациональных точек для любого целого числа $n,$ большего двух.

Введение [ править ]

Аффинное алгебраическое множество — это множество решений в алгебраически замкнутом поле $k$ системы полиномиальных уравнений с коэффициентами из $k$ . Точнее, если $f_{1},\ldots ,f_{m}$ являются полиномами с коэффициентами из $k$ , они определяют аффинное алгебраическое множество

V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.

Аффинное (алгебраическое) многообразие — это аффинное алгебраическое множество, не являющееся объединением двух собственных аффинных алгебраических подмножеств. Такое аффинное алгебраическое множество часто называют неприводимым .

Если $X$ — аффинное алгебраическое множество, а $I$ — идеал всех многочленов, равных нулю на $X$ , то факторкольцо $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I$ называется координатное кольцо X . Если X — аффинное многообразие, то I — простое число, поэтому координатное кольцо является областью целостности . Элементы координатного кольца R называются также регулярными функциями или полиномиальными функциями на многообразии. Они образуют кольцо регулярных функций на многообразии или просто кольцо многообразия ; другими словами (см. #Структурный пучок ), это пространство глобальных секций структурного X. пучка

Размерность многообразия — это целое число, связанное с каждым многообразием и даже с каждым алгебраическим множеством, важность которого зависит от большого числа его эквивалентных определений (см. Размерность алгебраического многообразия ).

Примеры [ править ]

Дополнение к гиперповерхности в аффинном многообразии $X$ (то есть $X \ { f = 0 }$ для некоторого многочлена $f$ ) является аффинным. Его определяющие уравнения получаются путем насыщения f $определяющего$ идеала $X$ . Таким образом, координатное кольцо является локализацией $k[X][f^{-1}]$ .
В частности, $\mathbb {C} -0$ (аффинная линия с удаленным началом координат) является аффинной.
С другой стороны, $\mathbb {C} ^{2}-0$ (аффинная плоскость с удаленным началом координат) не является аффинным многообразием; ср. Теорема Хартогса о продолжении .
Подмногообразия коразмерности один в аффинном пространстве $k^{n}$ являются в точности гиперповерхностями, то есть многообразиями, определяемыми одним полиномом.
Нормализация ; неприводимого аффинного многообразия аффинна координатное кольцо нормализации является целым замыканием координатного кольца многообразия. (Аналогично, нормализация проективного многообразия является проективным многообразием.)

Рациональные точки [ править ]

Для аффинного сорта $V\subseteq K^{n}$ алгебраически замкнутым полем $K$ и подполем $k$ поля $K$ k $над$ - рациональной точкой поля $V$ является точка $p\in V\cap k^{n}.$ То есть точка $V$ , координаты которой являются элементами $k$ . Совокупность $k$ -рациональных точек аффинного многообразия $V$ часто обозначается $V(k).$ Часто, если базовым полем являются комплексные числа $C$ , точки, которые являются $R$ -рациональными (где $R$ — действительные числа ), называются вещественными точками многообразия, а $Q$ -рациональные точки ( $Q$ — рациональные числа ) часто называют просто рациональными. точки .

Например, $(1, 0)$ — $Q$ -рациональная и $R$ -рациональная точки многообразия $V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},$ как и в $V$ , и все его координаты являются целыми числами. Точка $(\sqrt 2/2, \sqrt 2/2)$ является вещественной точкой $V$ , которая не является $Q$ -рациональной, и $(i,{\sqrt {2}})$ — точка $V$ , не являющаяся $R$ -рациональной. Это многообразие называется окружностью , поскольку множество его $R$ -рациональных точек есть единичная окружность . Он имеет бесконечно много $Q$ -рациональных точек, которые являются точками

\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)

где $t$ — рациональное число.

Круг $V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$ является примером алгебраической кривой второй степени, не имеющей $Q$ -рациональной точки. Это можно вывести из того факта, что по модулю $4$ сумма двух квадратов не может быть равна $3$ .

Можно доказать, что алгебраическая кривая степени два с $Q$ -рациональной точкой имеет бесконечно много других $Q$ -рациональных точек; каждая такая точка является второй точкой пересечения кривой и прямой с рациональным наклоном, проходящей через рациональную точку.

Сложный сорт $V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}$ не имеет $R$ -рациональных точек, но имеет много комплексных точек.

Если $V$ — аффинное многообразие в $C 2$ определенные над комплексными числами $C$ , $R$ -рациональные точки $V$ можно нарисовать на листе бумаги или с помощью графического программного обеспечения. На рисунке справа показаны $R$ -рациональные точки $V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.$

Особые точки и касательное пространство [ править ]

Пусть $V$ — аффинное многообразие, определенное полиномами $f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],$ и $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ точкой $V.$ быть

Матрица Якоби $J V (a)$ V $a$ в точке $является$ матрицей частных производных

{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).

Точка $a$ является регулярной если ранг $J V (a)$ равен коразмерности V $,$ , и сингулярной в противном случае.

Если $a$ регулярно, касательное пространство к $V$ в точке $a$ является подпространством аффинным $k^{n}$ определяется линейными уравнениями ^[2]

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.

Если точка особая, некоторые авторы также называют аффинное подпространство, определенное этими уравнениями, касательным пространством, в то время как другие авторы говорят, что в особой точке нет касательного пространства. ^[3]Более внутреннее определение, в котором не используются координаты, дается касательным пространством Зарисского .

Топология Зариского [ править ]

Аффинные алгебраические множества k ^н образуют замкнутые множества топологии на k ^н, называемая топологией Зариского . Это следует из того, что $V(0)=k^{n},$ $V(1)=\emptyset ,$ $V(S)\cup V(T)=V(ST),$ и $V(S)\cap V(T)=V(S,T)$ (фактически счетное пересечение аффинных алгебраических множеств является аффинным алгебраическим множеством).

Топологию Зарисского можно также описать с помощью базисных открытых множеств , где множества, открытые по Зарисскому, представляют собой счетные объединения множеств вида $U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}$ для $f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ Эти основные открытые множества являются дополнениями в k ^н из закрытых наборов $V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},$ нулевые локусы одного многочлена. Если k нётерово . (например, если k — поле или область главных идеалов ), то каждый идеал k конечно порожден, поэтому каждое открытое множество является конечным объединением основных открытых множеств

Если V — аффинное подмногообразие в k ^н топология Зариского на V — это просто топология подпространства, унаследованная от топологии Зарисского на k ^н.

и Соответствие алгебры геометрии

Геометрическая структура аффинного многообразия глубоко связана с алгебраической структурой его координатного кольца. Пусть I и J — идеалы k[V] координатного кольца аффинного многообразия V. — Пусть I(V) — множество всех многочленов из $k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ которые исчезают на V , и пусть ${\sqrt {I}}$ обозначают радикал идеала I , набор многочленов f, некоторая степень f находится в I. для которых Причина, по которой базовое поле должно быть алгебраически замкнутым, заключается в том, что аффинные многообразия автоматически удовлетворяют nullstellensatz Гильберта : для идеала J в $k[x_{1},\ldots ,x_{n}],$ где k — алгебраически замкнутое поле, $I(V(J))={\sqrt {J}}.$

Радикальные идеалы (идеалы, являющиеся собственными радикалами) из k[V] соответствуют алгебраическим подмножествам V . Действительно, для радикальных I и J идеалов $I\subseteq J$ тогда и только тогда, когда $V(J)\subseteq V(I).$ Следовательно, V(I)=V(J) тогда и только тогда, когда I=J . Более того, функция, берущая аффинное алгебраическое множество W и возвращающая I(W) , набор всех функций, которые также обращаются в нуль во всех точках W , является обратной функцией, присваивающей алгебраическое множество радикальному идеалу с помощью nullstellensatz. Следовательно, соответствие между аффинными алгебраическими множествами и радикальными идеалами является биекцией. Координатное кольцо аффинного алгебраического множества редуцировано ( безнильпотентно), поскольку идеал I в кольце R радикален тогда и только тогда, когда факторкольцо R/I редуцировано.

Первичные идеалы координатного кольца соответствуют аффинным подмногообразиям. Аффинное алгебраическое множество V(I) можно записать как объединение двух других алгебраических множеств тогда и только тогда, когда I = JK для собственных идеалов J и K, не равных I (в этом случае $V(I)=V(J)\cup V(K)$ ). Это так тогда и только тогда, когда I не простое число. Аффинными подмногообразиями являются именно те, координатное кольцо которых является областью целостности. Это связано с тем, что идеал является простым тогда и только тогда, когда фактор кольца по идеалу является областью целостности.

Максимальные идеалы k[V] соответствуют точкам V . Если I и J — радикальные идеалы, то $V(J)\subseteq V(I)$ тогда и только тогда, когда $I\subseteq J.$ Поскольку максимальные идеалы радикальны, максимальные идеалы соответствуют минимальным алгебраическим множествам (тех, которые не содержат собственных алгебраических подмножеств), которые являются точками в V . Если V — аффинное многообразие с координатным кольцом $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,$ это соответствие становится явным через карту $(a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,$ где ${\overline {x_{i}-a_{i}}}$ обозначает образ в факторалгебре R многочлена $x_{i}-a_{i}.$ Алгебраическое подмножество является точкой тогда и только тогда, когда координатное кольцо подмножества является полем, поскольку фактор кольца по максимальному идеалу является полем.

В следующей таблице суммировано это соответствие для алгебраических подмножеств аффинного многообразия и идеалов соответствующего координатного кольца:

Тип алгебраического набора	Тип идеала	Тип координатного кольца
аффинное алгебраическое подмножество	радикальный идеал	уменьшенное кольцо
аффинное подмногообразие	главный идеал	область целостности
точка	максимальный идеал	поле

Продукция аффинных сортов [ править ]

Произведение аффинных многообразий можно определить с помощью изоморфизма $A н \times А м = А п + м,$ а затем встраиваем продукт в это новое аффинное пространство. Пусть $А н$ и $А м$ имеют координатные кольца $k [x1 соответственно,..., и k,$ [ $y1 xn ...]],,ym так$ что их произведение $A п + м$ имеет координатное кольцо $k [x 1,..., x n, y 1,..., y m]$ . Пусть $V = V (f 1,..., f N)$ — алгебраическое подмножество $A н,$ и $W = V (g 1,..., g M)$ — алгебраическое подмножество $A м .$ Тогда каждый $f i$ является полиномом от $k [x 1,..., x n]$ , а каждый $g j$ находится от $k [y 1,..., y m]$ . Произведение N , $V$ и $W$ определяется как алгебраическое множество $V \times W = V (f 1,..., g, M 1, ... g) f$ в $A п + м .$ Произведение неприводимо, если каждое $V$ , $W$ неприводимо. ^[4]

Топология Зарисского на $A н \times А м$ не является топологическим произведением топологий Зариского в двух пространствах. Действительно, топология произведения порождается произведениями базисных открытых множеств $U f = A н - V (ж)$ и $Т г знак равно А м - В (г).$ Следовательно, полиномы, которые находятся в $k [x 1,..., x n, y 1,..., y m],$ но не могут быть получены как произведение многочлена от $k [x 1,..., x n]$ с полиномом от $k [y 1,..., y m]$ определит алгебраические множества, находящиеся в топологии Зарисского на $A н \times А м,$ но не в топологии продукта.

Морфизмы аффинных разновидностей [ править ]

Морфизм или регулярное отображение аффинных многообразий — это функция между аффинными многообразиями, полиномиальная по каждой координате: точнее, для аффинных многообразий $V \subseteq k н$ и $W \subseteq k м$ , морфизм из $V$ в $W$ — это отображение $φ : V \to W$ вида $φ (a 1, ...,) an = (f 1 (a 1, ...,) an, ..., f m (a 1, ..., an)),$ где $f i \in k [X 1, ..., X n]$ для каждого $i = 1, ..., m .$ Это морфизмы из категории аффинных многообразий.

Существует взаимно однозначное соответствие между морфизмами аффинных многообразий над алгебраически замкнутым полем $k и$ гомоморфизмами координатных колец аффинных многообразий над $k,$ идущими в противоположном направлении. В силу этого, а также наличия взаимно однозначного соответствия между аффинными многообразиями над $категории$ координатных $колец$ аффинных k и их координатными кольцами, категория аффинных многообразий над k двойственна многообразий над $k .$ Категория координатных колец аффинных многообразий над $k$ — это в точности категория конечно порожденных нильпотентно-свободных алгебр над $k .$

Точнее, для каждого морфизма $φ : V \to W$ аффинных многообразий существует гомоморфизм $φ # : k [W] \to k [V]$ между координатными кольцами (идущими в противоположном направлении), и для каждого такого гомоморфизма существует морфизм многообразий, ассоциированных с координатными кольцами. Это можно показать явно: пусть $V \subseteq k н$ и $W \subseteq k м$ — аффинные многообразия с координатными кольцами $k [V] = k [X 1, ..., X n] / I$ и $k [W] = k [Y 1, ..., Y m] / J$ соответственно. Пусть $φ : V \to W$ — морфизм. Действительно, гомоморфизм между кольцами полиномов $θ : k [Y 1, ..., Y m] / J \to k [X 1, ..., X n] / I$ факторизуется однозначно через кольцо $k [X 1, .. ., X n],$ а гомоморфизм $ψ : k [Y 1, ..., Y m] / J \to k [X 1, ..., X n]$ однозначно определяется образами $Y 1, .. ., Ю м .$ Следовательно, каждый гомоморфизм $φ # : k [W] \to k [V]$ однозначно соответствует выбору изображения для каждого $Y i$ . Тогда по любому морфизму $φ = (f 1, ..., f m)$ из $V$ в $W можно$ построить гомоморфизм $φ # : k [W] \to k [V]$ который отправляет $Y i$ в ${\overline {f_{i}}},$ где ${\overline {f_{i}}}$ — класс эквивалентности $f i$ в $k [V].$

Аналогично для каждого гомоморфизма координатных колец можно построить морфизм аффинных многообразий в противоположном направлении. Отражая предыдущий абзац, гомоморфизм $φ # : k [W] \to k [V]$ sends $Y i$ to a polynomial $f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})$ в $k [V]$ . Это соответствует морфизму многообразий $φ : V \to W$ , определенному формулой $φ (a 1, ... , a n) = (f 1 (a 1, ..., an n), ..., f m (a 1, ..., а н)).$

Структурный пучок [ править ]

Аффинное многообразие, оснащенное структурным пучком, описанным ниже, представляет собой локально окольцованное пространство .

Для аффинного многообразия X с координатным кольцом A пучок k -алгебр ${\mathcal {O}}_{X}$ определяется путем разрешения ${\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ — кольцо регулярных функций на U .

Пусть D ( f ) = { x | ж ( Икс ) ≠ 0 } для каждого f в A . Они образуют основу топологии X и, следовательно, ${\mathcal {O}}_{X}$ определяется его значениями на открытых множествах D ( f ). (См. также: пучок модулей#Пучок, связанный с модулем .)

Ключевой факт, который опирается на Гильберта nullstellensatz по существу , заключается в следующем:

Требовать - $\Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=A[f^{-1}]$ для любого f в A .

Доказательство: ^[5] Включение ⊃ очевидно. В противоположном случае, пусть g находится в левой части и $J=\{h\in A|hg\in A\}$ , что является идеалом. Если x находится в D ( f ), то, поскольку g регулярен вблизи x , существует некоторая открытая аффинная окрестность D ( h ) точки x такая, что $g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]$ ; то есть, ч ^м g находится в A и, следовательно, x не находится в V ( J ). Другими словами, $V(J)\subset \{x|f(x)=0\}$ и, таким образом, из Гильберта nullstellensatz следует, что f находится в радикале J ; то есть, $f^{n}g\in A$ . $\square$

Из утверждения, прежде всего, следует, что X является «локально окольцованным» пространством, поскольку

{\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}

где ${\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}$ . Во-вторых, из утверждения следует, что ${\mathcal {O}}_{X}$ представляет собой пучок; действительно, там говорится, что если функция является регулярной (поточечно) на D ( f ), то она должна находиться в координатном кольце D ( f ); то есть «регулярность» можно объединить.

Следовательно, $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ представляет собой локально окольцованное пространство.

Серра аффинности об Теорема

Теорема Серра дает когомологическую характеристику аффинного многообразия; он говорит, что алгебраическое многообразие аффинно тогда и только тогда, когда $H^{i}(X,F)=0$ для любого $i>0$ и любой квазикогерентный пучок F на X . (ср. теорему Картана B. ) Это делает когомологическое исследование аффинного многообразия несуществующим, что резко контрастирует с проективным случаем, в котором группы когомологий линейных расслоений представляют центральный интерес.

группы алгебраические Аффинные

Аффинное многообразие $G$ над алгебраически замкнутым полем $k$ называется аффинной алгебраической группой, если оно имеет:

Умножение µ $µ : G \times G \to G$ , которое является регулярным морфизмом, который следует аксиоме ассоциативности , то есть такой, что $µ (для (f, g),) = µ (f, µ (g, h))$ h все точки $f$ , $g$ и $h$ в $G;$
Единичный элемент $e$ такой, что $µ (e, g) = µ (g, e) = g$ для каждого $g$ в $G;$
Обратный морфизм , регулярная биекция $ι : G \to G$ такая, что $µ (ι (g), g) = (g, ι (g)) = e$ для каждого $g$ в $G. µ$

Вместе они определяют групповую структуру сорта. Вышеупомянутые морфизмы часто записываются с использованием обычных групповых обозначений: $µ (f, g)$ можно записать $f + g$ , $f \cdot g или$ fg $как$ ; обратное $ι (g)$ можно записать как $- g$ или $g -1 .$ Используя мультипликативную запись, законы ассоциативности, тождества и обратные можно переписать как: $f (gh) = (fg) h$ , $ge = eg = g$ и $gg -1 = г -1 г знак равно е$ .

Наиболее ярким примером аффинной алгебраической группы является $GL n (k),$ общая линейная группа степени $n .$ Это группа линейных преобразований векторного пространства $k н;$ если базис $k н,$ фиксировано, это эквивалентно группе $обратимых матриц размера n \times n$ с элементами из $k .$ Можно показать, что любая аффинная алгебраическая группа изоморфна подгруппе $GL n (k)$ . По этой причине аффинные алгебраические группы часто называют линейными алгебраическими группами .

Аффинные алгебраические группы играют важную роль в классификации конечных простых групп , так как группы лиева типа — это все множества $F q$ -рациональных точек аффинной алгебраической группы, где $F q$ — конечное поле.

Обобщения [ править ]

Если автор требует, чтобы базовое поле аффинного многообразия было алгебраически замкнутым (как это делается в этой статье), то неприводимые аффинные алгебраические множества над неалгебраически замкнутыми полями являются обобщением аффинных многообразий. Это обобщение, в частности, включает в себя аффинные многообразия над действительными числами .

Аффинное многообразие играет роль локальной карты алгебраических многообразий ; то есть общие алгебраические многообразия, такие как проективные многообразия, получаются склейкой аффинных многообразий. Линейные структуры, присоединенные к многообразиям, также (тривиально) являются аффинными многообразиями; например, касательные пространства, слои алгебраических векторных расслоений .

Аффинное многообразие — частный случай аффинной схемы — локально-кольцевого пространства, изоморфного спектру коммутативного кольца (с точностью до эквивалентности категорий ). С каждым аффинным многообразием связана аффинная схема: если $V(I)$ — аффинное многообразие в $k н$ с координатным кольцом $R = k [x 1, ..., x n] / I,$ то схемой, соответствующей $V(I),$ является $Spec(R),$ множество простых идеалов $R .$ Аффинная схема имеет «классические точки», соответствующие точкам многообразия (и, следовательно, максимальным идеалам координатного кольца многообразия), а также точку для каждого замкнутого подмногообразия многообразия (эти точки соответствуют простым, не- максимальные идеалы координатного кольца). Это создает более четкое понятие «общей точки» аффинного многообразия путем присвоения каждому замкнутому подмногообразию открытой точки, плотной в этом подмногообразии. В более общем смысле, аффинная схема является аффинным многообразием, если она приведена , неприводима и имеет конечный тип над алгебраически замкнутым полем $k .$

Примечания [ править ]

^ Рид (1988)
^ Милн (2017) , Гл. 5
^ Рид (1988) , с. 94.
^ Это связано с тем, что над алгебраически замкнутым полем тензорное произведение областей целостности является областью целостности; см. целостный домен#Свойства .
^ Мамфорд 1999 , гл. I, § 4. Предложение 1.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Оригинальная статья была написана как частичный перевод соответствующей французской статьи.

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Фултон, Уильям (1969). Алгебраические кривые (PDF) . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-510103 .
Милн, Джеймс С. (2017). «Алгебраическая геометрия» (PDF) . www.jmilne.org . Проверено 16 июля 2021 г.
Милн, Джеймс С. Лекции по этальным когомологиям
Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. Том. 1358 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/b62130 . ISBN 354063293X .
Рид, Майлз (1988). Бакалавриат по алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35662-8 .

[ReidUAG-1] Рид (1988)

[2] Милн (2017) , Гл. 5

[3] Рид (1988) , с. 94.

[4] Это связано с тем, что над алгебраически замкнутым полем тензорное произведение областей целостности является областью целостности; см. целостный домен#Свойства .

[5] Мамфорд 1999 , гл. I, § 4. Предложение 1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]